二次函數(shù)與線段數(shù)量關(guān)系最值定值問題-2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題（全國通用）（原卷）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）專題14二次函數(shù)與線段數(shù)量關(guān)系最值定值問題圖形運(yùn)動的過程中，求兩條線段之間的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題．產(chǎn)生兩條線段間的函數(shù)關(guān)系，常見的情況有兩種，一是勾股定理，二是比例關(guān)系．還有一種不常見的，就是線段全長等于部分線段之和．由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題，在兩種類型的題目中比較常用．一是由平行線產(chǎn)生的對于線段成比例，二是相似三角形的對應(yīng)邊成比例．一般步驟是先說理產(chǎn)生比例關(guān)系，再代入數(shù)值或表示數(shù)的字母，最后整理、變形，根據(jù)要求寫出定義域．關(guān)鍵是尋找比例關(guān)系，難點(diǎn)是有的整理、變形比較繁瑣，容易出錯．

【例1】（2022?武漢模擬）拋物線y＝x2﹣2x+m的頂點(diǎn)A在x軸上，與y軸交于點(diǎn)B．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，直線CD∥AB交拋物線于C，D兩點(diǎn)，若，求△COD的面積；（3）如圖2，P為拋物線對稱軸上頂點(diǎn)下方的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線交拋物線于點(diǎn)E，F(xiàn)，交x軸于點(diǎn)M，求的值．【例2】（2022?黃石）如圖，拋物線y＝﹣x2+x+4與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m．（1）A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．（2）連接AP，交線段BC于點(diǎn)D，①當(dāng)CP與x軸平行時，求的值；②當(dāng)CP與x軸不平行時，求的最大值；（3）連接CP，是否存在點(diǎn)P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．【例3】（2022?河南三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，OB＝2OC＝4OA，連接AC，BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D是拋物線y＝ax2+bx﹣4的圖象上在第四象限內(nèi)的一動點(diǎn)，DE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．①請用含m的代數(shù)式表示線段DF的長；②已知DG∥AC，交BC于點(diǎn)G，請直接寫出當(dāng)時點(diǎn)D的坐標(biāo)．【例4】（2021?大慶）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，且其頂點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線的對稱軸上存在定點(diǎn)F，使得拋物線y＝ax2+bx+c上的任意一點(diǎn)G到定點(diǎn)F的距離與點(diǎn)G到直線y＝﹣2的距離總相等．①證明上述結(jié)論并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；②過點(diǎn)F的直線l與拋物線y＝ax2+bx+c交于M，N兩點(diǎn)．證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時，+是定值，并求出該定值；（3）點(diǎn)C（3，m）是該拋物線上的一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)P，Q，使四邊形PQBC周長最小，直接寫出P，Q的坐標(biāo)．1．（2020?道里區(qū)二模）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝﹣+bx+3交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊）交y軸于點(diǎn)C，OB＝3OC．（1）如圖1，求拋物線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)E是第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)E作ED⊥OB于點(diǎn)D，tan∠EBD＝，求△BDE的面積；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BC交DE于點(diǎn)Q，點(diǎn)K是第四象限拋物線上的點(diǎn)，連接EK交BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，∠EMC＝45°，過點(diǎn)K作直線KT⊥x軸于點(diǎn)T，過點(diǎn)E作EL∥x軸，交直線KT于點(diǎn)L，點(diǎn)F是拋物線對稱軸右側(cè)第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接ET、LF，LF的延長線交ET于點(diǎn)P，連接DP并延長交EL于點(diǎn)S，SE＝2SL，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．2．（2020?三明二模）如圖，拋物線y＝x2+mx（m＜0）交x軸于O，A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)B．（Ⅰ）求△AOB的面積（用含m的代數(shù)式表示）；（Ⅱ）直線y＝kx+b（k＞0）過點(diǎn)B，且與拋物線交于另一點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），交y軸于點(diǎn)C．過點(diǎn)C作CE∥AB交x軸于點(diǎn)E．（?。┤簟螼BA＝90°，2＜＜3，求k的取值范圍；（ⅱ）求證：DE∥y軸．3．（2022?杜爾伯特縣一模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3），拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)E在x軸上，且∠ECB＝∠CBD，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．（3）若P是直線BC下方拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M．①求線段PM長度的最大值．②在①的條件下，若F為y軸上一動點(diǎn)，求PH+HF+CF的最小值．4．（2020?江岸區(qū)校級一模）已知：拋物線y＝x2+x+m交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且AB＝7．（1）如圖1，求拋物線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)拋物線上，連接CD，AD，AD交y軸于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為d，△CDE的面積為S，求S與d之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量d的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H，點(diǎn)P在DH上，連接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及相應(yīng)S的值．5．（2020?渦陽縣一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（5，0）．（1）求拋物線的解析式．（2）點(diǎn)P是直線上方的拋物線上的一個動點(diǎn)，求△ABP的面積最大時的P點(diǎn)坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E．當(dāng)PE＝2ED時，求P點(diǎn)坐標(biāo)；（4）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)F，在拋物線的第一象限內(nèi)，是否存在一點(diǎn)M，使得AM被FC平分？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．6．（2021?桂林）如圖，已知拋物線y＝a（x﹣3）（x+6）過點(diǎn)A（﹣1，5）和點(diǎn)B（﹣5，m），與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）求a，m的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，連接PB，PA，當(dāng)＝時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使A，B兩點(diǎn)到直線MC的距離相等？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．（2021?甘肅）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點(diǎn)，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D為直線AB下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G，DG分別交直線BC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求拋物線y＝x2+bx+c的表達(dá)式；（2）當(dāng)GF＝時，連接BD，求△BDF的面積；（3）①H是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BEHF是矩形時，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；②在①的條件下，第一象限有一動點(diǎn)P，滿足PH＝PC+2，求△PHB周長的最小值．8．（2021?麗水）如圖，已知拋物線L：y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣5），B（5，0）．（1）求b，c的值；（2）連結(jié)AB，交拋物線L的對稱軸于點(diǎn)M．①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②將拋物線L向左平移m（m＞0）個單位得到拋物線L1．過點(diǎn)M作MN∥y軸，交拋物線L1于點(diǎn)N．P是拋物線L1上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為﹣1，過點(diǎn)P作PE∥x軸，交拋物線L于點(diǎn)E，點(diǎn)E在拋物線L對稱軸的右側(cè)．若PE+MN＝10，求m的值．9．（2020?陜西）已知拋物線L：y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)（﹣3，3）和（1，﹣5），與x軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．（1）求拋物線L的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P在拋物線L上，點(diǎn)E、F在拋物線L的對稱軸上，D是拋物線L的頂點(diǎn)，要使△PEF∽△DAB（P的對應(yīng)點(diǎn)是D），且PE：DA＝1：4，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．10．（2020?盤錦）如圖1，直線y＝x﹣4與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C（0，4），△ABO沿射線AB方向以每秒個單位長度的速度平移，平移后的三角形記為△DEF（點(diǎn)A，B，O的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)），平移時間為t（0＜t＜4）秒，射線DF交x軸于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)M，連接ME．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)tan∠EMF＝時，請直接寫出t的值；（3）如圖2，點(diǎn)N在拋物線上，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的，連接OM，NF，OM與NF相交于點(diǎn)P，當(dāng)NP＝FP時，求t的值．11．（2022?深圳三模）如圖1，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（﹣5，0），點(diǎn)B（﹣1，﹣2）．（1）求拋物線解析式；（2）如圖2，點(diǎn)P為拋物線上第三象限內(nèi)一動點(diǎn)，過點(diǎn)Q（﹣4，0）作y軸的平行線，交直線AP于點(diǎn)M，交直線OP于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，4QM+QN的值是否變化？若變化，說明變化規(guī)律，若不變，求其值；（3）如圖3，長度為的線段CD（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊）在射線AB上移動（點(diǎn)C在線段AB上），連接OD，過點(diǎn)C作CE∥OD交拋物線于點(diǎn)E，線段CD在移動的過程中，直線CE經(jīng)過一定點(diǎn)F，直接寫出定點(diǎn)F的坐標(biāo)與的最小值．12．（2022?阿克蘇地區(qū)一模）如圖1．拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，已知點(diǎn)B（4，0）．（1）若C（0，3），求拋物線的解析式．（2）在（1）的條件下，P（﹣2，m）為該拋物線上一點(diǎn)，Q是x軸上一點(diǎn)求的最小值，并求此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（3）如圖2．過點(diǎn)A作BC的平行線，交y軸與點(diǎn)D，交拋物線于另一點(diǎn)E．若DE＝7AD，求c的值．13．（2022?松江區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y＝2x+8與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）P是拋物線上一點(diǎn)，且位于直線AB上方，過點(diǎn)P作PM∥y軸、PN∥x軸，分別交直線AB于點(diǎn)M、N．①當(dāng)MN＝AB時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②聯(lián)結(jié)OP交AB于點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)時，求的值．14．（2022?游仙區(qū)模擬）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）如圖2，Q是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求++的值．15．（2022?龍巖模擬）拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，4）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式（用含a的式子表示）；（2）當(dāng)a＞0時，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，求a的值；（3）直線y＝﹣x+m與線段AB交于點(diǎn)P，與拋物線交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），若PM?PN＝6，求m的值．16．（2022?雷州市模擬）如圖（1），拋物線y＝ax2+bx+6與x軸交于點(diǎn)A（﹣6，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線對稱軸交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N．點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，且位于x軸上方．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖（2），點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線MN對稱，若∠CAD＝∠CAP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）直線BP交y軸于點(diǎn)E，交直線MN于點(diǎn)F，猜想線段OE、FM、MN三者之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明．17．（2022?馬鞍山二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于C點(diǎn)，直線y＝kx（k＜0）交線段BC下方拋物線于D點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)（1）分別求出a、b的值；（2）求出線段BC的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍；（3）探究是否有最大值，若存在，請求出此時k值，若不存在，請說明理由．18．（2022?南崗區(qū)校級二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝﹣ax2+6ax+6與y軸交于點(diǎn)B，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸的正半軸于點(diǎn)C，且S△ABC＝30．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t，PD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)tan∠PAD等于m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)m＝時，過點(diǎn)B作BN⊥AB交∠PAC的平分線于點(diǎn)N，點(diǎn)K在線段AB上，點(diǎn)M在線段AN上，連接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于點(diǎn)T，延長MT交BN于點(diǎn)H，若NH＝4BH，求直線KN的解析式．19．（2022?江漢區(qū)校級模擬）如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）若C（0，﹣3），求拋物線的解析式；（2）在（1）的條件下，E是線段BC上一動點(diǎn)，AE交拋物線于F點(diǎn)，求的最大值；（3）如圖2，點(diǎn)N為y軸上一點(diǎn)，AN、BN交拋物線于E、F兩點(diǎn)，求?的值．20．（2022?成都模擬）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；（2）如圖1，點(diǎn)P（1，m），Q（1，m﹣2）是兩動點(diǎn)，分別連接PC，QB，請求出|PC﹣QB|的最大值，并求出m的值；（3）如圖2，∠BAC的角平分線交y軸于點(diǎn)D，過D點(diǎn)的直線l與射線AB，AC分別于E，F(xiàn)，當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時，是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．21．（2022?沈陽模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線l：y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，連接OP交直線BC于點(diǎn)D．（1）求直線l的解析式；（2）當(dāng)＝時，求點(diǎn)P