教學(xué)設(shè)計(jì)完整版：立體幾何中的向量方法

立體幾何中的向量方法第1課時(shí)空間向量與平行關(guān)系●三維目標(biāo)1.知識(shí)與技能能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，能用向量方法判斷有關(guān)直線和平面平行關(guān)系的立體幾何問(wèn)題．2．過(guò)程與方法通過(guò)用向量方法解決立體幾何中的平行問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量運(yùn)算的幾何意義．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)看問(wèn)題，體驗(yàn)在探索問(wèn)題的過(guò)程中的受挫感和成功感，培養(yǎng)合作意識(shí)和創(chuàng)新精神，同時(shí)感受數(shù)學(xué)的形式美與簡(jiǎn)潔美，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．●重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：用向量方法判斷有關(guān)直線和平面平行關(guān)系問(wèn)題．難點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的正確建立，空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；用向量語(yǔ)言證明立體幾何中有關(guān)平行關(guān)系的問(wèn)題．●教學(xué)建議在“以生為本”理念的指導(dǎo)下，充分體現(xiàn)課堂教學(xué)中“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的教學(xué)關(guān)系和“以人為本，以學(xué)定教”的教學(xué)理念，構(gòu)建學(xué)生主動(dòng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程．在教學(xué)策略上宜采用“復(fù)習(xí)引入——推進(jìn)新課——?dú)w納與總結(jié)——反思”組成的探究式教學(xué)策略，并使用計(jì)算機(jī)多媒體作為輔助教具，提高課堂效率．本節(jié)課難點(diǎn)在于用向量證明平行關(guān)系，所以利用多媒體幫助分散難點(diǎn)，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．同時(shí)在教學(xué)中注意關(guān)注整個(gè)過(guò)程和全體學(xué)生，“以學(xué)生發(fā)展為核心”，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與教學(xué)過(guò)程的每個(gè)環(huán)節(jié)．●教學(xué)流程課標(biāo)解讀1.掌握直線的方向向量、平面的法向量的概念及求法．(重點(diǎn))2.熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系．(重點(diǎn)、難點(diǎn))【問(wèn)題導(dǎo)思】圖3－2－11．如圖3－2－1，直線l∥m，在直線l上取兩點(diǎn)A、B，在直線m上取兩點(diǎn)C、D，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))有怎樣的關(guān)系？【提示】eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→)).2．如圖直線l⊥平面α，直線l∥m，在直線m上取向量n，則向量n與平面α有怎樣的關(guān)系？【提示】n⊥α.直線的方向向量是指和這條直線平行或共線的非零向量，一條直線的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè)．直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.線線平行設(shè)兩條不重合的直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，則l∥m?a∥b?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)線面平行設(shè)l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l∥α?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行設(shè)α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)圖3－2－2已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．(1)求平面ABCD與平面SAB的一個(gè)法向量．(2)求平面SCD的一個(gè)法向量．【思路探究】(1)根據(jù)圖形特點(diǎn)，如何建立坐標(biāo)系更方便？(2)怎樣求平面的法向量？題中所要求的三個(gè)平面的法向量在求解時(shí)方法是否相同？【自主解答】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(eq\f(1,2)，0,0)，S(0,0,1)．(1)∵SA⊥平面ABCD，∴eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量．∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，0,0)是平面SAB的一個(gè)法向量．(2)在平面SCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，1,0)，eq\o(SC,\s\up6(→))＝(1,1，－1)．設(shè)平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，則n⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，n⊥eq\o(SC,\s\up6(→)).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DC,\s\up6(→))＝0,n·\o(SC,\s\up6(→))＝0，))得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋y＝0,x＋y－z＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2y,z＝－y，))令y＝－1得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．1．若一個(gè)幾何體中存在線面垂直關(guān)系，則平面的垂線的方向向量即為平面的法向量．2．一般情況下，使用待定系數(shù)法求平面的法向量，步驟如下：(1)設(shè)出平面的法向量為n＝(x，y，z)．(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))(4)解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量．3．在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí)，方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0))有無(wú)數(shù)多個(gè)解，只需給x，y，z中的一個(gè)變量賦于一個(gè)值，即可確定平面的一個(gè)法向量；賦的值不同，所求平面的法向量就不同，但它們是共線向量．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱A1D1、A1B1的中點(diǎn)，在如圖3－2－3所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：圖3－2－3(1)平面BDD1B1的一個(gè)法向量．(2)平面BDEF的一個(gè)法向量．【解】設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)(1)連AC，因?yàn)锳C⊥平面BDD1B1，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)為平面BDD1B1的一個(gè)法向量．(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1,0,2)．設(shè)平面BDEF的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up6(→))＝0,n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＝0,x＋2z＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x,z＝－\f(1,2)x.))令x＝2得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2,1)即為平面BDEF的一個(gè)法向量.長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是面對(duì)角線B1D1，A1B上的點(diǎn)，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求證：EF∥AC1.【思路探究】(1)你能寫出EF、AC1的方向向量嗎？(2)兩直線的方向向量滿足什么條件則說(shuō)明它們平行？【自主解答】如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA＝a，DC＝b，DD1＝c，則得下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E(eq\f(2,3)a，eq\f(2,3)b，c)，F(xiàn)(a，eq\f(b,3)，eq\f(2,3)c)．∴eq\o(FE,\s\up6(→))＝(－eq\f(a,3)，eq\f(b,3)，eq\f(c,3))，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－a，b，c)，∴eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC1,\s\up6(→)).又FE與AC1不共線，∴直線EF∥AC1.利用向量法證明線線平行的方法與步驟：圖3－2－4如圖3－2－4所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為DD1和BB1的中點(diǎn)．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．【證明】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，E(0,0，eq\f(1,2))，C1(0,1,1)，F(xiàn)(1,1，eq\f(1,2))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\f(1,2))，eq\o(FC1,\s\up6(→))＝(－1，0，eq\f(1,2))，eq\o(EC1,\s\up6(→))＝(0,1，eq\f(1,2))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,1，eq\f(1,2))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(FC1,\s\up6(→))，eq\o(EC1,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))∥eq\o(FC1,\s\up6(→))，eq\o(EC1,\s\up6(→))∥eq\o(AF,\s\up6(→))，又∵F?AE，F(xiàn)?EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四邊形AEC1F是平行四邊形.圖3－2－5如圖3－2－5，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，求證：AB1∥平面DBC1.【思路探究】eq\x(線面平行)→eq\x(線與面的法向量垂直)→eq\x(數(shù)量積為0)【自主解答】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a(a>0)，側(cè)棱長(zhǎng)為b(b>0)，則A(0,0,0)，B(eq\f(\r(3),2)a，eq\f(a,2)，0)，B1(eq\f(\r(3),2)a，eq\f(a,2)，b)，C1(0，a，b)，D(0，eq\f(a,2)，0)，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),2)a，eq\f(a,2)，b)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(3),2)a,0,0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0，eq\f(a,2)，b)．設(shè)平面DBC1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up6(→))＝－\f(\r(3),2)ax＝0，,n·\o(DC1,\s\up6(→))＝\f(a,2)y＋＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,z＝－\f(a,2b)y.))不妨令y＝2b，則n＝(0,2b，－a)．由于eq\o(AB1,\s\up6(→))·n＝ab－ab＝0，因此eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥n.又AB1?平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.利用空間向量證明線面平行一般有三種方法：方法一：證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示．方法二：證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．方法三：先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明方向向量與平面的法向量垂直．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F(xiàn)，E1分別是棱AA1，BB1，A1B1的中點(diǎn)．求證：CE∥平面C1E1F.【證明】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．設(shè)BC＝1，則C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，E1(1，eq\f(1,2)，2)．設(shè)平面C1E1F的法向量為n＝(x，y，z)，∵eq\o(C1E1,\s\up6(→))＝(1，－eq\f(1,2)，0)，eq\o(FC1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(C1E1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(FC1,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)y，,x＝z，))取n＝(1,2,1)．∵eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，n·eq\o(CE,\s\up6(→))＝1－2＋1＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))⊥n，且eq\o(CE,\s\up6(→))?平面C1E1F.∴CE∥平面C1E1F.向量法證明空間平行關(guān)系圖3－2－6(12分)如圖3－2－6，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點(diǎn)．求證：FH∥平面EDB.【思路點(diǎn)撥】先通過(guò)推理證明FH⊥平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)證明eq\o(HF,\s\up6(→))、eq\o(BE,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共面．【規(guī)范解答】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC.又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH，∴AB⊥分又BF＝FC，H為BC的中點(diǎn)，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面分以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(HB,\s\up6(→))為x軸正方向，eq\o(HF,\s\up6(→))為z軸正方向．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BH＝1，則B(1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(xiàn)(0,0,1).6分∴eq\o(HF,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，－2，0)，設(shè)eq\o(HF,\s\up6(→))＝λ·eq\o(BE,\s\up6(→))＋μ·eq\o(BD,\s\up6(→))＝λ·(－1，－1,1)＋μ(－2，－2,0)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)8分∴(0,0,1)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ－2μ＝0,λ＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1,μ＝－\f(1,2)，))∴eq\o(HF,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))10分∴向量eq\o(HF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共面．又HF不在平面EDB內(nèi)，∴HF∥平面分【思維啟迪】1.建立空間直角坐標(biāo)系，通常需要找出三線兩兩垂直或至少找到線面垂直的條件．2．證明時(shí)，要注意空間線面關(guān)系與向量關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別，注意所運(yùn)用定理的條件要找全．課堂小結(jié)：1．利用向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)進(jìn)行向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系(距離和夾角等)；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái)解釋相關(guān)問(wèn)題．2．證明線面平行問(wèn)題，可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系；也可以轉(zhuǎn)化為線線平行，利用向量共線來(lái)證明．雙基達(dá)標(biāo)：1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為()A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．【答案】A2．下列各組向量中不平行的是()A．a(chǎn)＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)【解析】∵b＝(－2，－4,4)＝－2(1,2，－2)＝－2a，∴a∥b，同理：c∥d，e∥f.【答案】D3．設(shè)平面α內(nèi)兩向量a＝(1,2,1)，b＝(－1,1,2)，則下列向量中是平面α的法向量的是()A．(－1，－2,5) B．(－1,1，－1)C．(1,1,1) D．(1，－1，－1)【解析】平面α的法向量應(yīng)當(dāng)與a、b都垂直，可以檢驗(yàn)知B選項(xiàng)適合．【答案】B4．根據(jù)下列各條件，判斷相應(yīng)的直線與直線、平面與平面、直線與平面的位置關(guān)系：(1)直線l1，l2的方向向量分別是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分別是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)；(3)直線l的方向向量，平面α的法向量分別是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)．【解】(1)∵a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0，∴l(xiāng)1⊥l2.(2)∵v＝(－3，－9,0)＝－3(1,3,0)＝－3μ，∴α∥β.(3)∵a、u不共線，∴l(xiāng)不與α平行，也不在α內(nèi)．又∵a·u＝－7≠0，∴l(xiāng)與α不垂直．故l與α斜交.課后檢測(cè)：一、選擇題1．(2022·吉林高二檢測(cè))l1的方向向量為v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，則λ＝()A．1B．2C．3D．4【解析】∵l1∥l2，∴v1∥v2，則eq\f(1,λ)＝eq\f(2,4)，∴λ＝2.【答案】B2．(2022·青島高二檢測(cè))若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．在平面內(nèi) D．平行或在平面內(nèi)【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))、eq\o(CE,\s\up6(→))共面，則AB與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)．【答案】D3．已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2，－1,2)，α的一個(gè)法向量為n＝(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是()A．(1，－1,1) B．(1,3，eq\f(3,2))C．(1，－3，eq\f(3,2)) D．(－1,3，－eq\f(3,2))【解析】對(duì)于B，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,4，－eq\f(1,2))，則n·eq\o(AP,\s\up6(→))＝(3,1,2)·(－1,4，－eq\f(1,2))＝0，∴n⊥eq\o(AP,\s\up6(→))，則點(diǎn)P(1,3，eq\f(3,2))在平面α內(nèi)．【答案】B4．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，則平面ABC的一個(gè)法向量的單位向量是()A．(1,1,1)B．(eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3))C．(eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3))D．(eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3))【解析】設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·n＝－y＋z＝0,\o(BC,\s\up6(→))·n＝－x＋y＝0,\o(AC,\s\up6(→))·n＝－x＋z＝0))∴x＝y(tǒng)＝z，又∵單位向量的模為1，故只有B正確．【答案】B圖3－2－75．如圖3－2－7，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，則()①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【解析】eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(A1M,\s\up6(→))∥eq\o(D1P,\s\up6(→))，所以A1M∥D1P，由線面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正確．【答案】C二、填空題6．(2022·泰安高二檢測(cè))已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為(1，eq\f(1,2)，2)，且l∥α，則m＝________.【解析】∵l∥α，∴l(xiāng)的方向向量與α的法向量垂直，∴(2，m,1)·(1，eq\f(1,2)，2)＝2＋eq\f(1,2)m＋2＝0，∴m＝－8.【答案】－87．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，點(diǎn)P(x，－1,3)在平面ABC內(nèi)，則x＝________.【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,6，－8)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，－2,0)，由題意知A、B、C、P共點(diǎn)共面，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋6μ＝－2,－2λ－8μ＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－4,μ＝1，))而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11.【答案】118．下列命題中，正確的是________．(填序號(hào))①若n1，n2分別是平面α，β的一個(gè)法向量，則n1∥n2?α∥β；②若n1，n2分別是平面α，β的一個(gè)法向量，則α⊥β?n1·n2＝0；③若n是平面α的一個(gè)法向量，a與平面α共面，則n·a＝0；④若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直．【解析】②③④一定正確，①中兩平面有可能重合．【答案】②③④三、解答題圖3－2－89．已知O、A、B、C、D、E、F、G、H為空間的9個(gè)點(diǎn)(如圖3－2－8所示)，并且eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→)).求證：(1)A、B、C、D四點(diǎn)共面，E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→))；(3)eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→)).【解】(1)由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))，知A、B、C、D四點(diǎn)共面，E、F、G、H四點(diǎn)共面．(2)∵eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＋m(eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))＝k(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋km(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝keq\o(AD,\s\up6(→))＋kmeq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→)))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→)).(3)由(2)知eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))－eq\o(EO,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))－keq\o(AO,\s\up6(→))＝k(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))＝keq\o(OC,\s\up6(→)).∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→)).10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，DC的中點(diǎn)，求證：eq\o(AE,\s\up6(→))是平面A1D1F的法向量．【證明】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建立如