高考總復(fù)習(xí)走向清北課件34數(shù)學(xué)基本不等式及其應(yīng)用

第三十四講

基本不等式及其應(yīng)用回歸課本1.算術(shù)平均數(shù)如果a,b∈R+,那么2.幾何平均數(shù)如果a,b∈R+,那么

叫做這兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù).叫做這兩個正數(shù)的幾何平均數(shù).a

b

2

aba

b

3.重要不等式如果a,b∈R,則a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取“=”);,取“=”).均值定理可以敘述為:兩個正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù).2均值定理:如果a,b∈R+,那么

≥

ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時a

b

ab22;(2)ab≤

;(3)

≥2(ab

0);ab

a2

b2(4)

≤22ba2

2

a

b

2

24.變式形式;(5)ab≤

2(a2

b2).上述不等式(1)ab≤中等號成立的充要條件均為a

b.1

25.已知x、y都是正數(shù),則(1)若x+y=S(和為定值),則當(dāng)x=y時,積xy取最大值(2)若xy=P(積為定值),則當(dāng)x=y時,和x+y取得最小值即兩個正數(shù)的和為定值,則可求其積的最大值;積為定值,則

可求其和的最小值.應(yīng)用此結(jié)論要注意三個條件;“一正二

定三相等”,即:①各項(xiàng)或各因式為正;②和或積為定值;③各項(xiàng)或各因式都能

取得相等的值.4S

.

2

P.考點(diǎn)陪練1.函數(shù)y=log2x+logx2的值域是()B.[2,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)A.(-∞,-2]C.[-2,2]答案:DB.3

92.已知x+3y=2,則3x+27y的最小值為()3

A.6

C.2

2答案:AD.43.給出下列各式:①a

1

2a;②

x2D.31

xab

ab2

1

x

1≤2;≥2;③A.0

B.1

C.2

答案:C)

B.abD.2

ab4.設(shè)0

a

1,0

b

1,且a

b,下列各式中值最大的是(

A.a2

b2C.2ab

答案:BA.

≥2b

a21

1

2)abb

aC.B.a2

b2≥2ab

2

≥ab

D.

≥2a

b

a

b

ab5.設(shè)a

0,b

0,下列不等式中不成立的是(

bababa

a

b

a

b

a

b

2

2立.

答案:D類型一證明不等式解題準(zhǔn)備:證明不等式是均值不等式的一個基本應(yīng)用,注意分

析不等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)特征,通過拆(添)項(xiàng)創(chuàng)設(shè)一個

應(yīng)用均值不等式的條件.在解決本類問題時注意以下幾點(diǎn)

:(1)均值不等式成立的前提條件;(2)通過加減項(xiàng)的方法配

湊成算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的形式;(3)注意“1”的代

換;(4)靈活變換基本不等式的形式并注意其變形式的運(yùn)用

.【典例1】證明:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).[分析]利用a2+b2≥2ab(a,b∈R)求證即可.[證明]∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).即原命題可得證.a2

b

ab

2

;2

2[反思感悟]證明不等式時,可依據(jù)求證式兩端的式子結(jié)構(gòu),

合理選擇基本不等式及其變形不等式來證.≥

ab如a2

b2≥2ab(a,bR),可變形為ab≤

2

2

2

2

2

2都是對“a2

b2≥2ab,a,bR”的靈活運(yùn)用.本題先局部運(yùn)用重要不等式,然后用不等式的性質(zhì),通過不等式相加(有時相乘)綜合推出要求證的不等式,這種證明方法在證明這類輪換對稱不等式時具有一定的普遍性.類型二

求最值解題準(zhǔn)備:1.利用基本不等式可以求一些函數(shù)或代數(shù)式的最值.2.應(yīng)用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式,主要有:a2

b

ab.

211a

b1如果a,b0,,則

11

x

x且僅當(dāng)x

y時取等號);

2

2

4a2

b2

c2≥abacbc(當(dāng)且僅當(dāng)a

b

c時取等號).

2

≥2

2≥

ab≥4

9x

y

4x2【典例2】解下列問題:

1已知a

0,b

0,且4a

b

1,求ab的最大值;2已知x

2,求x的最小值;

ab≤

,ab≤.所以ab的最大值為ab

4a

b≤

2

.,1112

8

2.

11611

4ab

14

4

2

16

1

1

1

4

16

16解法二:

a

0,b

0,4a

b

1,所以ab的最大值為

[解]1解法一:

a

0,b

0,4a

b

1,1

4ab≥2

4ab

4

ab,

111

2

8

2x

x2

2≥2

(x2)22

6,

4

4

4x2

x2

x2

4x2

4x2x

2,x

2

0,當(dāng)且僅當(dāng)x2

,即x

4時,等號成立.所以x的最小值為6.

(x

y)

13

4

9

4

9

4y

9x

4y

9xx

y

1,

x

5,時等號成立,由

x

y

,

y

3,34y

9x

x

y

23

5

54

9x

y

25,

2

5x

0,y

0,x

y

1,當(dāng)且僅當(dāng)4y

9x

得

≥132x

y

x

y

x

y

x

y4

9

x

y

4

9

.x

y

2

[反思感悟]1求最值時,要注意“一正,二定,三相等”

,一

定要明確什么時候等號成立.

2學(xué)好基本不等式,關(guān)鍵是靈活應(yīng)用,添常數(shù)、配系數(shù)、“1”的代換是常用到的方法.在本例1中解法二采用了配

系數(shù),2中采用了添常數(shù),3中利用了“1”的代換.如果3中若x

y

2,則如何用“1”的代換?顯然

x

y

2

x

y

1,故類型三利用均值不等式解應(yīng)用題解題準(zhǔn)備:均值不等式作為求最值的常用工具,經(jīng)常在有關(guān)最

優(yōu)解的實(shí)際問題中應(yīng)用.應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題的

基本步驟是:①仔細(xì)閱讀題目,透徹理解題意;②分析實(shí)際

問題中的數(shù)量關(guān)系,引入未知數(shù),并用它表示其它的變量,

把要求最值的變量設(shè)為函數(shù);③應(yīng)用均值不等式求出函數(shù)

的最值;④還原實(shí)際問題,作出解答.【典例3】某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200

m2的

三級污水處理池(平面圖如圖所示).如果池四周圍墻建造

單價為400元/m,中間兩道隔墻建造單價為248元/m,池底建

造單價為80元/m2,水池所有墻的厚度忽略不計(jì).(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價;(2)若由于地形限制,該池的長和寬都不能超過16

m,試設(shè)計(jì)污水池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價.

160002

800x,100

9200

x259200

x16000

259200259200

x

x

28001816000

44800,[解]設(shè)污水處理池的長為x

m,則寬為m,再設(shè)總造價為y元,則有

200200

x

x當(dāng)且僅當(dāng)800x

即x

18

m時,y取得最小值.當(dāng)污水池的長為18

m,寬為m時總造價最低,為44800元.200

x2

0

x≤16,012.5≤x≤16,x

18,不能用基本不等式,但我們可用函數(shù)單調(diào)性定義證明

上述目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間12.5,16上是減函數(shù),從而利用單

調(diào)性求得最小值.由1知,

y

(x)

324

x

≤16,

1

2

x

800

(

1

2)

324

x

x

則

x

1

2

x

1

2

1

2

800(

)(

324)

x

x

x

x

xx1x2

1

1

x1

x2,

0.對任意x1、x2

12.5,16,設(shè)x1

x2,故y

x在12.5,16上為減函數(shù).從而有x≥16

45000,當(dāng)污水池的長度為16

m,寬為12.5

m時有最低總造價,最低總造價為45000元.數(shù),以及

”等形式.解函數(shù)應(yīng)用題中的

(

0,

0)

y

ax

a

b

[反思感悟]不等式應(yīng)用的特點(diǎn)是:(1)問題的背景是人們關(guān)心的社會熱點(diǎn)問題,如“物價?稅收?銷售?市場信息”等,題目往往篇幅較長.(2)建立函數(shù)模型常見的有“正(反)比例函數(shù)?一次函數(shù)?二次函數(shù)?指數(shù)函數(shù)?對數(shù)函數(shù)?三角函最值問題一般利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式來解決.bx錯源一忽視等號成立的條件

x

y

x

y

的最小值為______.2

x

y2

2xy2xy

1

a

x

y

x

y

所以z的最小值是4.錯解二:

z

xy

xy

2

xy

xy

2(

2

1),所以z的最小值是2(

2

1).[剖析]解法一和解法二的錯誤原因是等號同時成立的條件不

具備,因此使用基本不等式一定要驗(yàn)證等號成立的條件,只

有等號成立時,所求出的最值才是正確的.[

]z

正解1

1

xy

xy

2,

xy

2

1

y

xxy

x

yxy

xyxyx

y

x

y

1

(x

y)2

2xy故當(dāng)t

時,

f

(t)

t

有最小值所以當(dāng)x

y

時z有最小值,.1252

412334

t

4

2

1

2

42

1

t

425

4[答案]1

1≥2

(x1)1

3,得出y3,這一

1

1

x1

x1錯誤結(jié)果.

錯源二

忽視均值不等式應(yīng)用條件致誤

1

x1[剖析]應(yīng)用均值不等式

≥

ab時,易忽視a、b同為非

2

1

x1[正解]當(dāng)x

1時,

y

x

x1

1≥2

(x1)1

x

1≥2

(1

x)13,

1

1

1x1

x1

x1

1x111,

1

1

11

x

1

x

1

x當(dāng)且僅當(dāng)x1,即x

2時等號成立;當(dāng)x

1時,y

x

1

1

x原函數(shù)的值域?yàn)?1

3,.

[答案](-∞,-1]∪[3,+∞)2

a

b

(

,

0)

,

y

ax

a

b

函數(shù)是形如

的特殊情況

在應(yīng)用均值不,

,

,

ax

等式求函數(shù)最值時

一定要注意

的符號

必要時要進(jìn)2bxbx[評析]利用均值不等式a

b≥2

ab以及變式ab≤(

)

等求函數(shù)的最值時,務(wù)必注意a,bR(或a,b非負(fù)),積ab或a

b其中之一應(yīng)定值,特別要注意等號成立的條件.本題中的行分類討論.技法一

快速解題(三角換元)【典例1】已知a、b、c、d∈R,x、y∈R+,且

x2=a2+b2,y2=c2+d2.求證:xy≥ac+bd.[快解]聯(lián)想到圓的參數(shù)方程,設(shè)a=xcosθ

,b=xsinθ

,c=ycosφ

,d=ysinφ

,則ac+bd=xycosθ

cosφ

+xysinθ

sinφ

=xycos(θ

-φ

)≤xy.[另解切入點(diǎn)]有a2+b2、c2+d2的形式出現(xiàn),就可以用

a2+b2≥2ab.由于a、b、c、d∈R,故ac+bd可能為正,也可

能為負(fù).當(dāng)ac+bd<0時,顯然不需證明,只需考慮ac+bd>0的

情況.[證明]證法一:當(dāng)ac+bd<0時,顯然有xy≥ac+bd成立.當(dāng)ac+bd≥0時,x2y2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2,即xy≥ac+bd.證法二:當(dāng)ac+bd<0時,顯然有xy≥ac+bd成立;當(dāng)ac+bd≥0時,欲證xy≥ac+bd,只需證x2y2≥a2c2+b2d2+2abcd.∵x2=a2+b2,y2=c2+d2,∴(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd.即x2y2≥a2c2+b2d2+2abcd成立,因此,原不等式成立.[方法與技巧]證法一與證法二基本相同,只是形式不同而已.

而快解聯(lián)想到圓的參數(shù)方程,進(jìn)行三角代換,又不必考慮ac+bd的正負(fù)問題,僅注意到xy>0、-1≤cos(θ

-φ

)≤1就行了.[得分主要步驟]本題證明步驟簡單,但需考慮ac+bd或正或負(fù)

的兩種情況.若ac+bd<0,則(ac+bd)2與x2y2的大小不能確定

,證題時需注意此處.[易丟分原因]沒有考慮到ac+bd≥0還是ac+bc<0.技法二

如何解決含有多個變量的條件最值問題求解含有多個變量的條件最值問題,一般方法是利用給出的

條件,通過代換減少變量的個數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為只含有一個

變量的函數(shù)的最值問題進(jìn)行解決.如果條件等式中含有兩

個變量的和與積的形式,可以直接利用均值不等式對兩個

正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后通過解不等式進(jìn)行求解,或者

通過構(gòu)造一元二次方程,根據(jù)已知變量的取值范圍,利用根

的分布解決問題.2

a,b

3.(1)a

b

【典例

】已知正數(shù)

滿足

的取值范圍為11a

b________;2ab的取值范圍為________.[解析]由