2020高中數(shù)學 第二章 等式與不等式 2.2.1 不等式及其性質(zhì)學案 第一冊

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE9學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2。1不等式及其性質(zhì)導學案1、掌握不等式5個性質(zhì)與5個推論。2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式。3、熟練靈活運用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式?！局攸c】1、掌握不等式5個性質(zhì)與5個推論。2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式.3、熟練靈活運用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式?！倦y點】正確選用性質(zhì)推理和思想方法來證明不等式.【情境與問題】你見過你見過下圖中的高速公路指示牌嗎?左邊的指示牌是指對應的車道只能供小客車行駛,而且小客車的速率v1(單位:km/h，下同）應該滿足100≤v1≤120；右邊的指示牌是指對應的車道可供客車和貨車行駛,而且車的速率v2應該滿足不等式:在現(xiàn)實世界里，量與量之間的不等關系是普遍的，不等式是刻畫不等關系的工具，我們用數(shù)學符號連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關系，含有這些不等號的式子，稱為不等式.上述不等式符號中，要特別注意“≥”“≤”。事實上，住意給定兩個實數(shù)a,b,那么a≥b?a＞b或a=ba≤b?5≥3，2≥2，2≤2這三個命題都是真命題嗎？5≥3，2≥2，2≤2這三個命題都是真命題嗎？怎樣理解兩個實數(shù)之間的大小呢?我們已經(jīng)知道,實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應,即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來,數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)。一般地,如果點P對應的數(shù)為x,則稱x為點P的坐標,并記作P（x).另外,數(shù)軸上的點往數(shù)軸的正方向運動時，它所對應的實數(shù)會變大，這就是說，兩個數(shù)在數(shù)軸上對應的點的相對位置決定了這兩個數(shù)的大小、如下圖所示的數(shù)軸中，A（a），B（b），不難看出b〉1>0〉a.此外，我們也知道，一個數(shù)加上一個正數(shù),相當于數(shù)軸上對應的點向正方向移動了一段距離;一個數(shù)減去一個正數(shù)(即加上一個負數(shù)），相當于數(shù)軸上對應的點向負方向移動了一段距離。由此可以看出，要比較兩個實數(shù)a，b的大小，只要考察a—b與0的相對大小就可以了，即aa—b〈0?a〈b，b=0?a=b，a-b〉0?a>b.初中的時候，我們就已經(jīng)歸納出了不等式的三個性質(zhì):性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3【嘗試與發(fā)現(xiàn)】你能利用前面的知識，給出性質(zhì)1的直觀理解以及這三個性質(zhì)的證明嗎?你能利用前面的知識，給出性質(zhì)1的直觀理解以及這三個性質(zhì)的證明嗎?事實上,如下圖所示，a>b是指點A在點B的右側(cè)，a+c和b+c表示點A和點B在數(shù)軸上做了相同的平移，平移后得到的點A’和B’的相對位置,與A和B的相對位置是一樣的，因此a+c〉b+c.性質(zhì)1可以用如下方式證明：因為(a+c）—（b+c）=a+c-b—c=a—b，又因為a>b,所以a-b>0,從而(a+c）-(b+c）〉0.因此a+c>b+c.性質(zhì)2可以用類似的方法證明：因為ac—bc=（a-b）c，又因為a>b，所以a-b〉0，而c〉0，因此(a-b)c>0，因此ac-bx>0，即ac〉bc.性質(zhì)3的證明留作練習。用“充分不必要”“必要不充分”“充要"填空：（1）a〉b是a+c>b+c的用“充分不必要”“必要不充分”“充要"填空：（1）a〉b是a+c>b+c的條件;（2）如果c〉0，則a>b是ac>bc的條件;（3）如果c<0，則a〉b是ac〈bc的條件。在不等式的證明與求解中，我們還經(jīng)常用到以下不等式的性質(zhì)。性質(zhì)4直觀上，如下圖所示，點A在點B的右側(cè),點B在點C的右側(cè)，因此點A必定在點C的右側(cè).證明因為a-c=（a—b)+(b-c)，又因為a〉b,所以a-b>0；且b〉c，所以b—c>0，因此(a-b）+（b-c）〉0,從而a—c〉0，即a〉c。性質(zhì)4通常稱為不等關系的,。我們前面在判斷x2〉—1等類似命題的真假時就用過不等關系的傳遞性。性質(zhì)5這只要利用a-b=—（b-a）就可以證明，請讀者自行嘗試。另外，值得注意的是，上述不等式性質(zhì)對任意滿足條件的實數(shù)都成立，因此我們可以用任意滿足條件的式子去代替其中的字母?！镜湫屠}】例1比較x2—x和x—2的大小。例1的證明中用了配方法，這種方法經(jīng)常用于式子變形，大家應熟練掌握.需要注意的是，前面我們證明不等式性質(zhì)和解答例1的方法,其實質(zhì)都是通過比較兩式之差的符號來判斷兩式的大小，這種方法通常稱為作差法.在證明不等式時,當然也可直接利用已經(jīng)證明過的不等式性質(zhì)等。從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果,經(jīng)過逐步推導最后得到結(jié)論的方法，在數(shù)學中通常稱為綜合法.下面我們用綜合法來得出幾個常用的不等式性質(zhì)的推論.推論1.證明a+b〉c?a+b+（—b）〉c+(-b）?a〉c-b.推論1表明，不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊。推論1通常稱為不等式的移項法則.推論2證明根據(jù)性質(zhì)1有b?a+c>b+c,d?b+c〉b+d，再根據(jù)性質(zhì)4可知a+c〉b+d.我們把a>b和c〉d（或a<b和c〈d）這類不等號方向相同的不等式，稱為同向不等式.推論2說明，兩個同向不等式的兩邊分別相加,所得到的不等式與原不等式同向。很明顯，推論2可以推廣為更一般的結(jié)論:有限個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向。推論3證明根據(jù)性質(zhì)2有a>b，c>0?ac〉bc，c〉d，b〉0?bc〉bd，再根據(jù)性質(zhì)4可知ac〉bd.很明顯，這個推論也可以推廣為更一般的結(jié)論：幾個兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘,所得到的不等式與原不等式同向。推論4這個結(jié)論的證明只要多次使用推論3的結(jié)論即可。推論5證明假設≤,即〈或=,根據(jù)推論4和二次根式的性質(zhì)，得a<b或a=b.這都與a〉b矛盾，因此假設不成立，從而>。證明推論5中不等式的方法具有什么特征？【嘗試與發(fā)現(xiàn)】證明推論5中不等式的方法具有什么特征？可以看出，推論5中證明方法的實質(zhì)是：首先假設結(jié)論的否定成立,然后由此進行推理得到矛盾,最后得出假設不成立.這種得到數(shù)學結(jié)論的方法通常稱為,反證法是一種間接證明的方法。例2（1）已知a>b,c〈d，求證:a-c〉b—d；(2）已知a〉b，ab>0，求證：（3）已知a〉b〉0,0<c〈d,求證：可以看出，例2中所使用的方法是綜合法。綜合法中,最重要的推理形式為p?q,其中p是已知或者已經(jīng)得出的結(jié)論，所以綜合法的實質(zhì)就是不斷尋找必然成立的結(jié)論。【嘗試與發(fā)現(xiàn)】你能證明你能證明嗎?用綜合法證明這個結(jié)論方便嗎？你覺得可以怎樣證明這個結(jié)論？上述這種證明方法通常稱為分析法。分析法中，最重要的推理形式是“要證p，只需證明q”，這可以表示為pg，其中p是需要證明的結(jié)論，所以分析法的實質(zhì)就是不斷尋找結(jié)論成立的充分條件.的證明過程也可簡寫為：因為例3已知m>0,求證：1.判斷下列命題的真假：（1）當x=3時，x≥3；（2）當x≥3時，x=3；（3)當x≥3且x≤3時，x=3.2.用“〉”或“〈”填空：（1)x+5x+2；（2）a〈b3a3b；(3）a〈b—5a—5b；（4）當c0時，a>bac〈bc；(5）a〉ba-1b-2；（6）a〉b〉0,c<d<0acbd。3.求證：如果a>b，c〈0，那么ac<bc.4.用反證法證明。1．設，