微積分課件31微分中值定理

一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第一節(jié)微分中值定理四、泰勒(Taylor)中值定理一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中1費馬（Fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理幾何解釋:1費馬（Fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理幾何解證明:證明:幾何解釋:2羅爾(Rolle)定理幾何解釋:2羅爾(Rolle)定理證由費馬引理可知，證由費馬引理可知，注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,注2:若羅爾定理的條件僅是充分條件，不是必要的.例如,XY-110注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例12）唯一性矛盾,由零點定理即為方程的正實根.證：1）存在性例12）唯一性矛盾,由零點定理即為方程的正實根.證：1）存在二、拉格朗日(Lagrange)中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理幾何解釋:證分析:弦AB方程為化歸證明法幾何解釋:證分析:弦AB方程為化歸證明法作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關(guān)系.作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推論1拉格朗日中值公式另外的表達方式：拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推論1拉格朗日中值公式另外例2證由上式得例2證由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理幾何解釋:證作輔助函數(shù)幾何解釋:證作輔助函數(shù)微積分課件31微分中值定理例3證分析:結(jié)論可變形為例3證分析:結(jié)論可變形為1問題的提出四、泰勒(Taylor)中值定理1問題的提出四、泰勒(Taylor)中值定理不足問題1、精確度不高；2、誤差不能估計。不足問題1、精確度不高；2、誤差不能估計。分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1微積分課件31微分中值定理3泰勒(Taylor)中值定理3泰勒(Taylor)中值定理證明:證明:微積分課件31微分中值定理微積分課件31微分中值定理定理1（帶lagrange余項的泰勒定理）如果f(x)在點鄰域內(nèi)有n+1階導數(shù)，則拉格朗日形式的余項定理1（帶lagrange余項的泰勒定理）如果f(x)在皮亞諾形式的余項定理2（帶peano余項的泰勒定理）如果f(x)在點鄰域內(nèi)有n+1階導數(shù)，則皮亞諾形式的余項定理2（帶peano余項的泰勒定理）如果幾點說明：幾點說明：（3）（麥克勞林公式）（3）（麥克勞林公式）4常用n階泰勒公式及其簡單應(yīng)用解4常用n階泰勒公式及其簡單應(yīng)用解微積分課件31微分中值定理微積分課件31微分中值定理微積分課件31微分中值定理解解其它函數(shù)的麥克勞林公式其它函數(shù)的麥克勞林公式一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第一節(jié)微分中值定理四、泰勒(Taylor)中值定理一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中1費馬（Fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理幾何解釋:1費馬（Fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理幾何解證明:證明:幾何解釋:2羅爾(Rolle)定理幾何解釋:2羅爾(Rolle)定理證由費馬引理可知，證由費馬引理可知，注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,注2:若羅爾定理的條件僅是充分條件，不是必要的.例如,XY-110注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例12）唯一性矛盾,由零點定理即為方程的正實根.證：1）存在性例12）唯一性矛盾,由零點定理即為方程的正實根.證：1）存在二、拉格朗日(Lagrange)中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理幾何解釋:證分析:弦AB方程為化歸證明法幾何解釋:證分析:弦AB方程為化歸證明法作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關(guān)系.作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推論1拉格朗日中值公式另外的表達方式：拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推論1拉格朗日中值公式另外例2證由上式得例2證由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理幾何解釋:證作輔助函數(shù)幾何解釋:證作輔助函數(shù)微積分課件31微分中值定理例3證分析:結(jié)論可變形為例3證分析:結(jié)論可變形為1問題的提出四、泰勒(Taylor)中值定理1問題的提出四、泰勒(Taylor)中值定理不足問題1、精確度不高；2、誤差不能估計。不足問題1、精確度不高；2、誤差不能估計。分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1微積分課件31微分中值定理3泰勒(Taylor)中值定理3泰勒(Taylor)中值定理證明:證明:微積分課件31微分中值定理微積分課件31微分中值定理定理1（帶lagrange余項的泰勒定理）如果f(x)在點鄰域內(nèi)有n+1階導數(shù)，則拉格朗日形式的余項定理1（帶lagrange余項的泰勒定理）如果f(x)在皮亞諾形式的余項定理2（帶peano余項的泰勒定理）如果f(x)在點鄰域內(nèi)有n+1階導數(shù)，則皮亞諾形式的余項定理2（帶peano余項的泰勒定理）如果幾點說明：幾點說明：