2023屆安徽省銅陵一中高三一診考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，直線，且l與C相切，切點(diǎn)為P，記的面積為S，則的最小值為A． B． C． D．2．已知函數(shù)．若存在實(shí)數(shù)，且，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．4．設(shè)，集合，則（）A． B． C． D．5．在中，，，，若，則實(shí)數(shù)()A． B． C． D．6．已知函數(shù)，不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．雙曲線：（），左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．8．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側(cè)面積為9．已知圓：，圓：，點(diǎn)、分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．10．函數(shù)的部分圖像大致為（）A． B．C． D．11．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與的對(duì)稱軸垂直的直線與交于，兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則的面積為（）A．1 B．2 C．4 D．812．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足對(duì)任意，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.14．設(shè)、分別為橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)作斜率為1的直線，交于、兩點(diǎn)，則________15．已知盒中有2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，且每種顏色的兩個(gè)球均按，編號(hào)，現(xiàn)從中摸出2個(gè)球（除顏色與編號(hào)外球沒(méi)有區(qū)別），則恰好同時(shí)包含字母，的概率為________.16．正方體的棱長(zhǎng)為2,是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí),的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知兩數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的最大值．18．（12分）如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,，,分別為,的中點(diǎn),是上異于,的點(diǎn),.（1）證明:平面平面;（2）若點(diǎn)為半圓弧上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))求二面角的余弦值.19．（12分）如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊，，，是的三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn).分別沿，將四邊形和折起，使，重合于點(diǎn)，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn)，預(yù)計(jì)該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價(jià)格)(單位:萬(wàn)元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.（1）求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本(即生產(chǎn)過(guò)程中一段時(shí)間的總成本對(duì)該段時(shí)間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù))；（2）記每日生產(chǎn)平均成本求證：；（3）若財(cái)團(tuán)每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減，連續(xù)注入天，求證:這天的總投入資金大于億元.21．（12分）在綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)的某個(gè)維度的測(cè)評(píng)中，依據(jù)評(píng)分細(xì)則，學(xué)生之間相互打分，最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個(gè)分?jǐn)?shù)，滿分100分，按照大于或等于80分的為優(yōu)秀，小于80分的為合格，為了解學(xué)生的在該維度的測(cè)評(píng)結(jié)果，在畢業(yè)班中隨機(jī)抽出一個(gè)班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生，得到如下的列聯(lián)表：優(yōu)秀合格總計(jì)男生6女生18合計(jì)60已知在該班隨機(jī)抽取1人測(cè)評(píng)結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.（1）完成上面的列聯(lián)表；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系？（3）現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況，采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來(lái)分析，請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的抽樣方法，并解釋理由.附：0.250.100.0251.3232.7065.02422．（10分）為了拓展城市的旅游業(yè)，實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路，中間設(shè)有至少8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口，記為，現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性；（2）若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個(gè)路口，恰有個(gè)路口種植楊樹，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）在所有的路口種植完成后，選取3個(gè)種植同一種樹的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【答案解析】

設(shè)出坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式求得，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離，得到的面積為，作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值．【題目詳解】設(shè)，，聯(lián)立，得則，則由，得設(shè)，則，則點(diǎn)到直線的距離從而．令當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故，即的最小值為本題正確選項(xiàng)：【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問(wèn)題．解決圓錐曲線中的面積類最值問(wèn)題，通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來(lái)求解最值.2、D【答案解析】

首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，根據(jù)題意，列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，求得結(jié)果.【題目詳解】，令，得，．其單調(diào)性及極值情況如下：x0+0_0+極大值極小值若存在，使得，則（如圖1）或（如圖2）．（圖1）（圖2）于是可得，故選：D.【答案點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，畫出圖象數(shù)形結(jié)合，屬于較難題目.3、A【答案解析】

用排除法，通過(guò)函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【題目詳解】設(shè)，由于，排除B選項(xiàng)；由于，所以，排除C選項(xiàng)；由于當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.4、B【答案解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再求.【題目詳解】由得：，所以，因此，故答案為B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.5、D【答案解析】

將、用、表示，再代入中計(jì)算即可.【題目詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算，是一道中檔題.6、C【答案解析】

確定函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，不等式轉(zhuǎn)化為，利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【題目詳解】是奇函數(shù)，，易知均為減函數(shù)，故且在上單調(diào)遞減，不等式，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，即，設(shè)，，故單調(diào)遞減，故，當(dāng)，即時(shí)取最大值，所以.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式，參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.7、B【答案解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程，再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，列方程即可求出，進(jìn)而求出漸近線的方程.【題目詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，可得，所以漸近線方程為，即為,故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.8、C【答案解析】

根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計(jì)算可得.【題目詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題.9、B【答案解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，故的最大值為，故選B．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對(duì)稱性，求出所求式子的最大值．10、A【答案解析】

根據(jù)函數(shù)解析式，可知的定義域?yàn)?，通過(guò)定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出，則為偶函數(shù)，可排除選項(xiàng)，觀察選項(xiàng)的圖象，可知代入，解得，排除選項(xiàng)，即可得出答案.【題目詳解】解：因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，則，∴為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)，且當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)，所以正確.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象，利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.11、C【答案解析】

設(shè)拋物線的解析式，得焦點(diǎn)為，對(duì)稱軸為軸，準(zhǔn)線為，這樣可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程可求得，而到直線的距離為，從而可求得三角形面積．【題目詳解】設(shè)拋物線的解析式，則焦點(diǎn)為，對(duì)稱軸為軸，準(zhǔn)線為，∵直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，，是與的交點(diǎn)，又軸，∴可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，解得，又∵點(diǎn)在準(zhǔn)線上，設(shè)過(guò)點(diǎn)的的垂線與交于點(diǎn)，，∴.故應(yīng)選C.【答案點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，解題時(shí)只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就能得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得參數(shù)的值．本題難度一般．12、B【答案解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值，然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值.【題目詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此求得的通項(xiàng)公式.【題目詳解】由題，所以故答案為：【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)，利用定義可得，進(jìn)而求出。【題目詳解】由知，焦點(diǎn)，所以直線：，代入得，即，設(shè)，，故由定義有，，所以?！敬鸢更c(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、以及直線與橢圓位置關(guān)系中弦長(zhǎng)的求法，注意直線過(guò)焦點(diǎn)，位置特殊，采取合適的弦長(zhǎng)公式，簡(jiǎn)化運(yùn)算。15、【答案解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)，讓兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【題目詳解】從袋中任意地同時(shí)摸出兩個(gè)球共種情況，其中有種情況是兩個(gè)球顏色不相同；故其概率是故答案為：．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了求事件概率，解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識(shí)和組合數(shù)計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【答案解析】

由弦的長(zhǎng)度最大可知為球的直徑.由向量的線性運(yùn)用表示出，即可由范圍求得的取值范圍.【題目詳解】連接，如下圖所示：設(shè)球心為,則當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，為球的直徑，由向量線性運(yùn)算可知正方體的棱長(zhǎng)為2，則球的半徑為1，，所以，而所以，即故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了空間向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算，正方體內(nèi)切球性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）唯一的極大值點(diǎn)1，無(wú)極小值點(diǎn)．（2）1【答案解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求得的解，確定此解兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，確定極值點(diǎn)；（2）問(wèn)題可變形為恒成立，由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，時(shí)，無(wú)最小值，因此只有，從而得出的不等關(guān)系，得出所求最大值．【題目詳解】解：（1）定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有唯一的極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，．若恒成立，則恒成立，所以恒成立，令，則，由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以所以，所以，故的最大值為1．【答案點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，研究不等式恒成立問(wèn)題．在求極值時(shí)，由確定的不一定是極值點(diǎn)，還需滿足在兩側(cè)的符號(hào)相反．不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用．18、（1）詳見解析；（2）.【答案解析】

（1）由直徑所對(duì)的圓周角為，可知，通過(guò)計(jì)算，利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形，所以有.由已知可以證明出，這樣利用線面垂直的判定定理可以證明平面，利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量和平面的法向量，利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算公式，可以求出二面角的余弦值.【題目詳解】解：（1）證明：因?yàn)榘雸A弧上的一點(diǎn)，所以.在中，分別為的中點(diǎn)，所以，且.于是在中，，所以為直角三角形，且.因?yàn)椋?所以.因?yàn)?，，，所以平?又平面，所以平面平面.（2）由已知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以垂直于、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，,,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即，取,得.設(shè)平面的法向量,則即，取,得.所以，又二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直判定面面垂直、利用空間向量數(shù)量積求二面角的余弦值問(wèn)題.19、（1）證明見解析（2）【答案解析】

(1)先證，再證，由可得平面，從而推出平面；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與，坐標(biāo)代入線面角的正弦值公式即可得解.【題目詳解】（1）證明：連接，，由圖1知，四邊形為菱形，且，所以是正三角形，從而.同理可證，，所以平面.又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?易知，且為的中點(diǎn)，所以，所以平面.（2）解：由（1）可知，，且四邊形為正方形.設(shè)的中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，由得取.設(shè)直線與平面所成的角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，直線與平面所成的角，要求一定的空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【答案解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由此求得求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本.（2）將所要證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，由此證得不等式成立.（3）利用（2）的結(jié)論，判斷出，由此結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，證得.【題目詳解】（1）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，（2）要證，只需證，即證，設(shè)則所以在上單調(diào)遞減，所以所以，即；（3）因?yàn)橛钟桑?）知，當(dāng)時(shí)，所以所以所以【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查放縮法證明數(shù)列不等式，屬于難題.21、（1）見解析；（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為“性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系”（3）見解析.【答案解析】

（1）由已知抽取的人中優(yōu)秀人數(shù)為20，這樣結(jié)合已