聯(lián)立方程模型估計課件

計量經(jīng)濟學(xué)

Econometrics主講人：黃雷聯(lián)立方程模型估計課件1聯(lián)立方程模型的估計聯(lián)立方程模型的估計2

單方程估計方法，又稱有限信息法（limitedinformationmethods），指每次只估計模型系統(tǒng)中的一個方程，依次逐個估計；估計時僅考慮該方程給出的有限信息。

系統(tǒng)估計方法，又稱完全信息法（fullinformationmethods），指同時對全部方程進行估計，同時得到所有方程的參數(shù)估計量。估計時同時考慮全部方程給出的信息。

從模型估計的性質(zhì)來講，系統(tǒng)估計方法優(yōu)于單方程方法；

從方法的復(fù)雜性來講，單方程方法又優(yōu)于系統(tǒng)估計方法。

在實際中，單方程方法得到廣泛的應(yīng)用。聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的估計方法分為兩大類：單方程估計方法與系統(tǒng)估計方法。單方程估計方法，又稱有限信息法（limited3單方程估計方法主要有普通最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）、間接最小二乘法（indirectleastsquares,ILS）、工具變量法（instrumentvariables）、兩階段最小二乘法（Two-stageleastsquares）等。

1、普通最小二乘法：遞歸模型

OLS可以用來估計聯(lián)立模型中的單個方程，但由于存在隨機性變量等問題，該方法得到的估計結(jié)果往往是有偏的，非一致的，因此該方法在理論上是不適當(dāng)?shù)摹?/p>

但對一種特殊的聯(lián)立模型—遞歸型（recursive）聯(lián)立方程，OLS法是適用的。一聯(lián)立方程模型的單方程估計方法單方程估計方法主要有普通最小二乘法（ordinarylea4如果聯(lián)立模型

(12.1.1)中的B具有如下特征：

即內(nèi)生變量結(jié)構(gòu)系數(shù)構(gòu)成g階三角陣，主對角線元素為1。該系統(tǒng)中，第一個方程的內(nèi)生變量可由全部先決變量確定，將其代入第二個方程，與全部先決變量一道可確定第二個方程的內(nèi)生變量，依次類推。這類模型稱為遞歸模型。

如果聯(lián)立模型(12.1.1)中的B具有如下特征：5

遞歸模型是恰好識別的，每個方程均可作為獨立方程處理。

前一方程的內(nèi)生變量，對后一方程而言是先決變量，而后一方程的內(nèi)生變量對前一方程沒有影響，顯示出一種單向的因果關(guān)系。只要各方程隨機項互不相關(guān)，即就可以用OLS法估計參數(shù)。參數(shù)估計是無偏有效的。

遞歸模型是恰好識別的，每個方程均可作為獨立方程處理。6

聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)式方程中包含有內(nèi)生解釋變量，不能直接采用OLS估計其參數(shù)。對于簡化式方程，可以采用OLS直接估計其參數(shù)。

間接最小二乘法：先對關(guān)于內(nèi)生解釋變量的簡化式方程采用OLS估計簡化式參數(shù)，得到簡化式參數(shù)估計量，然后通過參數(shù)關(guān)系體系，計算得到結(jié)構(gòu)式參數(shù)的估計量。

間接最小二乘法只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)估計

2、恰好識別方程的估計：間接最小二乘法聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)式方程中包含有內(nèi)生解釋變7

例1：設(shè)有如下的農(nóng)產(chǎn)品供需模型：供給函數(shù)：

需求函數(shù)：

供需均衡量Q與價格P為內(nèi)生變量，消費個人收入Y為前定變量。

例1：設(shè)有如下的農(nóng)產(chǎn)品供需模型：供給函數(shù)：需求函數(shù)8供給函數(shù)恰好識別，需求函數(shù)不可識別。簡化方程為由于前定變量Y與隨機項不相關(guān)，可用OLS法估計如下：

由參數(shù)關(guān)系體系，可得到供給方程參數(shù)的估計值：

即供給函數(shù)的ILS估計是：

為了比較，供給函數(shù)的OLS直接估計如下：

供給函數(shù)恰好識別，需求函數(shù)不可識別。簡化方程為由于前定變量Y9對于簡化式模型應(yīng)用普通最小二乘法得到的參數(shù)估計量：

線性性、無偏性、有效性。通過參數(shù)關(guān)系體系計算得到結(jié)構(gòu)式方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量：

在小樣本下是有偏的，在大樣本下是漸近無偏的。（2）間接最小二乘法參數(shù)估計的統(tǒng)計性質(zhì)對于簡化式模型應(yīng)用普通最小二乘法得到的參數(shù)估計量：103、工具變量法（IV）

工具變量方法的基本思想：利用適當(dāng)?shù)墓ぞ咦兞咳ヌ娲Y(jié)構(gòu)方程中作為解釋變量的內(nèi)生變量，以減少解釋變量與隨機項的相關(guān)性，從而可以用OLS法估計參數(shù)。在聯(lián)立方程模型的估計中，工具變量法的具體作法如下：

（1）選取合適的工具變量

設(shè)模型：有g(shù)個內(nèi)生變量Y1,Y2,…,Yg，k個前定變量X1,X2,…,Xk

第i個被估計方程：有g(shù)i個內(nèi)生變量和ki個前定變量。

工具變量的選擇：就是要求在被估方程所排除的（k-ki）個前 定變量中去尋找與被替代的（gi-1）個內(nèi)生變量在經(jīng)濟意義 上高度相關(guān)的前定變量。這樣，它與隨機項不相關(guān)，與其 他前定變量的相關(guān)性也很小。

注意：工具變量的個數(shù)應(yīng)與所替代的內(nèi)生變量的個數(shù)相等。為 了使每個結(jié)構(gòu)參數(shù)有確定的解，對結(jié)構(gòu)方程所含的ki個前定 變量，以它們自身為工具變量。3、工具變量法（IV）工具變量方法的基本思想11（2）分別用每個工具變量乘結(jié)構(gòu)方程，并對樣本容量的n個觀察值求和，得到方程個數(shù)與未知結(jié)構(gòu)參數(shù)個數(shù)一樣的一組線性方程組。解此方程組，可得結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計值。例2：設(shè)聯(lián)立方程模型中，被估計方程形如

Y1,Y2是作為解釋變量的內(nèi)生變量。運用工具變量法，在k-1個前定變量中，選取X2,X3作為Y1,Y2的工具變量，以X1作為自已的工具變量。用X2,X3,X1分別乘被估計方程，并對樣本觀察值求和：

（2）分別用每個工具變量乘結(jié)構(gòu)方程，并對樣本容量的n個觀察12由于

可得擬正規(guī)方程：

解此方程組，可得由于可得擬正規(guī)方程：解此方程組，可得13工具變量法的局限性：

如果被估計的結(jié)構(gòu)方程是恰好識別的，即滿足k-ki=gi-1，那么，該方程中排除的前定變量的數(shù)目恰好等于方程中作為解釋變量的內(nèi)生變量數(shù)目，工具變量的選法唯一，擬正規(guī)方程有唯一解，即結(jié)構(gòu)參數(shù)的IV估計唯一。

如果被估結(jié)構(gòu)方程是過度識別的，即有k-ki>gi-1，那么，工具變量的選擇就比較麻煩，且參數(shù)估計結(jié)果有一定的任意性。因為每從k-ki個沒有包含在方程之中的先決變量中選出gi-1個變量作為工具變量，就得到一組參數(shù)估計值，共計可能有種不同的參數(shù)估計值。

所以，一般認(rèn)為，這種工具變量方法只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的估計。

工具變量法的局限性：如果被估計的結(jié)構(gòu)方程是恰好識14工具變量法參數(shù)估計量，一般情況下：

a、在小樣本下是有偏的，但在大樣本下是漸近 無偏的。

b、如果選取的工具變量與方程隨機誤差項完全 不相關(guān)，那么其參數(shù)估計量是無偏性估計量。

IV參數(shù)估計量及其統(tǒng)計特性工具變量法參數(shù)估計量，一般情況下：IV參數(shù)估計量15

3.二階段最小二乘法(2SLS)

工具變量方法和間接最小二乘法一般只適用于聯(lián)立方程模型中恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的估計。但是，在實際的聯(lián)立方程模型中，恰好識別的結(jié)構(gòu)方程很少出現(xiàn)，一般情況下結(jié)構(gòu)方程都是過度識別的。

二階段最小二乘法(TwoStageLeastSquares)是一種既適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，又適用于過度識別的結(jié)構(gòu)方程的單方程估計方法，由Theil和Basmann分別于1953年和1957年各自獨立提出，是一種應(yīng)用最普遍的方法。

3.二階段最小二乘法(2SLS)工具變量方法161）二階段最小二乘法的基本思想

二階段最小二乘法在理論上可以認(rèn)為是間接最小二乘法與工具變量法的結(jié)合與推廣，其基本思想是：首先利用OLS法估計簡化式方程，得到內(nèi)生變量的估計值；然后，以內(nèi)生變量的估計值為工具變量，對結(jié)構(gòu)式方程應(yīng)用OLS法，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值。設(shè)被估計方程形如：

方程中作為解釋變量的內(nèi)生變量共有g(shù)1-1個Y2,…Yg1，且隨機項1滿足OLS基本假定。

一般情況下，由于Y2,…Yg1往往又是Y1的函數(shù)，從而使Y2,…Yg1與1相關(guān)，即被估計方程出現(xiàn)隨機解釋變量的問題而無法直接采用OLS法。

(12.1.2)1）二階段最小二乘法的基本思想二階段最小二乘17

第一步:通過OLS法求出Y2,…Yg1的全部簡化式方程：

i=2,3,…,g1

或

i=2,3,…,g1(12.1.3)顯然，作為前定變量的線性組合，?i與i無關(guān)。

第二步：將（12.1.3）代入（12.1.2）式相當(dāng)于以?i作為工具變量。得其中，

仍然滿足OLS法所要求和零均值、同方差、不序列相關(guān)的基本假定。(12.1.4)同時，由于?是所有前定變量的線性組合而與Y1無關(guān)，因此與1無關(guān)，從而?i也與1*無關(guān)。于是（12.1.4）式可用OLS法估計，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值。第一步:通過OLS法求出Y2,…Yg1的全部簡化式方程：182）二階段最小二乘法有如下特點：

①在應(yīng)用二階段最小二乘法的整個過程中，并沒有涉及結(jié) 構(gòu)方程中內(nèi)生解釋變量和先決解釋變量的數(shù)目，所以 二階段最小二乘法的應(yīng)用與方程的識別狀態(tài)無關(guān)，既 適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，又適用于過度識別的結(jié) 構(gòu)方程。

②從選擇工具變量的角度，?i作為Yi的工具變量比較合適。 這是因為： （1）?i是簡化式估計量，是全體前定變量的線性組 合，因此既排除了與被估方程隨機項的相關(guān)性，又 毫無遺漏地使用了所有前定變量的信息； （2）Yi以自身的估計?i為前定變量，可以認(rèn)為兩者是 高度相關(guān)的。2）二階段最小二乘法有如下特點：①在應(yīng)用二階段最19③2SLS估計需要較大的樣本容量。尤其當(dāng)模型包括很多 前定變量時，如果樣本容量小于前定變量數(shù)目，則很 難保證在第一階段內(nèi)正確求出內(nèi)生變量的簡化式。

④當(dāng)?shù)谝浑A段估計式的判定系數(shù)很高，譬如大于0.8，用2SLS 估計的結(jié)果與ILS法估計的結(jié)果相近，如果第一階段估 計的判定系數(shù)值很低，表明?i作為Yi的工具變量的代 表性差，2SLS的估計結(jié)果實際上是沒有意義的。3）

二階段最小二乘估計量的統(tǒng)計性質(zhì)采用二階段最小二乘法得到結(jié)構(gòu)方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量：在小樣本下是有偏的，在大樣本下是漸近無偏的。

③2SLS估計需要較大的樣本容量。尤其當(dāng)模型包括很多 前定20

4.對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，三種方法是等價的

上述三種單方程估計方法都適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，對于同一個結(jié)構(gòu)方程，選擇不同的方法，應(yīng)該得到相同的參數(shù)估計量。

從理論上說，三種結(jié)果都是用不同的工具變量方法估計得到的，區(qū)別僅在于工具變量選取不同。

工具變量法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量，它們選取了 同樣一組變量X作為被估計結(jié)構(gòu)方程中解釋變量的工 具變量，只是次序不同。

工具變量法用結(jié)構(gòu)方程中未包含的先決變量作為內(nèi)生解釋 變量的工具變量，用被估結(jié)構(gòu)方程中包含的先決變量 作為自己的工具變量；間接最小二乘法則將先決變量X按自己的順序作為被估方程 內(nèi)生解釋變量與先決變量的工具變量，這就使得被估 計結(jié)構(gòu)方程中包含的先決變量也選擇了其它先決變量 作為工具變量，而不是自身。4.對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，三種方法是等價的上述三21

可以證明，這兩種不同的選取只影響正規(guī)方程組中方程的次序，并不影響方程組的解。所以狹義工具變量法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量是等價的。比較二階段最小二乘法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量：

間接最小二乘法選取X作為結(jié)構(gòu)方程中解釋變量(Y0,X0)的工具變量，

二階段最小二乘法選取X的線性組合作為結(jié)構(gòu)方程中內(nèi)生解釋變量Y0的工具變量，選取X0作為自己的工具變量。盡管這樣使得關(guān)于二者參數(shù)估計量的正規(guī)方程組是不同的，但后者可以由前者經(jīng)過初等線性變換得到。而根據(jù)代數(shù)知識，初等線性變換不影響方程組的解。所以二階段最小二乘法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量是等價的。

結(jié)論：對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，狹義工具變量法、間接最小二乘法和二階段最小二乘法三種方法等價。

可以證明，這兩種不同的選取只影響正規(guī)方程組中方程的次序225.簡單宏觀經(jīng)濟模型實例演示

下面建立一個包含3個方程的中國宏觀經(jīng)濟模型，主要借此進行方法上的演示。

3個內(nèi)生變量，國內(nèi)生產(chǎn)總值Y、居民消費總額C和投資總額I；

3個先決變量，政府消費（將凈出口也包含其中，為了實現(xiàn)數(shù)據(jù)的平衡）G、前期居民消費總額Ct-1和常數(shù)項。完備的結(jié)構(gòu)式模型為：t=1978,1979,…,1996

容易判斷，消費方程是恰好識別的方程，投資方程是過度識別的方程，因此，模型是可以識別的。5.簡單宏觀經(jīng)濟模型實例演示下面建立一個包含3231）用狹義的工具變量法估計消費方程選取消費方程中未包含的先決變量作為內(nèi)生解釋變量的工具變量，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)的工具變量法估計量：1）用狹義的工具變量法估計消費方程選取消費方程中未包含的242）用間接最小二乘法估計消費方程

消費方程中包含的內(nèi)生變量的簡化式方程為：

參數(shù)關(guān)系體系為：

用OLS估計簡化式方程，得到簡化式參數(shù)估計量為：

由參數(shù)關(guān)系體系計算得到結(jié)構(gòu)參數(shù)間接最小二乘估計值：

2）用間接最小二乘法估計消費方程消費方程中包含的內(nèi)生變量的253）用兩階段最小二乘法估計消費方程

兩階段最小二乘法的第一階段是用OLS估計內(nèi)生解釋變量的簡化式方程，得到：

據(jù)此計算?t，替換結(jié)構(gòu)方程中的Yt，第二階段再用OLS估計變換了的結(jié)構(gòu)式方程，得到消費方程的兩階段最小二乘參數(shù)估計量：

比較上述消費方程的3種估計結(jié)果，證明這3種方法對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程是等價的。估計量的差別只是很小的計算誤差。

3）用兩階段最小二乘法估計消費方程兩階段最小二乘法的264）用兩階段最小二乘法估計投資方程

投資方程是過度識別的結(jié)構(gòu)方程，只能用兩階段最小二乘法估計。估計過程與上述兩階段最小二乘法估計消費方程的過程相同。得到投資方程的參數(shù)估計量為：

至此，我們完成了該模型系統(tǒng)的估計。

4）用兩階段最小二乘法估計投資方程投資方程是過度識別27二、聯(lián)立方程模型的系統(tǒng)估計方法

聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的系統(tǒng)估計方法是相對于單方程估計方法而言。單方程方法每次只對一個結(jié)構(gòu)方程進行估計，利用了有限信息，對于沒有包含在所估計結(jié)構(gòu)方程中的變量的樣本數(shù)據(jù)信息，只是部分地利用了，而對于方程之間的關(guān)系信息（聯(lián)立模型結(jié)構(gòu)信息），則完全沒有利用。系統(tǒng)估計方法，正是針對單方程方法的問題提出來的，它同時估計全部結(jié)構(gòu)方程，利用了模型系統(tǒng)的全部信息。因此系統(tǒng)估計方法的參數(shù)估計量具有良好的統(tǒng)計特性。也正因為此，系統(tǒng)估計方法也相當(dāng)復(fù)雜。本節(jié)主要介紹三階段最小二乘法（3SLS）。二、聯(lián)立方程模型的系統(tǒng)估計方法聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)28二階段最小二乘法（2SLS）是假定聯(lián)立模型各結(jié)構(gòu)方程的隨機項是序列不相關(guān)的，即E(ij)=0(ij)。但在聯(lián)立方程模型中，各個方程的擾動項，可能與其他方程的擾動項相關(guān)。這時應(yīng)考慮引入廣義最小二乘法（GLS），以克服各方程之間隨機項相關(guān)造成的估計偏誤。因此三階段最小二乘法（Three-stageleastsquares）的第一、二階段是2SLS法，第三階段實際上是廣義最小二乘法GLS的應(yīng)用。二階段最小二乘法（2SLS）是假定聯(lián)立模型各結(jié)構(gòu)方29

一、三階段最小二乘（3SLS）法估計過程

第一階段：用OLS法估計簡化式方程，求出內(nèi)生變量的估計式。設(shè)聯(lián)立方程模型為

YB+X=N(12.2.1)

其中，模型內(nèi)生變量個數(shù)為g，前定變量個數(shù)為k，在第i個方程中，內(nèi)生變量個數(shù)為gi，前定變量個數(shù)為ki。相應(yīng)的簡化式模型為

Y=X+E(12.2.2)

運用OLS法，簡化式模型的估計為

(12.2.3)將前定變量的樣本觀察值代入（12.2.3）相應(yīng)的方程中，得到內(nèi)生變量的一組簡化式估計值：

一、三階段最小二乘（3SLS）法估計過程第一30其中，

第二階段：將所求內(nèi)生變量的估計值代入結(jié)構(gòu)方程（12.2.1）左端作為工具變量，對變換后的方程應(yīng)用OLS，得到參數(shù)的2SLS估計量。并求每個結(jié)構(gòu)方程隨機擾動項的估計量——殘差，以及的方差、協(xié)方差估計量

如對第i個結(jié)構(gòu)方程的2SLS估計結(jié)果為：

t=1,2,…,n(12.2.4)殘差為：

t=1,2,…,n(12.2.5)其中，第二階段：將所求內(nèi)生變量的估計值代入結(jié)構(gòu)方31（12.2.4）式可寫為：

i=1,2,…,g（12.2.6）

Yi：n×1向量，由第i個方程因變量的n次樣本觀察值組成；

Y0i：n×(gi-1)矩陣，由第i個方程中作為解釋變量的內(nèi)生變量的簡化式估計值組成；

X0i：n×ki矩陣，由第i個方程所包含的前定變量的樣本觀察值組成；

B0i：(gi-1)×1向量，第i個方程的內(nèi)生變量結(jié)構(gòu)參數(shù)；

0i：ki×1列向量，第i個方程前定變量結(jié)構(gòu)參數(shù)；

?：n×1向量，第i個方程的隨機擾動項其中，（12.2.4）式可寫為：i=1,2,…,g（1232第三階段：用廣義最小二乘法（GLS）求結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計量

將整個2SLS方程組表示成一個矩陣形式的單一方程：

或者

(12.2.7)(12.2.8)第三階段：用廣義最小二乘法（GLS）求結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計量將整33對于(12.2.8)中的隨機誤差項?，為了使問題適當(dāng)簡單，作如下假設(shè)：

1、對于一個結(jié)構(gòu)方程的隨機誤差項，在不同樣本點之間，具有同方差性和序列不相關(guān)性。即i=1,2,…,g

對于(12.2.8)中的隨機誤差項?，為了使問題適當(dāng)簡單，作34

2、對于不同結(jié)構(gòu)方程的隨機誤差項之間，具有且僅具有同期相關(guān)性。即

i,j=1,2,…,g；ij2、對于不同結(jié)構(gòu)方程的隨機誤差項之間，具有且僅具有同期35于是，聯(lián)立方程模型系統(tǒng)隨機誤差項方差—協(xié)方差矩陣為

其中：表示“直積”，即用符號后面的矩陣去乘符號前面矩陣的每個元素。協(xié)方差矩陣是由(g×g)個子矩陣組成，每個子矩陣都是一個主對角陣，且主對角線元素相同。如果放棄兩條假設(shè)，每個子矩陣就不是一個主對角陣，且主對角線元素也不相同。于是，聯(lián)立方程模型系統(tǒng)隨機誤差項方差—協(xié)方差矩陣為其中：36由于隨機項不可觀察，ii2與ij未知，但可根據(jù)殘差給出它的估計值：于是有的估計

用GLS法估計（12.2.8）式得結(jié)構(gòu)參數(shù)向量的估計：由于隨機項不可觀察，ii2與ij未知，但可根據(jù)殘差372、三階段最小二乘法估計量的統(tǒng)計性質(zhì)

3SLS估計量的統(tǒng)計性質(zhì)主要有：⑴如果聯(lián)立方程模型系統(tǒng)中所有結(jié)構(gòu)方程都是可以識別的，并且非奇異，則3SLS估計量是一致性估計量。為了保證非奇異，必須將模型系統(tǒng)中的恒等式排除在外，不參加估計過程。因為恒等式的隨機誤差項為0，將使矩陣中出現(xiàn)0行和0列，使之成為奇異矩陣。⑵對大樣本來說，3SLS估計量比2SLS估計量更有效。將3SLS估計量和2SLS估計量的分布進行比較，并根據(jù)Gauss-Markov定理，即可清楚看到這點。

⑶如果是對角矩陣，即模型系統(tǒng)中不同結(jié)構(gòu)方程的隨機誤差項之間無相關(guān)性，那么可以證明3SLS估計量與2SLS估計量是等價的。這反過來說明，3SLS方法主要優(yōu)點是考慮了模型系統(tǒng)中不同結(jié)構(gòu)方程的隨機誤差項之間的相關(guān)性。

2、三階段最小二乘法估計量的統(tǒng)計性質(zhì)3SLS估計量的統(tǒng)計性38例：克萊因（Klein）美國戰(zhàn)爭間模型是一個小型的宏觀經(jīng)濟模型，結(jié)構(gòu)方程如下：

消費函數(shù)：

投資函數(shù)：

勞動力需求函數(shù)：

國民收入：

利潤：

資本存量：

其中：C為消費支出、I為投資支出、P為利潤、Y為可支配收入、K為資本存量、WP為私營工資、WG為政府工資、G為政府支出、T為稅金、t為時間。該聯(lián)立模型共由6個方程組成，其中3個行為方程，3個定義方程。變量共有10個，其中6個內(nèi)生變量（C、I、WP、Y、P、K），4個外生變量（WG、G、T、t）；前定變量共有7個（WG、G、T、t、P-1、T-1、K-1）。

例：克萊因（Klein）美國戰(zhàn)爭間模型是一個小型的宏39容易判斷該聯(lián)立模型中消費函數(shù)、投資函數(shù)為過度識別，勞動力需要函數(shù)為恰好識別。該聯(lián)立模型的一個樣本數(shù)據(jù)列于表12-2-1。容易判斷該聯(lián)立模型中消費函數(shù)、投資函數(shù)為過度識別，勞動力需要40分別用OLS，2SLS，3SLS方法對模型進行估計，結(jié)果列于表12-2-2分別用OLS，2SLS，3SLS方法對模型進行估計，結(jié)41計量經(jīng)濟學(xué)

Econometrics主講人：黃雷聯(lián)立方程模型估計課件42聯(lián)立方程模型的估計聯(lián)立方程模型的估計43

單方程估計方法，又稱有限信息法（limitedinformationmethods），指每次只估計模型系統(tǒng)中的一個方程，依次逐個估計；估計時僅考慮該方程給出的有限信息。

系統(tǒng)估計方法，又稱完全信息法（fullinformationmethods），指同時對全部方程進行估計，同時得到所有方程的參數(shù)估計量。估計時同時考慮全部方程給出的信息。

從模型估計的性質(zhì)來講，系統(tǒng)估計方法優(yōu)于單方程方法；

從方法的復(fù)雜性來講，單方程方法又優(yōu)于系統(tǒng)估計方法。

在實際中，單方程方法得到廣泛的應(yīng)用。聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的估計方法分為兩大類：單方程估計方法與系統(tǒng)估計方法。單方程估計方法，又稱有限信息法（limited44單方程估計方法主要有普通最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）、間接最小二乘法（indirectleastsquares,ILS）、工具變量法（instrumentvariables）、兩階段最小二乘法（Two-stageleastsquares）等。

1、普通最小二乘法：遞歸模型

OLS可以用來估計聯(lián)立模型中的單個方程，但由于存在隨機性變量等問題，該方法得到的估計結(jié)果往往是有偏的，非一致的，因此該方法在理論上是不適當(dāng)?shù)摹?/p>

但對一種特殊的聯(lián)立模型—遞歸型（recursive）聯(lián)立方程，OLS法是適用的。一聯(lián)立方程模型的單方程估計方法單方程估計方法主要有普通最小二乘法（ordinarylea45如果聯(lián)立模型

(12.1.1)中的B具有如下特征：

即內(nèi)生變量結(jié)構(gòu)系數(shù)構(gòu)成g階三角陣，主對角線元素為1。該系統(tǒng)中，第一個方程的內(nèi)生變量可由全部先決變量確定，將其代入第二個方程，與全部先決變量一道可確定第二個方程的內(nèi)生變量，依次類推。這類模型稱為遞歸模型。

如果聯(lián)立模型(12.1.1)中的B具有如下特征：46

遞歸模型是恰好識別的，每個方程均可作為獨立方程處理。

前一方程的內(nèi)生變量，對后一方程而言是先決變量，而后一方程的內(nèi)生變量對前一方程沒有影響，顯示出一種單向的因果關(guān)系。只要各方程隨機項互不相關(guān)，即就可以用OLS法估計參數(shù)。參數(shù)估計是無偏有效的。

遞歸模型是恰好識別的，每個方程均可作為獨立方程處理。47

聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)式方程中包含有內(nèi)生解釋變量，不能直接采用OLS估計其參數(shù)。對于簡化式方程，可以采用OLS直接估計其參數(shù)。

間接最小二乘法：先對關(guān)于內(nèi)生解釋變量的簡化式方程采用OLS估計簡化式參數(shù)，得到簡化式參數(shù)估計量，然后通過參數(shù)關(guān)系體系，計算得到結(jié)構(gòu)式參數(shù)的估計量。

間接最小二乘法只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)估計

2、恰好識別方程的估計：間接最小二乘法聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)式方程中包含有內(nèi)生解釋變48

例1：設(shè)有如下的農(nóng)產(chǎn)品供需模型：供給函數(shù)：

需求函數(shù)：

供需均衡量Q與價格P為內(nèi)生變量，消費個人收入Y為前定變量。

例1：設(shè)有如下的農(nóng)產(chǎn)品供需模型：供給函數(shù)：需求函數(shù)49供給函數(shù)恰好識別，需求函數(shù)不可識別。簡化方程為由于前定變量Y與隨機項不相關(guān)，可用OLS法估計如下：

由參數(shù)關(guān)系體系，可得到供給方程參數(shù)的估計值：

即供給函數(shù)的ILS估計是：

為了比較，供給函數(shù)的OLS直接估計如下：

供給函數(shù)恰好識別，需求函數(shù)不可識別。簡化方程為由于前定變量Y50對于簡化式模型應(yīng)用普通最小二乘法得到的參數(shù)估計量：

線性性、無偏性、有效性。通過參數(shù)關(guān)系體系計算得到結(jié)構(gòu)式方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量：

在小樣本下是有偏的，在大樣本下是漸近無偏的。（2）間接最小二乘法參數(shù)估計的統(tǒng)計性質(zhì)對于簡化式模型應(yīng)用普通最小二乘法得到的參數(shù)估計量：513、工具變量法（IV）

工具變量方法的基本思想：利用適當(dāng)?shù)墓ぞ咦兞咳ヌ娲Y(jié)構(gòu)方程中作為解釋變量的內(nèi)生變量，以減少解釋變量與隨機項的相關(guān)性，從而可以用OLS法估計參數(shù)。在聯(lián)立方程模型的估計中，工具變量法的具體作法如下：

（1）選取合適的工具變量

設(shè)模型：有g(shù)個內(nèi)生變量Y1,Y2,…,Yg，k個前定變量X1,X2,…,Xk

第i個被估計方程：有g(shù)i個內(nèi)生變量和ki個前定變量。

工具變量的選擇：就是要求在被估方程所排除的（k-ki）個前 定變量中去尋找與被替代的（gi-1）個內(nèi)生變量在經(jīng)濟意義 上高度相關(guān)的前定變量。這樣，它與隨機項不相關(guān)，與其 他前定變量的相關(guān)性也很小。

注意：工具變量的個數(shù)應(yīng)與所替代的內(nèi)生變量的個數(shù)相等。為 了使每個結(jié)構(gòu)參數(shù)有確定的解，對結(jié)構(gòu)方程所含的ki個前定 變量，以它們自身為工具變量。3、工具變量法（IV）工具變量方法的基本思想52（2）分別用每個工具變量乘結(jié)構(gòu)方程，并對樣本容量的n個觀察值求和，得到方程個數(shù)與未知結(jié)構(gòu)參數(shù)個數(shù)一樣的一組線性方程組。解此方程組，可得結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計值。例2：設(shè)聯(lián)立方程模型中，被估計方程形如

Y1,Y2是作為解釋變量的內(nèi)生變量。運用工具變量法，在k-1個前定變量中，選取X2,X3作為Y1,Y2的工具變量，以X1作為自已的工具變量。用X2,X3,X1分別乘被估計方程，并對樣本觀察值求和：

（2）分別用每個工具變量乘結(jié)構(gòu)方程，并對樣本容量的n個觀察53由于

可得擬正規(guī)方程：

解此方程組，可得由于可得擬正規(guī)方程：解此方程組，可得54工具變量法的局限性：

如果被估計的結(jié)構(gòu)方程是恰好識別的，即滿足k-ki=gi-1，那么，該方程中排除的前定變量的數(shù)目恰好等于方程中作為解釋變量的內(nèi)生變量數(shù)目，工具變量的選法唯一，擬正規(guī)方程有唯一解，即結(jié)構(gòu)參數(shù)的IV估計唯一。

如果被估結(jié)構(gòu)方程是過度識別的，即有k-ki>gi-1，那么，工具變量的選擇就比較麻煩，且參數(shù)估計結(jié)果有一定的任意性。因為每從k-ki個沒有包含在方程之中的先決變量中選出gi-1個變量作為工具變量，就得到一組參數(shù)估計值，共計可能有種不同的參數(shù)估計值。

所以，一般認(rèn)為，這種工具變量方法只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的估計。

工具變量法的局限性：如果被估計的結(jié)構(gòu)方程是恰好識55工具變量法參數(shù)估計量，一般情況下：

a、在小樣本下是有偏的，但在大樣本下是漸近 無偏的。

b、如果選取的工具變量與方程隨機誤差項完全 不相關(guān)，那么其參數(shù)估計量是無偏性估計量。

IV參數(shù)估計量及其統(tǒng)計特性工具變量法參數(shù)估計量，一般情況下：IV參數(shù)估計量56

3.二階段最小二乘法(2SLS)

工具變量方法和間接最小二乘法一般只適用于聯(lián)立方程模型中恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的估計。但是，在實際的聯(lián)立方程模型中，恰好識別的結(jié)構(gòu)方程很少出現(xiàn)，一般情況下結(jié)構(gòu)方程都是過度識別的。

二階段最小二乘法(TwoStageLeastSquares)是一種既適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，又適用于過度識別的結(jié)構(gòu)方程的單方程估計方法，由Theil和Basmann分別于1953年和1957年各自獨立提出，是一種應(yīng)用最普遍的方法。

3.二階段最小二乘法(2SLS)工具變量方法571）二階段最小二乘法的基本思想

二階段最小二乘法在理論上可以認(rèn)為是間接最小二乘法與工具變量法的結(jié)合與推廣，其基本思想是：首先利用OLS法估計簡化式方程，得到內(nèi)生變量的估計值；然后，以內(nèi)生變量的估計值為工具變量，對結(jié)構(gòu)式方程應(yīng)用OLS法，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值。設(shè)被估計方程形如：

方程中作為解釋變量的內(nèi)生變量共有g(shù)1-1個Y2,…Yg1，且隨機項1滿足OLS基本假定。

一般情況下，由于Y2,…Yg1往往又是Y1的函數(shù)，從而使Y2,…Yg1與1相關(guān)，即被估計方程出現(xiàn)隨機解釋變量的問題而無法直接采用OLS法。

(12.1.2)1）二階段最小二乘法的基本思想二階段最小二乘58

第一步:通過OLS法求出Y2,…Yg1的全部簡化式方程：

i=2,3,…,g1

或

i=2,3,…,g1(12.1.3)顯然，作為前定變量的線性組合，?i與i無關(guān)。

第二步：將（12.1.3）代入（12.1.2）式相當(dāng)于以?i作為工具變量。得其中，

仍然滿足OLS法所要求和零均值、同方差、不序列相關(guān)的基本假定。(12.1.4)同時，由于?是所有前定變量的線性組合而與Y1無關(guān)，因此與1無關(guān)，從而?i也與1*無關(guān)。于是（12.1.4）式可用OLS法估計，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值。第一步:通過OLS法求出Y2,…Yg1的全部簡化式方程：592）二階段最小二乘法有如下特點：

①在應(yīng)用二階段最小二乘法的整個過程中，并沒有涉及結(jié) 構(gòu)方程中內(nèi)生解釋變量和先決解釋變量的數(shù)目，所以 二階段最小二乘法的應(yīng)用與方程的識別狀態(tài)無關(guān)，既 適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，又適用于過度識別的結(jié) 構(gòu)方程。

②從選擇工具變量的角度，?i作為Yi的工具變量比較合適。 這是因為： （1）?i是簡化式估計量，是全體前定變量的線性組 合，因此既排除了與被估方程隨機項的相關(guān)性，又 毫無遺漏地使用了所有前定變量的信息； （2）Yi以自身的估計?i為前定變量，可以認(rèn)為兩者是 高度相關(guān)的。2）二階段最小二乘法有如下特點：①在應(yīng)用二階段最60③2SLS估計需要較大的樣本容量。尤其當(dāng)模型包括很多 前定變量時，如果樣本容量小于前定變量數(shù)目，則很 難保證在第一階段內(nèi)正確求出內(nèi)生變量的簡化式。

④當(dāng)?shù)谝浑A段估計式的判定系數(shù)很高，譬如大于0.8，用2SLS 估計的結(jié)果與ILS法估計的結(jié)果相近，如果第一階段估 計的判定系數(shù)值很低，表明?i作為Yi的工具變量的代 表性差，2SLS的估計結(jié)果實際上是沒有意義的。3）

二階段最小二乘估計量的統(tǒng)計性質(zhì)采用二階段最小二乘法得到結(jié)構(gòu)方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量：在小樣本下是有偏的，在大樣本下是漸近無偏的。

③2SLS估計需要較大的樣本容量。尤其當(dāng)模型包括很多 前定61

4.對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，三種方法是等價的

上述三種單方程估計方法都適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，對于同一個結(jié)構(gòu)方程，選擇不同的方法，應(yīng)該得到相同的參數(shù)估計量。

從理論上說，三種結(jié)果都是用不同的工具變量方法估計得到的，區(qū)別僅在于工具變量選取不同。

工具變量法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量，它們選取了 同樣一組變量X作為被估計結(jié)構(gòu)方程中解釋變量的工 具變量，只是次序不同。

工具變量法用結(jié)構(gòu)方程中未包含的先決變量作為內(nèi)生解釋 變量的工具變量，用被估結(jié)構(gòu)方程中包含的先決變量 作為自己的工具變量；間接最小二乘法則將先決變量X按自己的順序作為被估方程 內(nèi)生解釋變量與先決變量的工具變量，這就使得被估 計結(jié)構(gòu)方程中包含的先決變量也選擇了其它先決變量 作為工具變量，而不是自身。4.對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，三種方法是等價的上述三62

可以證明，這兩種不同的選取只影響正規(guī)方程組中方程的次序，并不影響方程組的解。所以狹義工具變量法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量是等價的。比較二階段最小二乘法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量：

間接最小二乘法選取X作為結(jié)構(gòu)方程中解釋變量(Y0,X0)的工具變量，

二階段最小二乘法選取X的線性組合作為結(jié)構(gòu)方程中內(nèi)生解釋變量Y0的工具變量，選取X0作為自己的工具變量。盡管這樣使得關(guān)于二者參數(shù)估計量的正規(guī)方程組是不同的，但后者可以由前者經(jīng)過初等線性變換得到。而根據(jù)代數(shù)知識，初等線性變換不影響方程組的解。所以二階段最小二乘法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量是等價的。

結(jié)論：對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，狹義工具變量法、間接最小二乘法和二階段最小二乘法三種方法等價。

可以證明，這兩種不同的選取只影響正規(guī)方程組中方程的次序635.簡單宏觀經(jīng)濟模型實例演示

下面建立一個包含3個方程的中國宏觀經(jīng)濟模型，主要借此進行方法上的演示。

3個內(nèi)生變量，國內(nèi)生產(chǎn)總值Y、居民消費總額C和投資總額I；

3個先決變量，政府消費（將凈出口也包含其中，為了實現(xiàn)數(shù)據(jù)的平衡）G、前期居民消費總額Ct-1和常數(shù)項。完備的結(jié)構(gòu)式模型為：t=1978,1979,…,1996

容易判斷，消費方程是恰好識別的方程，投資方程是過度識別的方程，因此，模型是可以識別的。5.簡單宏觀經(jīng)濟模型實例演示下面建立一個包含3641）用狹義的工具變量法估計消費方程選取消費方程中未包含的先決變量作為內(nèi)生解釋變量的工具變量，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)的工具變量法估計量：1）用狹義的工具變量法估計消費方程選取消費方程中未包含的652）用間接最小二乘法估計消費方程

消費方程中包含的內(nèi)生變量的簡化式方程為：

參數(shù)關(guān)系體系為：

用OLS估計簡化式方程，得到簡化式參數(shù)估計量為：

由參數(shù)關(guān)系體系計算得到結(jié)構(gòu)參數(shù)間接最小二乘估計值：

2）用間接最小二乘法估計消費方程消費方程中包含的內(nèi)生變量的663）用兩階段最小二乘法估計消費方程

兩階段最小二乘法的第一階段是用OLS估計內(nèi)生解釋變量的簡化式方程，得到：

據(jù)此計算?t，替換結(jié)構(gòu)方程中的Yt，第二階段再用OLS估計變換了的結(jié)構(gòu)式方程，得到消費方程的兩階段最小二乘參數(shù)估計量：

比較上述消費方程的3種估計結(jié)果，證明這3種方法對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程是等價的。估計量的差別只是很小的計算誤差。

3）用兩階段最小二乘法估計消費方程兩階段最小二乘法的674）用兩階段最小二乘法估計投資方程

投資方程是過度識別的結(jié)構(gòu)方程，只能用兩階段最小二乘法估計。估計過程與上述兩階段最小二乘法估計消費方程的過程相同。得到投資方程的參數(shù)估計量為：

至此，我們完成了該模型系統(tǒng)的估計。

4）用兩階段最小二乘法估計投資方程投資方程是過度識別68二、聯(lián)立方程模型的系統(tǒng)估計方法

聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的系統(tǒng)估計方法是相對于單方程估計方法而言。單方程方法每次只對一個結(jié)構(gòu)方程進行估計，利用了有限信息，對于沒有包含在所估計結(jié)構(gòu)方程中的變量的樣本數(shù)據(jù)信息，只是部分地利用了，而對于方程之間的關(guān)系信息（聯(lián)立模型結(jié)構(gòu)信息），則完全沒有利用。系統(tǒng)估計方法，正是針對單方程方法的問題提出來的，它同時估計全部結(jié)構(gòu)方程，利用了模型系統(tǒng)的全部信息。因此系統(tǒng)估計方法的參數(shù)估計量具有良好的統(tǒng)計特性。也正因為此，系統(tǒng)估計方法也相當(dāng)復(fù)雜。本節(jié)主要介紹三階段最小二乘法（3SLS）。二、聯(lián)立方程模型的系統(tǒng)估計方法聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)69二階段最小二乘法（2SLS）是假定聯(lián)立模型各結(jié)構(gòu)方程的隨機項是序列不相關(guān)的，即E(ij)=0(ij)。但在聯(lián)立方程模型中，各個方程的擾動項，可能與其他方程的擾動項相關(guān)。這時應(yīng)考慮引入廣義最小二乘法（GLS），以克服各方程之間隨機項相關(guān)造成的估計偏誤。因此三階段最小二乘法（Three-stageleastsquares）的第一、二階段是2SLS法，第三階段實際上是廣義最小二乘法GLS的應(yīng)用。二階段最小二乘法（2SLS）是假定聯(lián)立模型各結(jié)構(gòu)方70

一、三階段最小二乘（3SLS）法估計過程

第一階段：用OLS法估計簡化式方程，求出內(nèi)生變量的估計式。設(shè)聯(lián)立方程模型為

YB+X=N(12.2.1)

其中，模型內(nèi)生變量個數(shù)為g，前定變量個數(shù)為k，在第i個方程中，內(nèi)生變量個數(shù)為gi，前定變量個數(shù)為ki。相應(yīng)的簡化式模型為

Y=X+E(12.2.2)

運用OLS法，簡化式模型的估計為

(12.2.3)將前定變量的樣本觀察值代入（12.2.3）相應(yīng)的方程中，得到內(nèi)生變量的一組簡化式估計值：

一、三階段最小二乘（3SLS）法估計過程第一71其中，

第二階段：將所求內(nèi)生變量的估計值代入結(jié)構(gòu)方程（12.2.1）左端作為工具變量，對變換后的方程應(yīng)用OLS，得到參數(shù)的2SLS估計量。并求每個結(jié)構(gòu)方程隨機擾動項的估計量——殘差，以及的方差、協(xié)方差估計量

如對第i個結(jié)構(gòu)方程的2SLS估計結(jié)果為：

t=1,2,…,n(12.2.4)殘差為：

t=1,2,…,n(12.2.5)其中，第二階段：將所求內(nèi)生變量的估計值代入結(jié)構(gòu)方72（12.2.4）式可寫為：

i=1,2,…,g（12.2.6）