基本初等函數(shù)章末高效整合2

第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書(shū)中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知集合M是函數(shù)y＝lg(1－x)的定義域，集合N＝{y|y＝ex，x∈R}(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則M∩N＝()A．{x|x<1} B．{x|x>1}C．{x|0<x<1} D．?解析：要使lg(1－x)有－x>0，即x<1，即M＝(－∞，1)，又由y＝ex的值域?yàn)?0，＋∞)可知N＝(0，＋∞)，因此M∩N＝(0,1)．答案：C2．函數(shù)y＝2－|x|的大致圖象是()解析：y＝2－|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－xx≥0，,2xx<0，))函數(shù)是偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞增．故選C.答案：C3．等于()A．2＋eq\r(5) B．2eq\r(5)C．2＋eq\f(\r(5),2) D．1＋eq\f(\r(5),2)解析：答案：B4．已知f(x3)＝lgx，則f(2)等于()A．lg2 B．lg8C．lgeq\f(1,8) \f(1,3)lg2解析：令x3＝2，則x＝eq\r(3,2)，∴f(2)＝lgeq\r(3,2)＝eq\f(1,3)lg2.答案：D5．若f(x)＝(2a－1)x是增函數(shù)，那么aA．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)<eq\f(1,2) \f(1,2)<a<1解析：若f(x)＝(2a－1)x是增函數(shù)，則2a－1>1，即答案：A6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0,2x，x≤0))若f(a)＝eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)a＝()A．－1 B．－1或eq\r(2)\r(2) D．1或－eq\r(2)解析：由log2a＝eq\f(1,2)得a＝eq\r(2)>0，合適；由2a＝eq\f(1,2)得a＝log2eq\f(1,2)＝－1<0，合適；故a＝－1或eq\r(2).答案：B7．設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則()A．a(chǎn)>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b解析：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．a(chǎn)＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知log52<log32，∴b<a<c，故選D.答案：D8．已知函數(shù)f(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋1，則f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝()A．2 B．0C．1 D．－1解析：利用f(x)＋f(－x)的特殊性求解．f(x)＋f(－x)＝ln(eq\r(1＋9x2)n(eq\r(1＋9x2)＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝ln1＋2＝2，由上式關(guān)系知f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2.答案：A9．已知函數(shù)f(x)是定義在R且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足f(log2a)＋f(eqlog\s\do8(\f(1,2))a)≤2f(1)，則a的取值范圍是()A．[1,2] \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) D．(0,2]解析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得出關(guān)于a的不等式求解．∵f(eqlog\s\do8(\f(1,2))a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化為f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴0≤log2≤a≤2.∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞減，∴－1≤log2a≤0，∴eq\f(1,2)≤a≤1.綜上可知eq\f(1,2)≤a≤2.答案：C10．如果一個(gè)點(diǎn)是一個(gè)指數(shù)數(shù)函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)，那么稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為“好點(diǎn)”．在下面的五個(gè)點(diǎn)M(1,1)，N(1，2)，P(2,1)，Q(2,2)，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))中，可以是“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：設(shè)指數(shù)函數(shù)y＝ax，則可知N，Q，G可以滿(mǎn)足指數(shù)函數(shù)的條件．設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，則可知P，Q，G可以滿(mǎn)足對(duì)數(shù)函數(shù)的條件，故“好點(diǎn)”為Q，G共2個(gè)．答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)11．函數(shù)y＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))＋eq\r(1－x2)的定義域?yàn)開(kāi)_______．解析：列出函數(shù)有意義的限制條件，解不等式組．要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)>0，,1－x2≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x)>0，,x2≤1，))即eq\a\vs4\al(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>0，,－1≤x≤1，)))解得0<x≤1，所以定義域?yàn)?0,1]．答案：(0,1]12．函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)開(kāi)_______．解析：利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．當(dāng)x≥1時(shí)，eqlog\s\do8(\f(1,2))x≤eqlog\s\do8(\f(1,2))1≥1時(shí)，f(x)≤0.當(dāng)x<1時(shí)，0<2x<21，即0<f(x)<2.因此函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，2)．答案：(－∞，2)13．函數(shù)f(x)＝ax－2＋1的圖象一定過(guò)定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是________．解析：∵y＝ax恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，∴函數(shù)f(x)＝ax－2＋1恒過(guò)定點(diǎn)(2,2)．答案：(2,2)14．若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lgy，則eq\f(x,y)＝_____________________________.解析：lg(x－y)(x＋2y)＝lg2xy?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y>0，,x＋2y>0，,x>0，,y>0，,x－yx＋2y＝2xy，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>y>0，,x－2yx＋y＝0.))∴x＝2y，即eq\f(x,y)＝2.答案：2三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(本小題滿(mǎn)分12分)計(jì)算下列各式的值：(1)(eq\r(3,2)×eq\r(3))6＋(eq\r(2×\r(2)))eq\s\up10(\f(4,3))－(－2008)0；(2)lg5lg20＋(lg2)2；(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)＋(log33eq\s\up10(\f(1,2)))2＋lneq\r(e)－lg1.＝22×33＋21－1＝4×27＋2－1＝109.(2)原式＝lg5lg(5×4)＋(lg2)2＝lg5(lg5＋lg4)＋(lg2)2＝(lg5)2＋lg5lg4＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg5lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.(3)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)－0＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＋eq\f(3,4)＝eq\f(5,4)＋eq\f(3,4)＝2.16．(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0,3]．(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(2)若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足：f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范圍．解析：(1)f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3)．令t＝2x，∵0≤x≤3，∴1≤t≤8.令h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8)．當(dāng)t∈[1,2]時(shí)，h(t)是減函數(shù)；當(dāng)t∈(2,8]時(shí)，h(t)是增函數(shù)．∴f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26.(2)∵f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立，∴a≤f(x)min恒成立．由(1)知f(x)min＝－10，∴a≤－10.故a的取值范圍為(－∞，－10]．17．(本小題滿(mǎn)分12分)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時(shí)，f(x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(－x＋1)．(1)求f(0)，f(1)；(2)求函數(shù)f(x)的解析式；(3)若f(a－1)<－1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1)因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(－x＋1)，所以f(0)＝0.又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(1)＝f(－1)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))[－(－1)＋1]＝eqlog\s\do8(\f(1,2))2＝－1，即f(1)＝－1.(2)令x>0，則－x<0，從而f(－x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(x＋1)＝f(x)，∴x>0時(shí)，f(x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(x＋1)．(3)設(shè)x1，x2是任意兩個(gè)值，且x1<x2≤0，則－x1>－x2≥0，∴1－x1>1－x2>0.∵f(x2)－f(x1)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(－x2＋1)－eqlog\s\do8(\f(1,2))(－x1＋1)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))eq\f(1－x2,1－x1)>eqlog\s\do8(\f(1,2))1＝0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(－x＋1)在(－∞，0]上為增函數(shù)．又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．∵f(a－1)<－1＝f(1)，∴|a－1|>1，解得a>2或a<0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0)∪(2，＋∞)．18．(本小題滿(mǎn)分14分)設(shè)a>0，f(x)＝eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)在R上滿(mǎn)足f(x)＝f(－x)．(1)求a的值；(2)證明：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．解析：(1)依題意，對(duì)一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，即eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)＝eq