教程函數(shù)單調(diào)性

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2一、單調(diào)性xyoy

f

(

x)xyoabABf

(

x)

0f

(

x)

0abBAy

f

(

x)1

單調(diào)性判別法PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系3定理

設(shè)函數(shù)

y

f

(

x)在[a,

b]上連續(xù)，在(a,

b)內(nèi)可導(dǎo)，則：y

f(x)在[a,b]單調(diào)增加當(dāng)且僅當(dāng)在(a,b)內(nèi)f

(x)

0；y

f

(x)在[a,b]單調(diào)減少當(dāng)且僅當(dāng)在(a,b)內(nèi)f

(x)

03如果在(a,b)內(nèi)f

(x)

0，那末函數(shù)

y

嚴(yán)格單調(diào)增加；(4)

如果在(a,b)內(nèi)f

(x)

0，那末函數(shù)

y

f

(x)在[a,b]上f

(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)減少.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系4例1 函數(shù)y

ex

x

1的單調(diào)性.解

y

ex

1.又

D

:

(,).在(,0)內(nèi),

y

0,函數(shù)單調(diào)減少在(0,)內(nèi),

y

0,函數(shù)單調(diào)增加.注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系52、單調(diào)區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:用方程f

(x)

0的根及f

(x)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間,然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系6例2

確定函數(shù)

f

(

x)

2

x

3

9

x

2解

12

x

3的單調(diào)區(qū)間.D

:

(,).f

(

x)

6

x2

18

x

12

6(

x

1)(

x

2)解方程f

(x)

0

得當(dāng)

x

1時(shí)當(dāng)1

x

2時(shí)當(dāng)

2

x

時(shí)x1

1,

x2

2.f

(

x)

0,f

(

x)

0,f

(

x)

0,在(,1]上單調(diào)增加

在[1,2]上單調(diào)減少

在[2,)上單調(diào)增加[2,).單調(diào)區(qū)間為(,1][1,2]PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系7例3解確定函數(shù)

f

(

x)

3

x2

的單調(diào)區(qū)間.D

:

(,)., (

x

0)233f

(

x)

x當(dāng)x

0時(shí),導(dǎo)數(shù)不存在.當(dāng)

x

0時(shí)當(dāng)0

x

時(shí)f

(

x)

0,

在[0,)上單調(diào)增加f

(x)

0,

在(,0]上單調(diào)減少單調(diào)區(qū)間為(,0][0,).x2y

3PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系8例4

當(dāng)x

0時(shí),試證x

ln(1

x)成立.證

設(shè)f

(

x)

x

ln(1

x),

則

f

(

x)

.x1

xf

(x)在[0,)上連續(xù),且(0,)可導(dǎo)，f

(x)

0,

在[0,)上單調(diào)增加f

(0)

0,當(dāng)x

0時(shí)x

ln(1

x)

0,即x

ln(1

x).注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,

y

x3

,

y

x0

0,

但在(,)上單調(diào)增加.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系9二、函數(shù)的極值oxbyy

f

(

x)a

x1x2x3

x4x5

x6oxyoxyx0x0PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系10設(shè)函數(shù)f

(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是定義(a,b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),如果存在著點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域,對(duì)于這鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x,除了點(diǎn)x0外,

f

(

x)

f

(

x0

)均成立,就稱f

(x0

)是函數(shù)f

(x)的一個(gè)極大值;如果存在著點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域,對(duì)于這鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x,除了點(diǎn)x0外,

f

(

x)

f

(

x0

)均成立,就稱f

(x0

)是函數(shù)f

(x)的一個(gè)極小值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系11函數(shù)極值的求法y

x3

,

y

x0

0,例如,

但x

0不是極值點(diǎn).(回憶費(fèi)馬定理)定理1(必要條件)設(shè)f

(x)在點(diǎn)x0

處具有導(dǎo)數(shù),且在

x

處取得極值,

那末必定

f

'

(

x

)

0.0

0定義

使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程

f

(

x)

0

的實(shí)根)叫做函數(shù)

f

(

x)

的駐點(diǎn).注意:

可導(dǎo)函數(shù)

f

(

x)

的極值點(diǎn)必定是它的駐

點(diǎn),但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定 是極值點(diǎn).PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系12'定理2(第一充分條件)(1)如果x

(x0

,x0

),有f(

x)

0;而x

(x0

,x00有

f

'

(

x)

0

，則

f

(

x)在

x

處取得極大值.0

0(2)

如果x

(

x

,

x

),有

f(

x)

0;

),而x

(

x

,

x

)'0

0'f

(

x)

00有

，則

f

(

x)在x

處取得極小值.(3)如果當(dāng)x

(x

0

,x0

)及x

(x0

,x0

)時(shí),符號(hào)相同,則f

(x)在x0

處無極值.f

'(

x)xoy

yx0ox0x(是極值點(diǎn)情形)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2012年11月

13xyyo

ox0x0x(不是極值點(diǎn)情形)求極值的步驟:求導(dǎo)數(shù)f

(x)求駐點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(3)檢查

f

(

x)

在上述點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào),判斷極值點(diǎn);

(4)求極值

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2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系14例1

求出函數(shù)

f

(

x)

x3

3

x2

9

x

5

的極值.解f

(

x)

3

x2

6

x

9

3(

x

1)(

x

3)令

f

(

x)

0

得駐點(diǎn)

x1

1,

x2

3.列表x(,1)

1(1,3)3(3,)f

(

x)00f

(

x)極大值極小值極大值

f

(1)

10,

極小值

f

(3)

22.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系15f

(x)

x3

3

x2

9

x

5圖形如下MmPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系16定理3(

第二充分條件)

設(shè)f

(

x)在x0

處具有二階導(dǎo)數(shù),且

f

'(

x

)

0,

f

''

(

x

)

0,

那末0

0當(dāng)

f

''

(

x0

)

0時(shí),

函數(shù)

f

(

x)在x0處取得極大值;當(dāng)

f

''

(

x0

)

0時(shí),

函數(shù)

f

(

x)在x0

處取得極小值.證

(1)xx0

x)

f

(

x0

)

0,0f

(

x

)

lim

f

(

x0故f

(

x0

x)

f

(

x0

)與x異號(hào)當(dāng)x

0時(shí)當(dāng)x

0時(shí)有f

(

x0

x)

f

(

x0

)

0,有f

(

x0

x)

f

(

x0

)

0,所以,函數(shù)f

(x)在x0

處取得極大值PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系17例2

求出函數(shù)

f

(

x)

x3

3

x2

24

x

20

的極值.解f

(

x)

3

x2

6

x

24

3(

x

4)(

x

2)令

f

(

x)

0

得駐點(diǎn)

x1

4,

x2

2.f

(

x)

6

x

6,f

(4)

18

0,f

(2)

18

0,故極大值

f

(4)

60,故極小值

f

(2)

48.f

(x)

x3

3

x2

24

x

20

圖形如下PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系18Mm注意:

f

(

x0

)

0時(shí),

f

(

x)在點(diǎn)x0處不一定取極值,仍用第一充分條件.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系19例3解2求出函數(shù)

f

(

x)

1

(

x

2)3的極值.(

x

2)3213f

(

x)

(

x

2)當(dāng)x

2時(shí),f

(x)不存在.當(dāng)x

2時(shí)當(dāng)x

2時(shí)f

(

x)

0;f

(

x)

0.

f

(2)

1為f

(x)的極大值.但函數(shù)f

(x)在該點(diǎn)連續(xù).注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).MPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系20三、函數(shù)的最值ob

xo

aoab

xab

x若函數(shù)f

(x)在[a,b]上連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)并且至多有有限個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，則f

(x)在[a,b]上的最大值與最小值存在.y

y

yPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系21步驟:求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系22最值應(yīng)用舉例例1

求函數(shù)

y

2

x3

3

x2

12

x

14

的在[3,4]上的最大值與最小值.f

(

x)

6(

x

2)(

x

1)解解方程

f

(

x)

0,得x1

2,

x2

1.f

(2)

34;f

(4)

142;計(jì)算

f

(3)

23;f

(1)

7;PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系23比較得

最大值

f

(4)

142最小值

f

(1)

7.12

x

14y

2

x3

3

x2

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2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系24速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？例2

敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系250.5公里4公里BA解

(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系設(shè)

t

為我軍從B處發(fā)起追擊至射擊的時(shí)間(分).敵我相距函數(shù)s(t

)s(t

)s(t

)

(0.5

t

)2

(4

2t

)2(2)求s

s(t

)的最小值點(diǎn).s(t

)

.(0.5

t

)2

(4

2t

)25t

7.5令s(t

)

0,得唯一駐點(diǎn)t

1.5.故得我軍從B處發(fā)起追擊后

1.5

分鐘射擊最好.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系26實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:建立目標(biāo)函數(shù);求最值;若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最(或最小)值．PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系27例3

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)

定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去．當(dāng)每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修費(fèi)．試問房租定為多少可獲得最大收入？解 設(shè)房租為每月x元，

10租出去的房子有50

x

180

套，每月總收入為

10R(

x)

(

x

20)

50

x

180

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2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2810

R(

x)

(

x

20)68

x

10

10

5R(

x)

68

x

(

x

20)

1

70

xR(

x)

0故每月每套

x

350

（唯一駐點(diǎn)）為350元時(shí)收入最高。10

最大收入為R(x)

(350

20)68

350

10890(元)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系29成一個(gè)曲邊三角形，在曲邊

y

x2

上求一點(diǎn)使曲線在該點(diǎn)處的切線與直

線y

0

及x

8所圍成的三角形面積最大．例4

由直線

y

0，x

8

及拋物線

y

x2

圍PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系30解 如圖,設(shè)所求切點(diǎn)為P(x0

,y0

),則切線PT為y

y0

2

x0

(

x

x0

),0

0y

x

2

,

A(1

x

,

0),

C

(8,

0),200

x

2

)0B(8,

16

xTxyoPABC2

2000

S

1

(8

1

x

)(16

x

x2

)ABC0(0

x

8)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系31

16

16)

0,14020(3

x

64

x令

S

解得30x

16(舍去).0x

16

,s

(

16

8

0.3

3

21716

4096

為極大值.)

s(

)故s(16)

4096

為所有三角形中面積的最大者.3

27PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系32六、小結(jié)單調(diào)性的判別是

日中值定理定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系33極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系34注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念.實(shí)際問題求最值的步驟.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系35思考題1若f

(0)

0，是否能斷定f

(x)在原點(diǎn)的充分小的鄰域內(nèi)單調(diào)遞增？PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系36思考題1解答不能斷定.0,

x

0

x

2

x2

sin

1

,

x

0x例

f

(

x)

xx0f

(0)

lim(1

2

x

sin

1

)

1

01但

f

(

x)

1

4

x

sin

1

2cos

,

x

0x

xPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系37(2k

1)當(dāng)

x

2時(shí)，

f

(

x)

1

01時(shí)，f

(x)

1

02(2k

1)412k當(dāng)

x

注意k可以任意大，故在

x0

0

點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，f

(

x)

都不單調(diào)遞增．PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系38下命題正確嗎？如果x0

為f

(x)的極小值點(diǎn)，那么必存在

x0

的某鄰域，在此鄰域內(nèi)，f(x)在x0

的左側(cè)下降，而在x0

的右側(cè)上升.思考題2PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系39解答例不正確．2

x2

(2

sin

1

),

x

0x2,

x

0f

(

x)

x當(dāng)x

0時(shí)，f

(

x)

f

(0)

x2

(2

sin

1

)

0于是x

0為f

(x)的極小值點(diǎn)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系40當(dāng)x

0時(shí)，x2

x(2

sin

1

)

0,xcos

1

在–1和1之間振蕩因而f

(x)在x

0的兩側(cè)都不單調(diào).故命題不成立．1f

(

x)

2

x(2

sin )

cos

1x

x當(dāng)x

0時(shí)，PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系41一、填空題：1、函數(shù)y

2

x

3

6

x

2

18

x

7單調(diào)區(qū)間為

.2、函數(shù)y

1

x

22

x在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)，在

上單調(diào)減.，3、函數(shù)y

x

2

ln

x

2

的單調(diào)區(qū)間為單減區(qū)間為

.二、 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1、y

4

x

3

9

x

2

6

x10；(

a

0

)

；2、y

3

(2

x

a)(a

x)23、y

x

sin

2

x

.練習(xí)題1PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系42三、

證明下列不等式：1、當(dāng)x

0時(shí)，1

x

ln(x

2、

當(dāng)x

4時(shí)，2

x

x

2

；1

x

2

)

1

x

2

；3、若x

0，則sin

x

x

1

x

3

.6四、

方程

ln

x

ax

(a

0)有幾個(gè)實(shí)根.五、 設(shè)f

(

x)在[

a,

b

]

上連續(xù)，在(

a,

b)

內(nèi)

f

(

x),

試證明：對(duì)于[

a,

b]上任意兩x1

，

x2

有2

2

x2

)

f

(x1)

f

(x2

)[提示：方法（1）f

(

x1f

(

x)

0，f

(

x)單增；方法（2）

f

(

x)

0，利用

公式]PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系432一、1、(,1],[3,)單調(diào)增加,[1,3]單調(diào)減少；2、增加,(,1],[1,)3、(,1],[1,)；[1,0),(0,1];(,1],(0,1].1二、1、在(,0),

(0,

],[1,)內(nèi)單調(diào)減少,在1[

,1]上單調(diào)增加；

232、在(,2

a],[a,)內(nèi)單調(diào)增加,2在[

a,

a]上單調(diào)減少；

3練習(xí)題1答案PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系44k

k

3、在[

,

]上單調(diào)增加,2

2

3在[k

,

k

]上單調(diào)減少,

(k

0,1,2,

).2

3

2

2e四、(1)

a

1

時(shí)沒有實(shí)根；e(2)

0

a

1

時(shí)有兩個(gè)實(shí)根；e(3)

a

1

時(shí)只有x

e一個(gè)實(shí)根.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系45

x

1,

x

0一、 填空題：1、

極值反映的是函數(shù)的 性質(zhì).2、

若函數(shù)

y

f

(

x)

在

x

x0

可導(dǎo)，則它在點(diǎn)

x0

處到得極值的必要條件中為

.23、

函

數(shù)

y

2

(

x

1)

3

的

極

值

點(diǎn)

為1y

3

2(

x

1)

3

的極值為；.3

x

x

,

x

04、已知函數(shù)f

(x)當(dāng)x

時(shí)，y

為極

小值；

當(dāng)

x

時(shí)

，y

為極大值.練習(xí)題2PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系46二、求下列函數(shù)的極值：1、y

e

x

cos

x

；212、y

x

x；3、方程e

x

y

y

0所確定的函數(shù)y

f

(

x)；2e

,

x

04、y

1x.0,x

0三、證明題：1、如果y

ax

3

bx

2

cx

d

滿足條b

2

3ac

0

，則函數(shù)無極值.2、設(shè)f

(x)是有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)的偶函數(shù)f(x)

0

，則x

0

為f

(x)的極值點(diǎn).PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系47一、1、局部；3、(1,

2),

無；2、f

(x0

)

0

；1

134、

,( )

e

,0,1;二、1、極大值y(e

e2ke

4