十字相乘法分組分解法知識講解詳例題演練

十字相乘法及分組分解法知識講解詳及例題演練十字相乘法及分組分解法知識講解詳及例題演練2/10十字相乘法及分組分解法知識講解詳及例題演練十字相乘法及分組分解法【學(xué)習目標】2型的二次三項式的因式分解.1.熟練掌握首項系數(shù)為1的形如x(pq)xpq2.基礎(chǔ)較好的同學(xué)可進一步掌握首項系數(shù)非1的簡單的整系數(shù)二次三項式的因式分解.3.對于再學(xué)有余力的學(xué)生可進一步掌握分數(shù)系數(shù)；實數(shù)系數(shù)；字母系數(shù)的二次三項式的因式分解.(但應(yīng)控制好難度)4.掌握好簡單的分組分解法.【要點梳理】要點一、十字相乘法利用十字交織線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項式2xbxc，若存在pqcpqb，則2xbxcxpxq要點講解：（1）在對2xbxc分解因式時，要先從常數(shù)項c的正、負下手，若c0，則p、q同號(若c0，則p、q異號)，爾后依據(jù)一次項系數(shù)b的正負再確定p、q的符號（2）若2xbxc中的b、c為整數(shù)時，要先將c分解成兩個整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，爾后看這兩個整數(shù)之和能否等于b，直到湊對為止.要點二、首項系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項式2axbxc(a≠0中)，若是二次項系數(shù)a能夠分解成兩個因數(shù)之積，即aaa，常數(shù)項c能夠分解成兩個因數(shù)之積，即cc1c2，把a1，a2，c1，c2排列以下：12按斜線交織相乘，再相加，獲取a1c2a2c1，若它正好等于二次三項式2axbxc的一次項系數(shù)b，即a1c2a2c1b，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1xc1與axc之積，即222axbxcaxcaxc.1122要點講解：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項系數(shù)a一般都化為正數(shù)，若是是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負號添上.要點三、分組分解法對于一個多項式的整體，若不能夠直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮第1頁分步辦理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，爾后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，爾后再分解因式.要點講解：分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點四項二項、二項①按字母分組②按系數(shù)分組③吻合公式的兩項分組三項、一項先完好平方公式后平方差公式

分組分解五項三項、二項各組之間有公因式法三項、三項各組之間有公因式二項、二項、二項

六項三項、二項、一項可化為二次三項式要點四、添、拆項法把多項式的某一項翻開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進行分解.要注意，必定在與原多項式相等的原則下進行變形.添、拆項法分解因式需要必然的技巧性，在仔細觀察題目后可先試一試進行添、拆項，在屢次試一試中熟練掌握技巧和方法.【典型例題】種類一、十字相乘法1、分解因式：2(1)(62136)xaxaa【答案與剖析】解：原式＝212332xaxaa【總結(jié)升華】將a視作常數(shù)，就以x為主元十字相乘可解決.貫穿交融：【變式】分解因式：23xyy3x4y5【答案】解：原式2(34)35(35)(1)yxyxyxy2、分解因式：【思路點撥】該題能夠先將2aa看作一個整體進行十字相乘法分解，接著再套用一次十字相乘.【答案與剖析】解：因為所以：原式＝[－2][－12]第2頁【總結(jié)升華】十字相乘法對于二次三項式的分解因式十分方便，大家必然要熟練掌握.貫穿交融：【變式】分解因式：222(x3x)2(x3x)8；【答案】解：原式234232xxxx3、分解以下因式(1)22(xx1)(xx2)12(2)22(x3x3)(x3x4)8【答案與剖析】解：（1）令21xxt，則原式222t(t1)12tt12(t4)(t3)(xx5)(xx2)（2）令23xxm，原式2(m3)(m4)8mm20(m5)(m4)【總結(jié)升華】此兩道小題結(jié)構(gòu)都特別有特點，欲分解都必定先翻開，再仔細觀察每個式子中都存在大量相同的因式→整體性想法.整體性思路又稱換元法，這與我們生活中喬遷有些類似，要先將一些碎東西找包，會省好多事.種類二、分組分解法4、分解因式：222332xxyyxy【思路點撥】對完好平方公式熟悉的同學(xué)，一看見該式，第一想到的必然是式子中前三項恰好構(gòu)成2(xy)，第4、5項→3(xy).【答案與剖析】解：原式2(xy)3(xy)2(xy1)(xy2)【總結(jié)升華】①熟記公式在復(fù)雜背景下鑒別公式架構(gòu)很重要；②我們前面練習中無論公式、配方、十字相乘一般都只涉及單一字母，其實代數(shù)式學(xué)習是一個結(jié)構(gòu)的學(xué)習，其中任一個字母均可被一個復(fù)雜代數(shù)式來取代，故有時要有一些整體性認識的想法.貫穿交融：【變式1】分解因式：（1）22abacbc（2）225a5b3a3b（3）23xyy3x4y5【答案】第3頁解：（1）原式ababcabababc；（2）原式225ab3ab5abab3abab5a5b3；（3）原式23xy3xy4y53x(y1)(y1)(y5)(y1)(3xy5).【變式2】分解因式：2424422421abcabacbc．【答案】解：2424422421abcabacbc種類三、拆項或添項分解因式222能夠直接用公式法分解為（x+a）的形式，5、閱讀理解：對于二次三項式x+2ax+a222但對于二次三項式x，就不能夠直接用公式法了．我們能夠在二次三項式x

+2ax﹣8a+2ax﹣222中先加上一項a，使其成為完好平方式，再減去a這項，使整個式子的值不變，于是又：8a22x+2ax﹣8a2222﹣a=x+2ax﹣8a+a2222）﹣8a﹣a=（x+2ax+a22﹣9a=（x+a）=[（x+a）+3a][（x+a）﹣3]=（x+4a）（x﹣2a）像這樣把二次三項式分解因式的方法叫做添（拆）項法．22（1）請仔細閱讀以上的添（拆）項法，并用上述方法將二次三項式：x

+2ax﹣3a分解因式．22（2）直接填空：請用上述的添項法將方程的x﹣4xy+3y

=0化為（x﹣）?（x﹣）=0并直接寫出y與x的關(guān)系式．（滿足xy≠0，且x≠y）xyx22y（3）先化簡，再利用（2）中y與x的關(guān)系式求值．yxxy【答案與剖析】22解：（1）x

+2ax﹣3a222﹣4a=x+2ax+a22﹣4a=（x+a）=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；22（2）x﹣4xy+3y222﹣4xy+4y﹣y=x22﹣y=