新廣東高考數(shù)學(xué)理科步步高二輪復(fù)習(xí)真題押題42數(shù)列求和及綜合應(yīng)用(含答案解析)

第2講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用真題感悟1．(2013湖·南)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝(－1)n1*，則：an－n，n∈N2(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋＋S100＝________.答案(1)－1(2)11100－11632剖析∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)n1n－11an－2n－(－1)an－1＋2n－1(n≥2)，an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋21n(n≥2)．1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an－1＝－2n(n≥2)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2an＋an－1＝21n(n≥2)，1∴當(dāng)n＝4時(shí)，a3＝－24＝－16.依照以上{an}的關(guān)系式及遞推式可求．1111a1＝－22，a3＝－24，a5＝－26，a7＝－28，，111＝1＝2＝4＝68a22，a42，a62，a82，.111∴a2－a1＝2，a4－a3＝23，a6－a5＝25，，∴S1＋S2＋＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋＋(a100－a99)－

1111＋2＋3＋＋1002222111111＝2＋23＋＋299－2＋22＋＋2100＝113100－1.22．(2014·標(biāo)全國Ⅱ課)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1.1{an}的通項(xiàng)公式；(1)證明{an＋}是等比數(shù)列，并求2證明1＋1＋＋1<3.a1a2an2證明(1)由an＋1＝3an＋1，1得an＋1＋2＝3(an＋2)．又a1＋1＝3，2213因此{(lán)an＋2}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列．13nn－1an＋＝，因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝322.21＝n2(2)由(1)知an3－1.由于當(dāng)n≥1時(shí)，3nn－1－1≥2×3，因此11n≤n－13－12×3.于是1＋1＋＋111a1a2≤1＋＋＋n－1an333132(1－3n)<2.因此1＋1＋＋13a1a2an<2.押題精練1．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋＋a10＝________.答案

15剖析

由題意知，

a1＋a2＋＋a10＝－1＋4－7＋10＋＋(－1)10×(3×10－2)(－1＋4)＋(－7＋10)＋＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]3×5＝15.2．秋末冬初，流感流行，特別是甲型H1N1流感．某醫(yī)院近30天每天住院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則該醫(yī)院30天入院治療甲流共有________人．答案255剖析由于an＋2－an＝1＋(－1)n，因此a1＝a3＝＝a29＝1，a2，a4，，a30構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，因此a1＋a2＋＋a29＋a3015＋15×2＋15×14×2＝255.2故該醫(yī)院30天住院治療甲流的人數(shù)為255.3．已知數(shù)列{bn}滿足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3.求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)已知an＝n＋1，求證：51＋1＋＋1<1.≤a2bn2n＋36a1an(1)解由于3(n＋1)bn＝nbn＋1，因此bn＋1＝3n＋1.bnn則b22b33b44bn＝3×n，＝3×，＝3×，＝3×，，bn－1b11b22b33n－1bnn－1n累乘，可得＝3×n，由于b1＝3，因此bn＝n·3，即數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝n·3n.(2)證明由于an＝n＋1，因此an＝nn＋1·3n.bn2n＋32n＋3由于1＝2n＋31nnn＋1·na3＝3n＋1－n13－11nn＋1·n＝()·n3nn＋13＝1111n·n－1－·n，3n＋13因此1＋1＋＋1＝(1111111111a1a2·0－·1)＋(·1－·2)＋＋(·n－1－an323232＋13n3