【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)一 數(shù)學(xué)歸納法的原理

數(shù)列環(huán)節(jié)一數(shù)學(xué)歸納法的原理引入新課證明某類命題多米諾骨牌的全部倒下數(shù)學(xué)歸納法的原理數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用類比思想數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算研究思路邏輯推理答案：，

，

.問題導(dǎo)入問題1已知數(shù)列滿足，

，計(jì)算，猜想其通項(xiàng)公式，并證明你的猜想.猜想通項(xiàng)公式為：（n∈N*）（n∈N*）已知數(shù)列滿足，

，計(jì)算，猜想其通項(xiàng)公式，并證明你的猜想.問題導(dǎo)入問題1答案：僅通過前幾項(xiàng)不能得出所有的結(jié)果，這樣得出的猜想不一定正確.如：17世紀(jì)，法國大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)，對于，分別驗(yàn)證n=1，2，3，4，這個(gè)數(shù)均為質(zhì)數(shù)，從而猜測：對于任意的自然數(shù)，這個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)．半個(gè)世紀(jì)后歐拉舉出了反例：當(dāng)n=5時(shí)，該數(shù)可拆成兩個(gè)數(shù)的乘積．追問1僅通過前幾項(xiàng)能得出所有的結(jié)果嗎？這樣得出的猜想一定正確嗎？猜想通項(xiàng)公式為：（n∈N*）（n∈N*）問題導(dǎo)入問題1已知數(shù)列滿足，

，計(jì)算，猜想其通項(xiàng)公式，并證明你的猜想.答案：一般來說，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證.但當(dāng)n較大時(shí)，驗(yàn)證起來會很麻煩.尤其是我們這里要證明n取所有正整數(shù)都成立，這是一個(gè)無限的問題，逐一驗(yàn)證是不可能的，我們無法用常規(guī)方法嚴(yán)格證明.因此，我們很有必要尋求一種新的方法，這種方法能讓我們通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時(shí)命題都成立.追問2該如何證明這個(gè)猜想呢？猜想通項(xiàng)公式為：（n∈N*）（n∈N*）類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行，怎么做能讓骨牌都倒下？類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行，怎么做能讓骨牌都倒下？追問1

如果碰倒第一塊骨牌，是不是其余的骨牌都將被依次推倒呢？答案：若骨牌間距過大，導(dǎo)致前一塊骨牌無法推倒后一塊骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下.因此要讓相鄰兩個(gè)骨牌之間保持合適的間距，這個(gè)間距要能保證任意相鄰兩塊骨牌，前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下.類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行，怎么做能讓骨牌都倒下？追問2如果保證了前一塊一定能把后一塊推倒，那么它們倒了嗎？答案：如果第一塊骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不會倒.所以第一塊骨牌倒下，給所有骨牌倒下提供了基礎(chǔ)，這個(gè)條件必不可少.可歸納得出使所有骨牌都倒下的條件有兩個(gè)：（1）第一塊骨牌已倒；（2）前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下.類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行，怎么做能讓骨牌都倒下？可歸納得出使所有骨牌都倒下的條件有兩個(gè)：（1）第一塊骨牌已倒；（2）前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下.追問3

條件（1）與條件（2）有何聯(lián)系？類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行，怎么做能讓骨牌都倒下？可歸納得出使所有骨牌都倒下的條件有兩個(gè)：（1）第k塊骨牌已倒；（2）從第k塊開始，前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下.答案：條件（2）中k的最小值就是條件（1）中骨牌倒下的初始值.追問3

條件（1）與條件（2）有何聯(lián)系？類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行，怎么做能讓骨牌都倒下？追問4多米諾骨牌游戲與證明猜想“數(shù)列的通項(xiàng)公式是

”有相似性嗎？由及遞推關(guān)系由及遞推關(guān)系……遞推關(guān)系：命題：當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，則n=k+1時(shí)猜想也成立.如果n=k時(shí)猜想成立，那么即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立.即答案：（n∈N*）類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行，怎么做能讓骨牌都倒下？追問4多米諾骨牌游戲與證明猜想“數(shù)列的通項(xiàng)公式是

”有相似性嗎？答案：骨牌原理猜想的證明步驟（1）第一塊骨牌已經(jīng)倒下（1）證明n=1時(shí)，猜想正確（2）證明“如果前一塊倒下，則后一塊也跟著倒下”這句話是真實(shí)的（2）證明“當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，則n=k+1時(shí)猜想也成立”是真命題根據(jù)（1）（2），所有骨牌都能倒下根據(jù)（1）（2），這個(gè)猜想對一切正整數(shù)n都成立（n∈N*）問題解決問題3類比骨牌原理，證明問題1中的猜想需要幾步？答案：需要分成兩步問題解決問題3類比骨牌原理，證明問題1中的猜想需要幾步？追問1

多米諾骨牌游戲的條件（1）是確保第一塊已經(jīng)倒下.那么猜想的證明中第一步應(yīng)該是什么呢？答案：第一步應(yīng)該證明猜想在n=1時(shí)成立.問題解決問題3類比骨牌原理，證明問題1中的猜想需要幾步？追問2骨牌原理的條件（2）是確?！叭绻趉塊骨牌倒下，那么第k+1塊骨牌也能倒下.”類似的，猜想的證明中就是要證明什么呢？答案：第二步應(yīng)該證明若n=k時(shí)猜想成立，則n=k+1時(shí)猜想也成立.如果能證明這一點(diǎn)，那么就可以由“n=1時(shí)猜想成立”推出“n=2時(shí)猜想成立”，再由“n=2時(shí)猜想成立”推出“n=3時(shí)猜想成立”，依此類推，就可以使這個(gè)猜想成立的范圍從1開始，向后一個(gè)數(shù)接一個(gè)數(shù)地傳遞到1以后地每一個(gè)數(shù)，從而完成證明.抽象概括問題4你能從這個(gè)具體問題的解決辦法中，抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎？答案：一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

（1）證明當(dāng)n＝n0（n0∈N*）時(shí)命題成立；（2）以“當(dāng)n＝k（k∈N*，k≥n0）時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”.

只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.抽象概括問題4你能從這個(gè)具體問題的解決辦法中，抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎？追問1

所有命題都是從n＝1開始成立嗎？答案：證明起點(diǎn)的選擇不一定要取1，而是取證明命題成立的最小正整數(shù).如：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“凸多邊形的內(nèi)角和為(n-2)180?！睉?yīng)從n=3開始驗(yàn)證.抽象概括問題4你能從這個(gè)具體問題的解決辦法中，抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎？追問2第二步中的k是怎樣的正整數(shù)？答案：k應(yīng)該是大于或等于n0的正整數(shù)，

不能把“k≥n0”改成“k＞n0”.抽象概括問題4你能從這個(gè)具體問題的解決辦法中，抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎？追問3數(shù)學(xué)歸納法適用于怎樣的數(shù)學(xué)問題?答案：數(shù)學(xué)歸納法用于證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可以將這個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題記為P(n).抽象概括問題4你能從這個(gè)具體問題的解決辦法中，抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎？追問4

數(shù)學(xué)歸納法這兩個(gè)步驟之間有關(guān)系嗎？答案：記P(n)

是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題.條件：（1）P(n0)為真；（2）若P(k)(k∈N*，k≥n0)為真，則P(k＋1)也為真.P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真…….歸納奠基歸納遞推抽象概括問題4你能從這個(gè)具體問題的解決辦法中，抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎？追問4

數(shù)學(xué)歸納法這兩個(gè)步驟之間有關(guān)系嗎？答案：記P(n)

是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題.條件：（1）P(n0)為真；（2）若P(k)(k∈N*，k≥n0)為真，則P(k＋1)也為真.

結(jié)論：P(n)為真.歸納奠基歸納遞推課題小結(jié)問題5什么是數(shù)學(xué)歸納法？答案：數(shù)學(xué)歸納法是用于證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題的數(shù)學(xué)演繹證明方法.課題小結(jié)問題5什么是數(shù)學(xué)歸納法？追問1

數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟都必要嗎？答案：數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟都必要.第一步是命題遞推的基礎(chǔ)，我們把第一步稱為是歸納奠基.第二步是命題遞推的依據(jù)，即確認(rèn)一種遞推關(guān)系，我們把第二步稱為是歸納遞推.“歸納奠基”和“歸納遞推”這兩個(gè)步驟缺一不可.課題小結(jié)問題5什么是數(shù)學(xué)歸納法？追問2為了