三重積分課件

定義:設(shè)存在,記作稱為體積元素

若對(duì)作任意

分割,及任意取點(diǎn),下列“乘積和式”的極限則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下也常寫作定義:設(shè)存在,記作稱為體積元素若對(duì)作任意分割1性質(zhì)中值定理:

設(shè)在有界閉域上連續(xù),使得其中V為的體積.三重積分的性質(zhì)與二重積分相似,例如則存在一點(diǎn)性質(zhì)中值定理:設(shè)在有界閉2直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分．二、三重積分的計(jì)算如圖，直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分．二、三重積分的計(jì)算如圖，3得得4注意“先一后二”注意“先一后二”5解解6三重積分課件7三重積分課件8三重積分課件9三重積分課件10三重積分課件11解解12原式原式13三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分規(guī)定：三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分規(guī)定：14柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平面．柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為15如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為16例4.計(jì)算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面例4.計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中17解知交線為解知交線為18三重積分課件19解所圍成的立體如圖，解所圍成的立體如圖，20所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖，21三重積分課件22四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分23規(guī)定：如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；球面；半平面．規(guī)定：如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；球面；半平面．24球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，25球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，26三重積分課件27三重積分課件28三重積分課件29解解30三重積分課件31補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡三重積分計(jì)算使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性．補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡三重積分計(jì)算使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：１、積分32解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),33解解34三重積分課件35三重積分課件36（2）柱面坐標(biāo)的體積元素三重積分計(jì)算法柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)五、小結(jié)直角坐標(biāo)（1）直角坐標(biāo)的體積元素為長方體，四面體或任意形體為柱體，椎體或由柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面所圍成的形體（2）柱面坐標(biāo)的體積元素三重積分計(jì)算法柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)五、37（3）球面坐標(biāo)的體積元素（4）對(duì)稱性簡化運(yùn)算被積函數(shù)：被積函數(shù)：為球體或球體的一部分，椎體（3）球面坐標(biāo)的體積元素（4）對(duì)稱性簡化運(yùn)算被積函數(shù)：被38思考題思考題39練習(xí)題練習(xí)題40三重積分課件41三重積分課件42練習(xí)題答案練習(xí)題答案43三重積分課件44作業(yè)P1645,9(1)，11(4)作業(yè)P1645,9(1)，11(4)45定義:設(shè)存在,記作稱為體積元素

若對(duì)作任意

分割,及任意取點(diǎn),下列“乘積和式”的極限則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下也常寫作定義:設(shè)存在,記作稱為體積元素若對(duì)作任意分割46性質(zhì)中值定理:

設(shè)在有界閉域上連續(xù),使得其中V為的體積.三重積分的性質(zhì)與二重積分相似,例如則存在一點(diǎn)性質(zhì)中值定理:設(shè)在有界閉47直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分．二、三重積分的計(jì)算如圖，直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分．二、三重積分的計(jì)算如圖，48得得49注意“先一后二”注意“先一后二”50解解51三重積分課件52三重積分課件53三重積分課件54三重積分課件55三重積分課件56解解57原式原式58三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分規(guī)定：三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分規(guī)定：59柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平面．柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為60如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為61例4.計(jì)算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面例4.計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中62解知交線為解知交線為63三重積分課件64解所圍成的立體如圖，解所圍成的立體如圖，65所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖，66三重積分課件67四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分68規(guī)定：如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；球面；半平面．規(guī)定：如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；球面；半平面．69球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，70球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，71三重積分課件72三重積分課件73三重積分課件74解解75三重積分課件76補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡三重積分計(jì)算使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性．補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡三重積分計(jì)算使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：１、積分77解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),78解解79三重積分課件80三重積分課件81（2）柱面坐標(biāo)的體積元素三重積分計(jì)算法柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)五、小結(jié)直角坐標(biāo)（1）直角坐標(biāo)的體積元素為長方體，四面體或任意形體為柱體，椎體或由柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面所圍成的形體（2）柱面坐標(biāo)的體積元素三重積分計(jì)算法柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)五、82（3）球面坐標(biāo)的體積元素（4）對(duì)稱性簡化運(yùn)算被積函數(shù)：被積函數(shù)：為球體或球體的一部分，椎體（3）球面坐標(biāo)的體積元