平方差公式與完全平方公式試題含答案

乘法公式的復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí):(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2歸納小結(jié)公式的變式，準確靈活運用公式：①位置變化，xyyxx2y2②符號變化，③xyxyy2x2x2y2x2y2④系數(shù)變化，ababa2b2指數(shù)變化，x2y2x4y422224⑤換式變化，xyzmxyzmxyzm22z222y2z2zm2xyzmmxm2+22z2x2y2z2⑥增項變化，xyzxyzxy2xy⑦連用公式變化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式變化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2yz4xy4xz2例1．已知ab2，ab1，求a2b2的值。解：∵(ab)2a22abb2∴a2b2=(ab)22ab∵ab2，ab1∴a2b2=22212例2．已知ab8，ab2，求(ab)2的值。解：∵(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2∴(ab)2(ab)24ab∴(ab)24ab=(ab)2∵ab8，ab2∴(ab)2824256例3：計算19992-2000×1998〖解析〗此題中 2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。2 2=19992-（19992-12）=+1=122和(a-b)2例4：已知a+b=2，ab=1，求a+b的值。〖解析〗此題可用完全平方公式的變形得解。解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。〖解析〗此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出 x、y、z的值，比較麻煩，考慮到 x2-z2是由x+z和的，所以只要求出 x-z的值即可。2 2例6：判斷（2+1）（22+1）（24+1）??（22048+1）+1的個位數(shù)字是幾？〖解析〗此題直接計算是不可能計算出一個數(shù)字的答案，故有一定的規(guī)律可循。觀察到上式可構(gòu)成循環(huán)平方差。

x-z的積得來1=（2-1）和解：（2+1）（22+1）（24+1）??（22048+1）+1=（2-1）（22+1）（24+1）??（22048+1）+1=2

4096=16

1024因為當一個數(shù)的個位數(shù)字是6的時候，這個數(shù)的任意正整數(shù)冪的個位數(shù)字都是6，所以上式的個位數(shù)字必為6。例7．運用公式簡便計算（1）1032（2）1982解：（1）1032100321002210033210000600910609（2）1982200222002220022240000800439204例8．計算（1）abcabc（）3xyxy2434322322a2c2b2解：（1）原式ac4bacbacbac334346916（2）原式xy2xy2x2y2y4x2y24y433949例9．解下列各式，ab，求ab2，ab2的值。（1）已知a2b2ab13，6b，求a2b2，ab的值。（2）已知2a274a222（）已知aa1b，求ab322ab的值。（4）已知x13，求x414的值。xabxb2ab中，如果把ab，a2b2和ab分別看作是一個整體，則公式中分析：在公式2a22有三個未知數(shù)，知道了兩個就可以求出第三個。解：（1）∵a2b213，ab6ab2a2b22ab132625ab2a2b22ab13261（）∵ab27，ab242a2abb27①2①②得2a2b2，即11

a2abb24②22211ab2①②得4ab3，即ab34（3）由aaa2b得ab1222b2ab1a2b22ab1ab122222222（4）由x13，得x19即x2129x2111xxx2x2x21121即x412121x41119x2x4x4例10．四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，一定是平方數(shù)嗎？為什么？分析：由于1234125522345112111234561361192?? 得猜想：任意四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上 1，都是平方數(shù)。解：設(shè)n，n 1，n 2，n 3是四個連續(xù)自然數(shù)則nn1n2n31nn3n1n21n2n22n2n133n2nn2n21n23n1233∵n是整數(shù)，n2，3n都是整數(shù)n23n1一定是整數(shù)n23n1是一個平方數(shù)四個連續(xù)整數(shù)的積與1的和必是一個完全平方數(shù)。二、乘法公式的用法(一)、套用:這是最初的公式運用階段，在這個環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準確地掌握其特征，為辨認和運用公式打下基礎(chǔ)，同時能提高學(xué)生的觀察能力。例1.計算：5x23y25x23y2解：原式5x223y2225x49y4(二)、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例2.計算：1aa1a21a41解：原式1a21a21a4a41a41a8例3.計算：3x2y5z13x2y5z1解：原式2y5z3x12y5z3x12y23x25z14y29x225z220yz6x1三、逆用:學(xué)習(xí)公式不能只會正向運用，有時還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運用其解決問題。例4.計算：57825782abcabc解：原式5a7b8c5a7b8c5a7b8c5a7b8c10a14b 16c140ab 160ac四、變用: 題目變形后運用公式解題。例5.計算：xy2zxy6z解：原式xy2z4zxy2z4zxy24z22zx2y212z22xy4xz4yz五、活用:把公式本身適當變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：1.a b2 2ab a2 b22.a b2 2ab a2 b23.a b2 a b2 2a2 b24.a b2 a b2 4ab靈活運用這些公式，往往可以處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。例6.已知ab4，ab5，求a2b2的值。解：a2b2ab2ab4225262例7.計算：abcd

22

b c d a

22解：原式 b c a d2 22b c a d

b c a d2a2 2b2 2c2 2d2 4bc 4ad三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題（一）、注意掌握公式的特征，認清公式中的“兩數(shù)”．2例1計算(-2x-5)(2x-5)分析：本題兩個因式中“-5”相同，“2x2”符號相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”則是公式中的b．解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5) 2-(2x2)2=25-4x4．例2計算(-a2+4b)2分析：運用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時，“-a2”就是公式中的 a，“4b”就是公式中的 b；若將題目2 2 2變形為(4b-a)時，則“4b”是公式中的a，而“a”就是公式中的 b．（解略）例3計算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：粗看不能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“2x”、“5”兩項同號，“y”、“z”兩項異號，因而，可運用添括號的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y+2yz-z2．例5計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項（2-1），則可運用公式，使問題化繁為簡．2+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)解：原式=(2-1)(2+1)(2（28-1）（28+1）=216-1（三）、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2倍．例6計算(2xy2+-3)解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．（四）、注意公式的變換，靈活運用變形公式例7(2)已知：x+2y，xy，求x-2y)2的值．=7=6(分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的下列變形： x2+y2=(x+y)2-2xy，3 3 3 2 2x+y=(x+y)-3xy(x+y)，(x+y)-(x-y)=4xy，問題則十分簡單．例8計算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．分析：直接展開，運算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出ab2ab2=2(a2b2，(+)+(-)+)因而問題容易解決．c2abc2cab2cab2ab2c2c2ab2解：原式ab-(]+2[+(]=[(+)+]+[(+)-]+[+(-)]+[-)]=2[(+)+-)=2[(ab2ab2c2+)+(-)]+4=4a2+4b2+4c2（五）、注意乘法公式的逆運用例9計算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．分析：若按完全平方公式展開，再相減，運算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運算簡便得多．a(chǎn)bcabc)][(abcabc)]=2abcabac．解：原式=[(-2+3)+(+2-3-2+3)-(+2-3(-4+6)=-8+12例10計算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆用完全平方公式，則運算更為簡便．222222解：原式=(2a+3b)+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)=[(2a+3b)+(4a-5b)]=(6a-2b)=36a-24ab+4b．（一）、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號左邊是兩個二項式相乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數(shù)；等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平方．明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運用公式．（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母 a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式．理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運用公式．如計算（xy－z）2，若視xy為公式中的a，z為b，則就可用+23+23a－b）2=a2－2ab+b2來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計算，此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點．常見的幾種變化是：1、位置變化xy）（y－x）交換x和5y的位置后即可用平方差公式計算了．如（3+5533mn）（m－n）后就可用平方差公式求解了（思2、符號變化如（－m－n）（m－n）變?yōu)椋?7272+727考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化 如98×102，992，912等分別變?yōu)椋?00－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能夠用乘法公式加以解答了．mn）（m－n）變?yōu)椋╩n）（m－n）后即可用平方差公式進行計算了．4、系數(shù)變化如（4+222+224445、項數(shù)變化如（x+3y+2z）（x－3y+6z）變?yōu)椋▁+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再適當分組就可以用乘法公式來解了（四）、注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解， 此時要選擇最恰當?shù)墓揭允褂嬎愀啽悖?如計算（a2+1）2·（a21）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進一步計算，則非常簡便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．對數(shù)學(xué)公式只會順向（從左到右）運用是遠遠不夠的，還要注意逆向（從右到左）運用．如計算（ 1－12）（1－12）（1－12）?（1－12）（1－12），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，234910而且容易出錯．若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題．即原式=（1－1）（1+1）（1－1）（1+1）×?×（1－1）（1+1）=1×3×2×4×?×223310102233=1×11=11．21020有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效．2222的值．如已知m+n=7，mn=－18，求m+n，m－mn+n

×111010a2+b2=面對這樣的問題就可用上述變式來解，222mn2，即mn（mn）－－×（－）+=+2=7218=49+36=852222－3×（－18）=103．m－mn+n=（m+n）－3mn=7下列各題，難不倒你吧？！、若a+1，求（）a2+1，（）（a－1）2的值．a(chǎn)aa2 4 8 16 32 642、求（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）+1的末位數(shù)字．五、乘法公式應(yīng)用的五個層次乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(a±b)=a2±2ab＋b2，(a±b)(a2±ab＋b2)=a3±b3．第一層次──正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用．例1計算(2)( －2x－y)(2x－y)．(2)原式=[(－y)－2x][( －y)＋2x]=y2－4x2．第二層次──逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用．例2計算(1)19982－1998·3994＋19972；解(1)原式=19982－2·1998·1997＋19972=(1998－1997)2=1第三層次──活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式．例3化簡：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規(guī)律，如果再增添一個因式“2－1”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解．解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．例4計算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)分析仔細觀察，易見兩個因式的字母部分與平方差公式相近，但常數(shù)不符．于是可創(chuàng)造條件─“拆”數(shù)：－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解．解原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]=(2－3y)2－(2x－3)2=9y2－4x2＋12x－12y－5．第四層次──變用：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2＋b2=(a＋b)22ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，則求解十分簡單、明快．例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．解： ∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－2·14)=106，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)=93－3·14·9=351第五層次──綜合后用 ：將(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2綜合，可得(a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷．例6計算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．解：原式=1[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-1[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]244=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2六、正確認識和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認識乘法公式：對于學(xué)習(xí)的兩種（三個）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè) a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認識乘法公式。如圖1，兩個矩形的面積之和（即陰影部分的面積）為 (a+b)(a-b) ，通過左右兩圖的對照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b2；圖2中的兩個圖陰影部分面積分別為 (a+b)2與(a-b)2，通過面積的計算方法，即可得到兩個完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2與(a-b)2=a2-2ab+b2。2、乘法公式的使用技巧：①提出負號：對于含負號較多的因式，通常先提出負號，以避免負號多帶來的麻煩。例1、 運用乘法公式計算：（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)22-(3x)2=1-9x2.解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=1（2）(-2m-1)2=[-(2m+1)]2=(2m+1)2=4m2+4m+1.②改變順序：運用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項的排列順序，可以使公式的特征更加明顯.例2、運用乘法公式計算：111a2（1）(3a-4b)(-4b-3);（2）(x-1/2)(x+1/4)(x+1/2)111a1111解：（1）(3a-4b)(-4b-3)=(-4b+3a)(-4b-3a)111112121212=(4b-3a)(4b+3a)=(4b)-(3a)=16b-9a(2)(x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2)=(x-1/2))(x+1/2)(x 2+1/4)=(x2-1/4)(x 2+1/4)=x2-1/16.③逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得 a2-b2=(a+b)(a-b) ，逆用積的乘方公n n n式，得ab=(ab),等等，在解題時常會收到事半功倍的效果。例3、 計算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5) 2; （2）(a-1/2) 2(a2+1/4)解：（1）(x/2+5)2-(x/2-5) 2 =[(x/2+5)+(x/2-5)][(x/2+5)-(x/2-5)]=(x/2+5+x/2-5)(x/2+5-x/2+5)=x ·10=10x.2）(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2=[(a-1/2)(a2+1/4)(a+1/2)]2=[(a-1/2)(a+1/2)(a2+1/4)]=[(a2-1/4)(a2+1/4)]2=(a4-1/16)2=a8-a4/8+1/256.

(a+1/2)22④合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完全相同的項調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。計算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).2-(x+y)2解：（1）(x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)=[1+(x+y)][1-(x+y)]=1=1-(x2+2xy+y2)=1-x2-2xy-y2.（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=[(2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]=(2x+5)2-(y-z) 2=(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2)=4x2+20x+25-y2+2yz-z2=4x2-y2-z2+2yz+20x+25.七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項式乘多項式，運算過程復(fù)雜，在解答中，要仔細觀察，認真分析題目中各多項式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運算就顯得簡便易行。一. 先分組，再用公式例1. 計算：(a b c d)(a b c d)簡析：本題若以多項式乘多項式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式(abcd)運用加法交換律和結(jié)合律變形為(bd)(ac)；將另一個整式(abcd)變形為(bd)(ac)，則從其中找出了特點，從而利用平方差公式即可將其展開。解：原式 (b d) (a c) b d a c(bd)2(ac)2b22bdd2a22acc2二.先提公因式，再用公式例2.計算：yy8x4x24簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個多項式中各項提公因數(shù)2出來，變?yōu)?4xy，則可利用乘法公式。4解：原式24xy4xy442y224x432x2y28三.先分項，再用公式例3.計算：2x3y22x3y6簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進而分析如何將常數(shù)進行變化。若將2分解成4與2的和，將6分解成4與2的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。解：原式=(2x4)(23y)2x423y(2x4)2223y4x216x1212y9y2四.先整體展開，再用公式例4.計算：(a2b)(a2b1)簡析：乍看兩個多項式無聯(lián)系，但把第二個整式分成兩部分，即(a2b)1，再將第一個整式與之相乘，利用平方差公式即可展開。解：原式(a2b)(a2b)1(a2b)(a2b)(a2b)a24b2a2b五.先補項，再用公式例5.計算：3(381)(341)(321)(31)簡析：由觀察整式(31)，不難發(fā)現(xiàn)，若先補上一項(31)，則可滿足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展開，使運算變得簡便易行。解：原式(381)(341)(321)(31)(31)323(381)(341)(321)(321)23(381)(341)(341)23(381)(381)2(31631)253162.先用公式，再展開例6.11111?11計算：2221210234112簡析：第一個整式1可表示為2，由簡單的變化，可看出整式符合平方差公式，2212其它因式類似變化，進一步變換成分數(shù)的積，化簡即可。解：原式111111111111?11112233441010314253?11911223344101020七.乘法公式交替用例7.計算：(xz)(x22xzz2)(xz)(x22xzz2)簡析：利用乘法交換律，把第一個整式和第四個整式結(jié)合在一起，把第二個整式與第三個整式結(jié)合，則可利用乘法公式展開。解：原式(xz)(x22xzz2)(x22xzz2)(xz)(xz)(xz)2(xz)2(xz)(xz)3(xz)3(xz)(x3z)(x2z2)3x63x4z23x2z4z6八、中考與乘法公式結(jié)論開放例1.（02年濟南中考）請你觀察圖1中的圖形，依據(jù)圖形面積的關(guān)系，不需要添加輔助線，便可得到一個你非常熟悉的公式，這個公式是