2020年九年級數(shù)學中考三輪沖刺復習：《圓》 證明與計算綜合（一）

18/182020年中考三輪沖刺復習培優(yōu)練習：《圓》證明與計算綜合（一）1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，且以AB為直徑的⊙O經過點D．（Ⅰ）如圖（1），若∠BAD＝45°，求證：CD與⊙O相切；（Ⅱ）如圖（2），若AD＝6，AB＝10，⊙O交CD邊于點F，交CB邊延長線于點E，求BE，DF的長．2．如圖，⊙O過?ABCD的三頂點A、D、C，邊AB與⊙O相切于點A，邊BC與⊙O相交于點H，射線AP交邊CD于點E，交⊙O于點F，點P在射線AO上，且∠PCD＝2∠DAF．（1）求證：△ABH是等腰三角形；（2）求證：直線PC是⊙O的切線；（3）若AB＝2，AD＝，求⊙O的半徑．3．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點A作AE⊥CD，交CD的延長線于點E，DA平分∠BDE．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半徑．4．已知AM是⊙O直徑，弦BC⊥AM，垂足為點N，弦CD交AM于點E，連按AB和BE．（1）如圖1，若CD⊥AB，垂足為點F，求證：∠BED＝2∠BAM；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接BD，若∠ABE＝∠BDC，求證：AE＝2CN；（3）如圖3，AB＝CD，BE：CD＝4：7，AE＝11，求EM的長．5．如圖，在Rt△COD中，∠COD＝90°，∠D＝30°，斜邊CD與以AB為直徑，O為圓心的半圓相切于點P，OD與半圓交于點E，連接PA，PE，PA與OC交于點F．猜想與證明：（1）當∠BOD＝60°時，試判斷四邊形AOEP的形狀，并證明；探索與發(fā)現(xiàn)：（2）當AB＝6時，求圖中陰影部分的面積；（3）若不再添加任何輔助線和字母，請寫出圖中兩組相等的線段．（半徑除外）6．如圖，AB是⊙O的直徑，點D是半圓圓角上的一點，連結AD，過點B作⊙O的切線BC交AD的延長線于點C，E為BC的中點，連結DE，延長DE交AB的延長線于點F，連接BD．（1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若DE＝EF＝2，求圖中陰影部分的面積．7．如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EF、EO．若DE＝2，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半徑；（2）求圖中陰影部分及△PBF的面積．8．如圖，在ABC中，AB＝BC，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、F，①求證：ED是⊙O的切線；②求證：DE2＝BF?AE；③若DF＝3，cosA＝，求⊙O的直徑．9．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為4，BE＝2，求∠F的度數(shù)．10．已知AB為⊙O直徑，以OA為直徑作⊙M．過B作⊙M得切線BC，切點為C，交⊙O于E．（1）在圖中過點B作⊙M作另一條切線BD，切點為點D（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不用證明）；（2）證明：∠EAC＝∠OCB；（3）若AB＝4，在圖2中過O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切線BD于N，求BN的值．

參考答案1．（Ⅰ）證明：連接OD．∵∠A＝45°，OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝45°，∴∠BOD＝90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．∴∠CDO+∠BOD＝180°．∴∠CDO＝∠BOD＝90°．∴OD⊥DC，∴CD與⊙O相切．（Ⅱ）如圖2中，連接DE，EF，BD．∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB＝90°．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBD＝90°．∴DE是⊙O直徑．∴DE＝AB＝CD＝10．∴BE＝BC＝AD＝6．在Rt△DEF和Rt△CEF中，EF2＝DE2﹣DF2，EF2＝CE2﹣CF2∴DE2﹣DF2＝CE2﹣CF2．設DF＝x，則CF＝10﹣x．∴102﹣x2＝122﹣（10﹣x）2．解得．即．2．（1）證明：∵四邊形ADCH是圓內接四邊形，∴∠ADC+∠AHC＝180°，又∵∠AHC+∠AHB＝180°，∴∠ADC＝∠AHB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC＝∠B，∴∠AHB＝∠B，∴AB＝AH，∴△ABH是等腰三角形；（2）證明：連接OC，如右圖所示，∵邊AB與⊙O相切于點A，∴BA⊥AF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴CD⊥AF，又∵FA經過圓心O，∴，∠OEC＝90°，∴∠COF＝2∠DAF，又∵∠PCD＝2∠DAF，∴∠COF＝∠PCD，∵∠COF+∠OCE＝90°，∴∠PCD+∠OCE＝90°，即∠OCP＝90°，∴直線PC是⊙O的切線；（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB＝2，∵FA⊥CD，∴DE＝CE＝1，∵∠AED＝90°，AD＝，DE＝1，∴AE＝，設⊙O的半徑為r，則OA＝OD＝r，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，∵∠OED＝90°，DE＝1，∴r2＝（4﹣r）2+12解得，r＝，即⊙O的半徑是．3．（1）證明：連結OA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA．∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA．∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．∵點A在⊙O上，∴AE是⊙O的切線．（2）解：過點O作OF⊥CD，垂足為點F．∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，∴四邊形AOFE是矩形．∴OF＝AE＝8cm．又∵OF⊥CD，∴DF＝CD＝6cm．在Rt△ODF中，OD＝＝10cm，即⊙O的半徑為10cm．4．解：（1）∵BC⊥AM，CD⊥AB，∴∠ENC＝∠EFA＝90°．∵∠AEF＝∠CEN，∴∠BAM＝∠BCD．∵AM是⊙O直徑，弦BC⊥AM，∴BN＝CN，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠BCD，∴∠BED＝2∠BCD＝2∠BAM；（2）連接AC，如圖2，∵AM是⊙O直徑，弦BC⊥AM，∴＝，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BAM＝∠BED，∴BD＝BE．在△ABE和△CDB中，，∴△ABE≌△CDB，∴AE＝CB．∵BN＝CN，∴AE＝CB＝2CN；（3）過點O作OP⊥AB于P，作OH⊥BE于H，作OQ⊥CD于Q，連接OC，如圖3，則有AP＝BP＝AB，CQ＝DQ＝CD．∵AB＝CD，∴AP＝CQ，∴OP＝＝＝OQ．∵AM垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠BEA＝∠CEA．∵OH⊥BE，OQ⊥CD，∴OH＝OQ，∴OP＝OQ＝OH，∴＝＝＝＝．又∵＝，∴＝．設AO＝7k，則EO＝4k，∴AE＝AO+EO＝11k＝11，∴k＝1，∴AO＝7，EO＝4，∴AM＝2AO＝14，∴EM＝AM﹣AE＝14﹣11＝3．5．解：（1）當∠BOD＝60°時，四邊形AOEP為菱形．證明：連接OP，如圖所示．∵CD切半圓于點P，∴OP⊥CD，又∵∠D＝30°，∴∠DOP＝60°，又∵∠BOD＝60°，∴∠AOP＝60°，∵OE＝OP＝OA，∴△OAP與△OPE為等邊三角形，∴OA＝AP＝PE＝EO，且∠PAO＝60°，∴四邊形AOEP為菱形．（2）連接OP．在Rt△OPD中，OP＝AB＝3，∠OPD＝90°，∠D＝30°，∴PD＝＝3，∠POE＝60°，陰影部分的面積S＝PD?OP﹣π?OP2＝﹣π．（3）在Rt△OPD中，∠OPD＝90°，∠D＝30°，∴OD＝＝2PD＝AB，∠POE＝60°．在△OPE中，OP＝OE，∠POE＝60°，∴△OPE為等邊三角形，∴PE＝OE．故可得出OD＝AB，PE＝OE．6．（1）證明：連接OD，如圖，∵AB為直徑，∴∠BDC＝90°，且E為BC中點，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，又OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BC為切線，∴∠OBE＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝90°，∴OD⊥DF，∴DF為⊙O的切線；（2）解：∵DE＝BE，∴BE＝2，EF＝4，∴在Rt△BEF中，∠F＝30°，又DF為切線，∴∠DOB＝60°，在Rt△ODF中，DF＝2+4＝6，∠F＝30°，∴OD＝2，∴S扇形BOD＝π?OD2＝2π，S△ODF＝OD?DF＝6，∴S陰影＝S△ODF﹣S扇形BOD＝6﹣2π．7．解：（1）∵OC⊥DE，∴DC＝EC＝DE＝×2＝，∵弦DE垂直平分半徑OA，∴OC＝OA＝OE，在Rt△OCE中，∵OE＝2OC，∴∠E＝30°，∴OC＝CE＝1，∴OE＝2，即⊙O的半徑為2；（2）連結OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如圖，∵∠DPA＝45°，∴∠DDC＝45°，∴∠EOF＝2∠EPF＝90°，△PCD為等腰直角三角形，∴圖中陰影部分的面積＝S扇形EOF﹣S△OEF＝﹣?2?2＝π﹣2；∵BC＝AB﹣AC＝4﹣1＝3，而DC＝，∴BD＝＝2，∵BC垂直平分DE，∴BD＝BE＝2，∵BD＝DE＝BE，∴△BED為等邊三角形，∴∠BED＝60°，∴∠BFD＝∠BED＝60°，∵△PCD為等腰直角三角形，∴PC＝DC＝，∴OP＝PC﹣OC＝﹣1，∴PB＝2﹣（﹣1）＝3﹣，在Rt△PBH中，∠BPH＝∠DPC＝45°，∴BH＝PH＝PB＝，在Rt△BHF中，∠HBF＝30°，∴HF＝BH＝?＝，∴PF＝PH+HF＝+＝，∴S△PBF＝??＝．8．（1）證明：∵BC為⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，即BD⊥AC，∵BA＝BC，∴AD＝CD，即D點為AC的中點，∵點O為BC的中點，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AB，而DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線；（2）證明：∵BA＝BC，BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠BDO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，而OB＝OD，∴∠BDO＝∠OBD，∴∠ADE＝∠OBD，∴Rt△AED∽Rt△DFB，∴DE：BF＝AE：DF，∴DE：BF＝AE：DE，∴DE2＝BF?AE；（3）解：∵∠A＝∠C，∴cosA＝cosC＝，在Rt△CDF中，cosC＝＝，設CF＝2x，則DC＝3x，∴DF＝＝x，而DF＝3，∴x＝3，解得x＝3，∴DC＝9，在Rt△CBD中，cosC＝＝，∴BC＝×9＝，即⊙O的直徑為．9．（1）證明：如圖，連接OD，AD．∵AC是直徑，∴AD⊥BC，又∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C，BD＝CD，∵AO＝OC，∴OD∥AB，又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∵OD為⊙O半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵⊙O的半徑為4，AB＝AC，∴AC＝AB＝4+4＝8，∵BE＝2，∴AE＝8﹣2＝6，∵DE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AED＝∠BED＝∠ADB＝90°，∴∠DAE+∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠DAE＝∠BDE，∵∠AED＝∠BED，∴△AED∽△DEB，∴＝，∴＝，解得：DE＝2，在Rt△BED中，tanB＝＝＝，∴∠B＝60°，∴∠CDF＝∠EDB＝30°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝