遼寧省縣級重點高中聯(lián)合體2023屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷+答案

高三期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則集合的子集個數(shù)為（）A.32 B.16 C.8 D.15【答案】B【解析】【分析】求出，確定集合中元素的個數(shù)，從而可求出子集個數(shù).【詳解】因為，所以其子集個數(shù)有個．故選：B2.若，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再由復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點的象限.【詳解】因為，所以，故z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，該點位于第四象限．故選：D.3.已知命題p：已知，則，，則：（）A.已知，則， B.已知，則，C.已知，則， D.已知，則，【答案】C【解析】【分析】將存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可.【詳解】因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，有大前提的命題，其否定中大前提不變，又因為命題p：已知，則，，所以：已知，則，，故選：C.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別判斷出的范圍即可.【詳解】因為，，，所以．故選：D5.鯨是水棲哺乳動物，用肺呼吸，一般分為兩類：須鯨類，無齒，有鯨須；齒鯨類，有齒，無鯨須，最少的僅具1枚獨齒．已知甲是一頭鯨，則“甲的牙齒的枚數(shù)不大于1”是“甲為須鯨”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分、必要性的定義及題設(shè)描述，判斷條件間的關(guān)系.【詳解】“甲牙齒的枚數(shù)不大于1”，即甲無齒或有1枚獨齒，故甲可為須鯨類或齒鯨類，充分性不成立；“甲為須鯨”，即甲無齒，故甲的牙齒的枚數(shù)不大于1，必要性成立；所以“甲的牙齒的枚數(shù)不大于1”是“甲為須鯨”的必要不充分條件.故選：B6.鈍角的內(nèi)角的對邊分別是，已知，且，則的周長為（）A.9 B. C.6 D.或9【答案】A【解析】【分析】由題知，，再分為鈍角和為鈍角兩種情況討論求解即可.【詳解】解：因為，所以，根據(jù)正弦定理邊化角得，因為，所以，即所以，當(dāng)為鈍角時，，即，解得，，周長為；當(dāng)為鈍角時，，即，解得，，此時與為鈍角時矛盾，故不成立；綜上，的周長為.故選：A7.若正實數(shù)x，y滿足x＋2y＋xy＝7，則x＋y的最小值為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】由，得，，利用基本不等式求解即可.【詳解】因為x＋2y＋xy＝7，所以，所以．因為，則所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝1，y＝2時，等號成立，所以x＋y的最小值為3．故選：D8.《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中的一個寓言故事，通過講述一只烏鴉喝水的故事，告訴人們遇到困難要運用智慧、認(rèn)真思考才能讓問題迎刃而解的道理.如圖所示，烏鴉想喝水，發(fā)現(xiàn)有一個錐形瓶，已知該錐形瓶上面的部分是圓柱體，下面的部分是圓臺，瓶口的直徑為3cm，瓶底的直徑為9cm，瓶口距瓶頸，瓶頸到水位線的距離和水位線到瓶底的距離均為.現(xiàn)將1顆石子投入瓶中，發(fā)現(xiàn)水位線上移，當(dāng)水位線離瓶口不大于時，烏鴉就能喝到水，則烏鴉共需要投入的石子數(shù)量至少是（石子體積均視為一致）（）A.2顆 B.3顆 C.4顆 D.5顆【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓臺體積公式求得一個石子的體積，再結(jié)合圓柱的體積公式，求得需要填充石子的體積，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：如圖所示，因為，，，所以.因為原水位線的直徑，投入石子后，水位線的直徑，則由圓臺公式可得：；因為需要填充的石子的體積是由圓臺加圓柱體得到，即則需要石子的個數(shù)為，所以至少共需要3顆石子.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.正方體的棱長為2，則（）A.異面直線和所成的角為 B.異面直線和所成的角為C.點到平面的距離為 D.點到平面的距離為【答案】BC【解析】【分析】連接，，，，可得異面直線和所成的角為，利用為等邊三角形可判斷AB；因為，根據(jù)等體積可得點到平面的距離可判斷CD.【詳解】如圖，連接，，，，則，所以異面直線和所成的角為，因為，所以為等邊三角形，即，故A錯誤，B正確；因為，所以，，所以，，所以，所以點到平面的距離為，故C正確，D錯誤.故選：BC.10.函數(shù)的大致圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)當(dāng)時，，時，，排除C，再舉出適當(dāng)?shù)牡闹?，分別得到ABD三個圖象.【詳解】由題意知，則，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，所以的大致圖象不可能為C，而當(dāng)為其他值時，A，B，D均有可能出現(xiàn)，不妨設(shè)，定義域為，此時A選項符合要求；當(dāng)時，定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，所以B選項符合要求，當(dāng)時，定義域為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，所以D選項符合要求.故選：ABD11.已知，則（）A.曲線在x＝e處的切線平行于x軸 B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的極小值為e D.方程沒有實數(shù)解【答案】AC【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值可判斷BCD【詳解】因為（x＞0且），得，所以，，所以曲線在x＝e處的切線平行于x軸，故A正確；令，得x＞e，令，得0＜x＜1或1＜x＜e，所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，所以極小值為，故B錯誤，C正確；因為當(dāng)0＜x＜1時，的圖象與直線y＝－1有一個交點，所以方程有一個實數(shù)解，故D錯誤．故選：AC12.已知函數(shù)的定義域為，，且，當(dāng)時，，則（）A.B.是偶函數(shù)C.當(dāng)A，B是銳角的內(nèi)角時，D.當(dāng)，且，時，【答案】AD【解析】【分析】令x＝y(tǒng)＝0，可判斷AB；利用單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞增，再由單調(diào)性結(jié)合三角形可判斷C；用定義判斷為等比數(shù)列，可判斷D【詳解】令x＝y(tǒng)＝0，得，故A正確．令x＝0，則，所以為奇函數(shù)，故B錯誤．任取，且，則．因為，所以，所以．因為，，所以，，即在上單調(diào)遞增．因為A，B是銳角的內(nèi)角，所以，所以，所以．因為，，所以，故C錯誤．因為，且，所以．令y＝－x，則，令，則，所以．因，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，故D正確．故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，則______．【答案】【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式化簡后，直接利用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，故答案為：.14.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則______．【答案】45【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合求和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，則，故．故答案為：45.15.已知向量，，若，則m＝______．【答案】5【解析】【分析】由數(shù)量積運算律與數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解即可【詳解】因為，，所以，因為，所以，所以，所以，所以，解得．故答案為：516.若過軸上一點所作的曲線C：的切線有且只有一條，則的一個可能值為______，此時的切線方程為______．【答案】①.或1②.或【解析】【分析】設(shè)切點坐標(biāo),表示出切線方程,再根據(jù)切線過定點建立方程即可求解.【詳解】（注意：只需從這兩組答案中選擇一組作答即可）設(shè)切點，因為，所以切線方程為．因為切線l經(jīng)過點P，所以,則關(guān)于的方程只有一個實數(shù)解．即只有一個實數(shù)解，由，解得或．當(dāng)時，，此時切線方程為；當(dāng)時，，此時切線方程為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）已知，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求出參數(shù)值，再檢驗即可；（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性列出不等式求解即可．【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，又因為是奇函數(shù)，則，解得；經(jīng)檢驗，故成立；【小問2詳解】因為對任意，有所以在上單調(diào)遞增又，所以解得18.函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象先向右平移個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到函數(shù)的圖象．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的俄部分圖像可確定的值，利用點代入可求得，可得，根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換可得的解析式；（2）根據(jù)，確定，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可確定在上的值域．【小問1詳解】由圖象可知，，則，所以．將點代入函數(shù)解析式可得，知，，得，所以．將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，再向上平移1個單位長度后，得到的圖象，所以．小問2詳解】因為，所以，令，則．因為，所以，所以．19.設(shè)等比數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）記，若，求m．【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）用基本量表示題干條件，求解即可；（2）代入，求解可得，再代入，求解即可.【小問1詳解】設(shè)的公比為q，則，解得所以的通項公式為．【小問2詳解】因為，所以，，．由，整理得，解得m＝4或（舍去），故m＝4．20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，PA＝PD，，，AD＝CD＝2，AB＝3，E是棱AD的中點．（1）證明：平面PCE；（2）若，求平面PCE與平面PAB所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）在棱AB上取點F，使得AF＝2BF＝2，連接CF，BE，可得四邊形AFCD是正方形，再結(jié)合勾股定理逆定理可得，再由面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCD，則，再利用線面垂直的判定可得結(jié)論；（2）以E為原點，分別以，的方向為x，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【小問1詳解】證明：在棱AB上取點F，使得AF＝2BF＝2，連接CF，BE．因為，，AD＝CD＝2，所以四邊形AFCD是正方形，因為E是棱AD的中點，所以，所以，，從而，故．因為PA＝PD，且E是棱AD的中點，所以．因為平面平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，所以平面ABCD．因為平面ABCD，所以．因為平面PCE，平面PCE，且，所以平面PCE．【小問2詳解】解：以E為原點，分別以，的方向為x，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題意可知，，，，則，．設(shè)平面PAB的法向量為，則，令x＝2，得．由（1）可知平面PCE，則平面PCE的一個法向量為．設(shè)平面PCE與平面PAB所成角為，由圖可知為銳角，所以，所以平面PCE與平面PAB所成角的余弦值為.21.人類從未停下對自然界探索的腳步，位于美洲大草原點C處正上空100m的點P處，一架無人機正在對獵豹捕食羚羊的自然現(xiàn)象進行航拍，此時位于點C西南方向的草叢A處潛伏著一只饑腸轆轆的獵豹，獵豹正目不轉(zhuǎn)睛地盯著其東偏北方向上點B處的一只羚羊，且無人機拍攝獵豹的俯角為，拍攝羚羊的俯角為，假設(shè)A，B，C三點在同一水平面上．（1）求此時獵豹與羚羊之間的距離．（2）若此時獵豹到點C處比到點B處的距離更近，且開始以28m/s的速度出擊，與此同時機警的羚羊以20m/s的速度沿北偏東方向逃跑，已知獵豹受耐力限制，最多能持續(xù)奔跑600m，試問獵豹這次捕獵是否有成功的可能？若有可能，求獵豹狩獵成功的最短時間；若不能，請說明原因．【答案】（1）見解析；（2）有，.【解析】【分析】（1）由題意及正弦定理可解得，分或討論，得解；（2）設(shè)獵豹在最短時間內(nèi)捕獵成功的地點為點，，由余弦定理建立方程，解方程即可得解.【小問1詳解】如圖，，，由正弦定理，可得，因此或，當(dāng)時，，獵豹與羚羊之間的距離為；當(dāng)時，，獵豹與羚羊之間的距離為.【小問2詳解】由(1)可知，若獵豹到點C處比到點B處羚羊的距離更近，則.設(shè)獵豹在最短時間內(nèi)捕獵成功的地點為點，，則，所以，整理得，解得（負(fù)根舍去），因為，所以獵豹這次捕獵有成功的可能，且狩獵成功的最短時間為.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＝1時，若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）分，，討論求解即可；（2）由題意可知關(guān)于x的方程有兩個不同的實根，進而，令，要使有兩個不同的實根，則需有兩個不同的實根．令，利用導(dǎo)數(shù)法研究的零點即可【小問1詳解】因為，所以．當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，由解得，由解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減．綜上可知：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】當(dāng)時，，則，所以關(guān)于x的方程有兩個不同的實根，即關(guān)于x的方程有兩個不同的實根．因為x＞0，所以．令，則，所以在上單調(diào)遞增．要使有兩個不同的實根，則需有兩個不同的實根．令，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減