12第十二講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

第十二節(jié)對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算宴—基第一課時(shí)：對(duì)數(shù)知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)的概念思考解指數(shù)方程：3x=V3.可化為3x=3；，所以x=2,那么你會(huì)解3x=2嗎？答案不會(huì)，因?yàn)?難以化為以3為底的指數(shù)式，因而需要引入對(duì)數(shù)概念.梳理對(duì)數(shù)的概念：如果ax=N(a>0，且a/1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，log10N可簡記為lgN，logeN簡記為lnN.知識(shí)點(diǎn)二對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系思考loga1(a>0,且a/1)等于？答案設(shè)loga1=M化為指數(shù)式at=1,則不難求得t=0,即loga1=0.梳理一般地，有對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：若a>0，且a/1，則ax=NlogaN=x.對(duì)數(shù)恒等式：alogaN=N；logaax=x(a>0，且a/1).對(duì)數(shù)的性質(zhì)：1的對(duì)數(shù)為零；底的對(duì)數(shù)為1；

(3)零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù).類型一對(duì)數(shù)的概念例1在N=log(5^)(b-(3)零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù).類型一對(duì)數(shù)的概念例1在N=log(5^)(b-2)中A.b<2或b>5實(shí)數(shù)b的取值范圍是()B.2妙<5C.4<b<5D.2*5且b/4答案Db-2>0，5-b>0，...2<b<5且b/4.v5-b/1，反思與感悟由于對(duì)數(shù)式中的底數(shù)a就是指數(shù)式中的底數(shù)a,所以a的取值范圍為a>0,且。/1；由于在指數(shù)式中ax=N，而ax>0，所以N>0.1—x..跟蹤訓(xùn)練1求fx)=logQ車x的定義域.x>0，S解要使函數(shù)式有意義，需U1，解得0<x<1.S解要使函數(shù)式有意義，需U1，解得0<x<1.1-x一>0，1+x1-x"加希的定義域?yàn)?0,D類型二應(yīng)用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)求值例2求下列各式中x的值：log2(log5x)=0；(2)log3(lgx)=1./.x=51=5.(1).「log2(log5x)=0./.log5x=2o=1，(2)Vlog3(lgx)=1，Algx=31=3，A/.x=51=5.反思與感悟本題利用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)從整體入手，由外到內(nèi)逐層深入來解決問題logaN=00N=1；logaN=EN=a使用頻繁，應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上牢記.跟蹤訓(xùn)練2若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,則x+y+z的值為()2朝有"王者之路”系列2020年升高一銜接學(xué)案A.9B.8C.7D.6答案A解析Vlog2(log3x)=0,/.log3x=1..*.x=3.同理y=4,z=2.^x+y+z=9.類型三對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化命題角度1指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式例3將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：54=625；(2)2-6=64；(3)3。=27；(4)?m=5.73.解(1)log5625=4;(2)log264=-6；(3)log327=a；(4)log[5.73=m.3反思與感悟指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，關(guān)鍵是弄清指數(shù)式各部位的去向：跟蹤訓(xùn)練3(1)如果a=b2(b>0,b/1),則有()A.log?。=bB.log?》=adogb。=2D?logb2=a將3-2=9,Q)6=64化為對(duì)數(shù)式.⑶解方程：G)m=5.⑴答案C解析logba=2，故選C.解(2)3-2=*可化為log39=-2；(2)6=64可化為lo%￡=6.⑶m=log^5.3命題角度2對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式例4求下列各式中x的值：3坎［翱言■HhH■■村KitaSaHUEHTIBih(1)log64x=-2；(2)logx8=6；(3)lg100=x；(4)—lne2=x；(5)logr_、，—l=以('2一1人./3+2勺2解(1)x=64-3=(彳3'=坎［翱言■HhH■■村KitaSaHUEHTIBih16(2)因?yàn)閤6=8,所以x=(x62=86=(23/=22二％‘2.(3)10^=100=102，于是x=2.(4)由-lne2=x，得-x=lne2，即e-x=e2.所以x=-2.(5)因?yàn)閘og(_)；=(2-1p+2、.,；2所以('j)x=i=^+T僉",所以x=1.反思與感悟要求對(duì)數(shù)的值，設(shè)對(duì)數(shù)為某一未知數(shù)，將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)求解跟蹤訓(xùn)練4計(jì)算：(1)log927；(2)log4§81；(3)log廠625.3解(1)設(shè)x=log927，則9x=27,32x=33，Ax=2.(2)設(shè)x=log廠81，則(43)x=81,34=34，.?.x=16.⑶令x=log廠625，則(35)=625,5：x=54，.??x=3.命題角度3對(duì)數(shù)恒等式alog/=n的應(yīng)用例5⑴求33+log3x=2中的x.(2)求alogab-loghdogcN的值(a,b,c均為正實(shí)數(shù)且不等于1,N>0).2解(1)V33+典/=33?3log3x=27x=2，「.x二萬.(2)alogab-logbc-logcN=(alogab)ogbc」ogcN=clogcN=N.反思與感悟應(yīng)用對(duì)數(shù)恒等式注意：4些人行恭有■HIMH■■村KilvSHBLIEHTlBta些人行恭有■HIMH■■村KilvSHBLIEHTlBta(2)當(dāng)N>0時(shí)才成立，例如j=x與j=alog^x并非相等函數(shù).跟蹤訓(xùn)練5設(shè)25典《2x-i)=9,則x=.答案解析25log《2x一1)二(答案解析25log《2x一1)二(52)og52x-1)=(5log《2x-1)...2x-1二±3，又V2x-1>0,.?.2x-1=3.「?x=2.第二課時(shí)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算L新課導(dǎo)學(xué)|知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)思考有了乘法口訣，我們就不必把乘法還原成為加法來計(jì)算.那么，有沒有類似乘法口訣的東西，使我們不必把對(duì)數(shù)式還原成指數(shù)式就能計(jì)算？答案有.例如，設(shè)logaM=m,logaN=n,則am=M,an=N，：.MN="an=am4n,「.loga(MN)=m+n=logaM+logaN.得到的結(jié)論loga(MN)=logaM+logaN可以當(dāng)公式直接進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算.梳理一般地，如果a>0，且a/1,M>0,N>0，那么：loga(M.N)=logaM+logaN；…M，logaN=1華〃肱-logaN；(3)logaMn=nlogaM(nER).知識(shí)點(diǎn)二換底公式思考1觀察知識(shí)點(diǎn)一的三個(gè)公式，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)都是同底的才能用這三個(gè)公式.而實(shí)際上，早期只有常用對(duì)數(shù)表(以10為底)和自然對(duì)數(shù)表(以無理數(shù)e為底)，可以查表求對(duì)數(shù)值.那么我們?cè)谶\(yùn)算和求值中遇到不同底的對(duì)數(shù)怎么辦？答案設(shè)法換為同底.思考2假設(shè)*g|=x，則log25=xlog23，即log25=log23x，從而有3x=5，再化為對(duì)數(shù)式可得到什么結(jié)論?答案把3x=5化為對(duì)數(shù)式為：log35=x，logclogc5又因?yàn)閤—log3，所以得出logm'—log3的結(jié)論.至人行朝言梳理一般地，對(duì)數(shù)換底公式：log-blogab=iogca(a>0，且a^1,b>0，c>0，且c#1)；特別地：log/」og滬=1（a>0，且a^1,b>0，且心1）..題型探究_類型一具體數(shù)字的化簡求值例1計(jì)算：(1)log345—log35；(2)log2(23X45)；z^l^'27+lg8—1^1000⑶lg1.2；(4)log29-log38.45解(1)log345-log35=log3y=log39=log332=2log33=2.(2)log2(23X45)=log2(23X210)=log2(213)=13log22=13.)^lgx8^—lg102l荒⑶原式二r3lg32ki12lg-A3X23+102J10lgr3X4]

k10Ji12

lg-103122lg103—12=2-6(4)log29-log38=log2(32)-log3(23)=2log23-3log32二6」。g23?忐二6.反思與感悟具體數(shù)的化簡求值主要遵循2個(gè)原則.⑴把數(shù)字化為質(zhì)因數(shù)的幕、積、商的形式.(2)不同底化為同底.跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算：(1)2log63+log64；11(lg25一歧片1002；log43-log98；1log256.25+lnUe—0.0643.解(1)原式=log632+log64=log6(32X4)=log6(62)=2log66=2.(2)原式=(lg25)^102x(2]=lg102^10-14=2X10=20.原式一蚣座一蟲3也=3原式=lg4'lg9=2lg2'2lg3=4.1r64V⑷原式二噂照以+虧-:1000j=2.^-4=2^221010.類型二代數(shù)式的化簡命題角度1代數(shù)式恒等變換例2化簡log竺^.，3解...Q,y〉。且粗〉。,\§>0,.?.y>0,z>0.7些人行我有■HIMH>?hlSiitaaBBiJEHriEita10g半1二碼(口；§)-10gfl3Z=10g/2+log/.'}-10gaQi二2典戶1+知/-如戶反思與感悟使用公式要注意成立條件，如1gx2不一定等于21gx，反例：1og10(-10)2=21og10(-10)是不成立的.要特別注意1oga(MN)N1ogaM?1ogaN,1oga(M±N)N1og些人行我有■HIMH>?hlSiitaaBBiJEHriEita跟蹤訓(xùn)練2已知y>0,化簡1理琵."一一一一解.>0，y>0，..x>0，z>0.yz1ogj}|=1og/-1唱3)=21og/-1og!-1理產(chǎn)命題角度2用代數(shù)式表示對(duì)數(shù)例3已知1og189=a,18^=5,求1og3645.解方法一1og189二a,18心5，..?1og］852，于是1og45=3二燮就5)」og189+1og185于是1og36451og18361og18(18X2)1+1og182a+ba+b1+1og￥2-aog189方法二?1og189=a,18b=5，...1og185=b，工曰］1og451og(9X5)于是1og3645=忒偵=1og；；(18X2)1og189+1og185a+b.21og1818-1og1892-a方法三.1og189二a,18b=5，?1g9=a1g18，1g5=b1g18，1g451g(9X5)0+】g5??1og3645=1g36二］借=21g18-1g98ME言alg18+blg18a+b.2lg18-alg182-a反思與感悟此類問題的本質(zhì)是把目標(biāo)分解為基本“粒子”，然后用指定字母換元.跟蹤訓(xùn)練3已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256.解：log23-a，則己=log32，又,/log37-b,._log356log37+3log32ab+3課后檢測J'42log342log37+log32+1ab+a+1對(duì)數(shù)的概念有下列說法：課后檢測J零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù);任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)；以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù).其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案C解析①、③、④正確，②不正確，只有a>0，且a/1時(shí)，ax-N才能化為對(duì)數(shù)式.已知b=log(a_^)(5-a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a>5或a<2B.2<a<5C.2<a<3或3<a<5D.3<a<4答案Cr一5-a>0，一，「一―解析由a-2>0，得2<a<3或3<a<5.'a-2/1，下列四個(gè)等式：①lg(lg10)=0；②lg(lne)=0；③若lgx=10，則x=10；④若lnx=e,則x=e2.其中正確的是()A.①③B.②④9至人行軟有■HIMH>?hlSiiNaBBlJEHTlBtaC.①②D.③④答案C解析①lg(lg10)=lg1=0；②lg(lne)=lg1=0；③若lgx=10,則x=1010；④若ln^=e，則x=ee.5.(|)-1+log0.54的值為()7A.6B.2c.0d.7答案C解析(2)-1+log054二(2)一1+log]4=2-2=0.24.log有81=.答案8解析設(shè)log_81=r,U(M)f=81,32=34,2=4,t=8.5.設(shè)Q=log310,》=log37,則3a-b=.答案10答案107解析..?a=log310,b=log37,A3a=10,3b=7,.c3a10

..3a3b=7.6.求22+log23+32-log’s的值.32解22+log3+32-log39=22X2iog23+-——23log399=4X3+9=12+1=13.對(duì)數(shù)運(yùn)算1.下列各式(各式均有意義)不正確的個(gè)數(shù)為()clogM①logclogM①loga(M^)=logaM+logaN；②loga(M—^)=^og^:③aA.2答案BB.3C.4=---:④(am)n=amn:⑤logb=—nlogb.m；—\anD.5些人行軟有■HIMH■■村KitaS■BiJEflTIElih解析①正確，②不正確，③正確，④不正確，⑤不正確.化簡確等于()A.log54B.3log52C.2答案D解析lOg52=典28=log2(23)=3.若log53」og36?log6x=2,貝x等于()D.3A.9C.25答案D1B.91D.25A73+r;Hig*八f*日——!^6ifi^_