2022-2023學年廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級中學高二年級上冊學期第一次統(tǒng)測數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高二上學期第一次統(tǒng)測數(shù)學試題一、單選題1．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（

）A．至少有一個黑球與都是黑球B．至少有一個黑球與至少有一個紅球C．恰有一個黑球與恰有兩個黑球D．至少有一個黑球與都是紅球C【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可.【詳解】對于A：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：兩個都是黑球，∴這兩個事件不是互斥事件，∴A不正確；對于B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，∴B不正確；對于C：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，∴兩個事件是互斥事件但不是對立事件，∴C正確；對于D：事件：“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，∴這兩個事件是對立事件，∴D不正確.故選：C．2．如圖，在長方體中，P是線段上一點，且，若，則（

）A． B． C． D．1B【分析】利用向量加法以及減法的幾何意義并結(jié)合向量的線性運算即可得解.【詳解】長方體中，依題意，，，而，又不共面，于是得，，，所以.故選：B3．某社區(qū)為了更好的開展便民服務(wù)，對一周內(nèi)居民辦理業(yè)務(wù)所需要的時間進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表.假設(shè)居民辦理業(yè)務(wù)所需要的時間相互獨立，且都是整數(shù)分鐘.辦理業(yè)務(wù)所需要的時間（分）12345頻率0.10.30.40.10.1則在某一天，第三位居民恰好等待4分鐘才開始辦理業(yè)務(wù)的概率為（

）A．0.04 B．0.08 C．0.17 D．0.26C【分析】根據(jù)題意，先得到前兩位居民辦理業(yè)務(wù)的時間是：每人兩分鐘；其中一人1分鐘，另一人三分鐘；共兩種情況，求出對應(yīng)概率再求和，即可得出結(jié)果.【詳解】因為第三位居民恰好等待4分鐘才開始辦理業(yè)務(wù)，若前兩位居民辦理業(yè)務(wù)分別用兩分鐘，則對應(yīng)概率為；若前兩位居民辦理業(yè)務(wù)的時間分別為：1分鐘和三分鐘，則對應(yīng)的概率為；因此，第三位居民恰好等待4分鐘才開始辦理業(yè)務(wù)的概率為.故選：C.本題主要考查獨立事件的概率計算，屬于基礎(chǔ)題型.4．如圖，在正方形內(nèi)作內(nèi)切圓，將正方形、圓繞對角線旋轉(zhuǎn)一周得到的兩個旋轉(zhuǎn)體的體積依次記為，，則（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)后的由兩個圓錐形成的組合體，旋轉(zhuǎn)后的是球體，利用圓錐和球的體積公式即可求解.【詳解】解：設(shè)，則正方形旋轉(zhuǎn)后得到兩個底面半徑為1，高為1的圓錐形成的組合體，故，圓繞對角線旋轉(zhuǎn)一周得到一個半徑為的球，故，.故選：D5．中興、華為事件暴露了我國計算機行業(yè)中芯片、軟件兩大短板，為防止“卡脖子”事件的再發(fā)生，科技專業(yè)人才就成了決勝的關(guān)鍵．為了解我國在芯片、軟件方面的潛力，某調(diào)查機構(gòu)對我國若干大型科技公司進行調(diào)查統(tǒng)計，得到了這兩個行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的餅形圖和“90后”從事這兩個行業(yè)的崗位分布雷達圖，則下列說法中不一定正確的是（

）A．芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，“90后”占總?cè)藬?shù)的比例超過50%B．芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)設(shè)計崗位的“90后”人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的25%C．芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”比“80后”多D．芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場崗位的人數(shù)比“80前“的總?cè)藬?shù)多C【分析】根據(jù)圖表信息，整合數(shù)據(jù)，逐項判斷即可得解.【詳解】對于選項A，芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中“90后”占總?cè)藬?shù)的55%，故選項A正確；對于選項B，芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計崗位的“90后”占總?cè)藬?shù)的（37%+13%）×55%=27.5%，故選項B正確；對于選項C，芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)崗位的“90后”占總?cè)藬?shù)的37%×55%＝20.35%，“80后”占總?cè)藬?shù)的40%，但從事技術(shù)的“80后”占總?cè)藬?shù)的百分比不知道，無法確定二者人數(shù)多少，故選項C錯誤；對于選項D，芯片、軟件行業(yè)中從事市場崗位的“90后”占總?cè)藬?shù)的14%×55%＝7.7%、“80前”占總?cè)藬?shù)的5%，故選項D正確.故選：C.本題考查了統(tǒng)計圖的應(yīng)用，考查了數(shù)據(jù)整合的能力，屬于基礎(chǔ)題．6．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，，則下列結(jié)論正確的是（）A．； B．平面平面；C．直線平面； D．．D【分析】A.由平面，結(jié)合，易得平面判斷；B.過作于，結(jié)合平面平面，可得，再由，易得平面判斷；C.根據(jù)與是相交直線，則兩直線有公共點判斷；D.在中，根據(jù)求解判斷.【詳解】A.∵平面，則，若，，則平面，可得，但是與成，故錯誤，B.如圖所示：，過作于，如果平面平面，可得，∵，且，∴平面，∴，矛盾，故錯誤；C.因為與是相交直線，所以一定不與平面平行，故錯誤；D.在中，因為，所以，故正確．故選：D．方法點睛：（1）證明直線和平面垂直的常用方法：①線面垂直的定義；②判定定理；③垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；④面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑤面面垂直的性質(zhì)（2）證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．7．電路從到上共連接了6個開關(guān)，每個開關(guān)閉合的概率為.若每個開關(guān)是否閉合相互之間沒有影響，則從到連通的概率是（

）A． B． C． D．C【分析】利用對立事件概率公式和相互獨立事件概率公式能求出從到連通的概率.【詳解】解：∵電路從到上共連接著6個開關(guān)（如圖），每個開關(guān)閉合的概率為，則斷路的概率為，整個電路的連通與否取決于開關(guān)是否斷路，則從到連通的概率是故選：C8．已知三棱錐的頂點都在球的球面上，底面為等邊三角形，且其所在圓的面積為.若三棱錐的體積的最大值為，則球的體積為（

）A． B． C． D．B【分析】求出圓的半徑得邊長，從而得三角形面積，確定三棱錐體積最大時點位置，得三棱錐的高，從而求得球半徑得球體積．【詳解】如圖，所在圓即為的外接圓.設(shè)圓的半徑為，則，解得.因為為等邊三角形，所以.由正弦定理可得，解得.所以.如圖，當三點共線時，三棱錐的體積最大，最大值為，此時平面，三棱錐的高最大，且有，解得.設(shè)球的半徑為，在Rt中，，解得.所以球的體積.故選：B.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體被抽到的概率是0.1；B．已知一組數(shù)據(jù)1，

2，，6，

7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5；C．數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23；D．若樣本數(shù)據(jù)的標準差為8，則數(shù)據(jù)的標準差為16.ACD【分析】對于A，利用概率對于判斷即可．對于B，根據(jù)平均數(shù)求得的值，然后利用方差公式求解即可.對于C，8個數(shù)據(jù)70百分為，從而求得第70百分位數(shù)為第6個數(shù).對于D，利用方差公式求解即可.【詳解】對于A，一個總體含有50個個體，某個個體被抽到的概率為，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為5的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為，故A正確．對于B，數(shù)據(jù)1，2，，6，

7的平均數(shù)是4，，這組數(shù)據(jù)的方差是，故B錯誤.對于C，8個數(shù)據(jù)70百分為，第70百分位數(shù)為第6個數(shù)為23，故C正確.對于D，依題意，，則，故數(shù)據(jù)的標準差為16，D正確；故選：ACD.10．(多選)如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且AP＝3PN，，設(shè)，，，則下列等式成立的是（

）A．B．C．D．BD【分析】利用空間向量基本定理結(jié)合空間向量的加減法以及數(shù)乘運算求解即可【詳解】根據(jù)向量的加減法及數(shù)乘運算法則:，A選項錯誤；，故選項正確；，故選項錯誤；，故選項正確．故選：BD11．某機構(gòu)要調(diào)查某小區(qū)居民生活垃圾的投放情況(該小區(qū)居民的生活垃圾以廚余垃圾?可回收物?其他垃圾為主)，隨機抽取了該小區(qū)“廚余垃圾”箱?“可回收物”箱?“其他垃圾”箱這三類垃圾箱，總計1000千克的生活垃圾，數(shù)據(jù)(單位：千克)統(tǒng)計如下：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾的總投放質(zhì)量/千克400100100可回收物的總投放質(zhì)量/千克3024030其他垃圾的總投放質(zhì)量/千克202060根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計該小區(qū)居民生活垃圾的投放情況，下列結(jié)論正確的是（

）A．廚余垃圾投放正確的概率為.B．居民生活垃圾投放錯誤的概率為.C．該小區(qū)這三類垃圾中，其他垃圾投放正確的概率最低.D．廚余垃圾在“廚余垃圾”箱?“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量的方差是20000.ACD根據(jù)數(shù)據(jù)，結(jié)合古典概型公式和方差公式依次分析各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，由題可知廚余垃圾的總投放質(zhì)量為600千克，其中投放到“廚余垃圾”箱的有400千克，故廚余垃圾投放正確的概率為，故A選項正確；對于B選項，由表中數(shù)據(jù)可知，居民垃圾投放錯誤的有千克，故居民生活垃圾投放錯誤的概率為，故B選項錯誤；對于C選項，由表中數(shù)據(jù)可知，可回收物的總投放質(zhì)量為300千克，其中正確投放的有240千克，故可回收物投放正確的概率為，其他垃圾的總投放質(zhì)量為100千克，其中正確投放的有60千克，故其他垃圾投放正確的概率為，再結(jié)合A選項廚余垃圾投放正確的概率為，故，即其他垃圾投放正確的概率最低，故C選項正確；對于D選項，由題知廚余垃圾在在“廚余垃圾”箱?“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的平均投放量為200千克，根據(jù)方差的計算公式得，故D選項正確.故選：ACD本題考查古典概型計算概率，方差的計算，解題的關(guān)鍵是讀懂表中的數(shù)據(jù)，根據(jù)題意依次計算分析，要耐心，且認真的挖掘數(shù)據(jù)，分析處理數(shù)據(jù)，考查數(shù)據(jù)處理能力，是中檔題.12．下列說法正確的有（

）A．若一個圓臺的上?下底面半徑分別為，則其內(nèi)切球的表面積為B．正方體的棱長為分別為棱的中點，經(jīng)過三點的平面被正方體所截，則截面圖形的面積為C．已知邊長為1的菱形中，，則用斜二測畫法畫出的這個菱形水平放置時的直觀圖的面積為D．正三棱錐的所有棱長均為2，其內(nèi)切球體積為AC【分析】畫出球內(nèi)切于圓臺、正三棱錐的軸截面，利用圖形中的長度關(guān)系可求出球的半徑，即可判斷AD，對于B，分別取線段的中點為，即可得到經(jīng)過三點的平面被正方體所截的圖形為正六邊形，求出其面積可判斷，根據(jù)平面圖形的原圖形與直觀圖面積的關(guān)系可判斷C.【詳解】對于A，球內(nèi)切于圓臺的軸截面如圖：其中，所以，所以，因為為球的直徑，所以球的半徑為，其表面積為，故A正確；對于B，分別取線段的中點為，則經(jīng)過三點的平面被正方體所截的圖形為正六邊形，其邊長為，面積為，故B錯誤；對于C，因為邊長為1的菱形中，，所以菱形的面積為，所以用斜二測畫法畫出的這個菱形水平放置時的直觀圖的面積為，故C正確；對于D，球內(nèi)切于正三棱錐的軸截面為：其中為該三棱錐的高，為該三棱錐的斜高，為球的半徑，因為正三棱錐的所有棱長均為2，所以可求出，設(shè)，因為，所以，即，解得，所以該三棱錐的內(nèi)切球體積為，故D錯誤；故選：AC三、填空題13．天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，現(xiàn)部門通過設(shè)計模擬實驗的方法研究三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用1，2，3，4表示下雨，其余6個數(shù)字表示不下雨：產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989則這三天中恰有兩天降雨的概率約為__________．【詳解】分析：由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)，在20組隨機數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的共有5組隨機數(shù)，根據(jù)概率計算公式，得到結(jié)果.詳解：由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)，在20組隨機數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有：191、271、932、812、393，共有5組隨機數(shù)，,所求概率為.故答案為.點睛：本題考查模擬方法估計概率，解題主要依據(jù)是等可能事件的概率，注意列舉法在本題的應(yīng)用.14．若在兩個成語中，一個成語的末字恰是另一成語的首字，則稱這兩個成語有頂真關(guān)系，現(xiàn)從分別貼有成語“人定勝天”、“爭先恐后”、“一馬當先”、“先發(fā)制人”的5張大小形狀完全相同卡片中，任意抽取2張，則這2張卡片上的成語有頂真關(guān)系的概率為______.【分析】從這5張卡片中隨機抽取2張,共有10種不同的情況,利用列舉法求出其中有頂真關(guān)系的共有3種情況,由此能求出這2張卡片上的成語有頂真關(guān)系的概率.【詳解】從這5張卡片中隨機抽取2張,共有10種不同的情況，

其中有頂真關(guān)系的為:(人定勝天,天馬行空)(一馬當先,先發(fā)制人),(先發(fā)勝人,人定勝天)，共有3種情況，這2張卡片上的成語有頂真關(guān)系的概率為故此題考查概率問題，先通過組合數(shù)找到總的情況，再用列舉法找到滿足條件的情況即可求解，屬于簡單題目.15．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，點M在線段CC1上，且．點P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，則線段AP的長為________．【分析】分別以為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，由求出點坐標后可得線段的長．【詳解】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，則是靠近的線段的三等分點，，，，在平面上，設(shè)，則，由AP⊥平面MBD1，得，解得，所以，．故．16．如圖，在矩形中，，為的中點，將沿翻折成（平面），為線段的中點，則在翻折過程中給出以下四個結(jié)論：①與平面垂直的直線必與直線垂直；②線段的長為；③異面直線與所成角的正切值為；④當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積是.其中正確結(jié)論的序號是_______.（請寫出所有正確結(jié)論的序號）①②④【分析】①平面，則可判斷；②通過線段相等，可求出線段的長；②異面直線與所成角為，求出其正切值即可；④找出球心，求出半徑即可判斷其真假.從而得到正確結(jié)論的序號.【詳解】如圖，取的中點為，的中點為，連接，，，，則四邊形為平行四邊形，直線平面，所以①正確；，所以②正確；因為，異面直線與的所成角為，，所以③錯誤；當三棱錐的體積最大時，平面與底面垂直，可計算出，，，所以，同理，所以三棱錐外接球的球心為，半徑為1，外接球的表面積是，④正確.故①②④.本題考查翻折過程中點線面的位置關(guān)系，注意翻折過程中不變的量，考查了相關(guān)角度，長度，體積的計算，考查直觀想象，運算能力，屬于較難題目．四、解答題17．為了估計某校的一次數(shù)學情況，現(xiàn)從該校參加的600名學生中隨機抽出60名學生，其成績（百分制）均在上，將這些成績分成六段，，…，，后得到如圖所示部分頻率分布直方圖.(1)求抽出的60名學生中分數(shù)在內(nèi)的人數(shù)；(2)若規(guī)定成績不小于85分為優(yōu)秀，則根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校優(yōu)秀人數(shù)；(3)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù).(1)15人(2)135人(3)76【分析】（1）根據(jù)頻率的和等于1求出成績在內(nèi)的頻率，計算對應(yīng)的頻數(shù)即可.（2）計算小于85分的頻數(shù)即可.（3）根據(jù)中位數(shù)平分頻率直方圖的面積，求出即可.【詳解】(1)解：由題意得：在頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率，頻率的和等于1，成績在內(nèi)的頻率人數(shù)為人；(2)估計該校的優(yōu)秀人數(shù)為不小于85分的頻率再乘以樣本總量600，即人；(3)分數(shù)在內(nèi)的頻率為0.25，∵分數(shù)在內(nèi)的頻率為，∴中位數(shù)在內(nèi)，∵中位數(shù)要平分方圖的面積，∴中位數(shù)為18．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．設(shè)，，．（1）試用，，表示向量；（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長．（1）＝＋＋；（2）.【分析】（1）利用空間向量的線性運算即可求解.（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.【詳解】解：（1）＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＋（－）＝＋＋，又＝，＝，＝，∴＝＋＋．（2）∵AB＝AC＝AA1＝1，∴||＝||＝||＝1．∵∠BAC＝90°，∴＝0．∵∠BAA1＝∠CAA1＝60°，∴＝＝，∴||2＝（＋＋）2＝（＋＋＋2＋2＋2）＝，∴||＝．19．隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一，若某人報名參加了駕駛證，要順利地拿到駕駛證，需要通過四個科目的，其中科目二為場地．在每一次報名中，每個學員有5次參加科目二的機會（這5次機會中任何一次通過，就算順利通過，即進入下一科目，若5次都沒有通過，則需要重新報名），其中前2次參加科目二免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二都需要交200元的補考費，某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計，得到如下結(jié)論：男性學員參加科目二，每次通過的概率均為，女性學員參加科目二，每次通過的概率均為，現(xiàn)有這個駕校的一對夫妻學員同時報名參加駕駛證科目二，若這對夫妻每人每次是否通過科目二相互獨立，他們參加科目二的原則為：通過科目二或者用完所有機會為止．(1)求這對夫妻在本次報名參加科目二通過且都不需要交補考費的概率；(2)求這對夫妻在本次報名參加科目二通過且產(chǎn)生的補考費用之和為200元的概率．(1)；(2).【分析】（1）分別表示丈夫和妻子第i次通過的事件，再將夫妻二人都不需要交補考費的事件用表示，然后利用互斥事件和相互獨立事件的概率公式計算作答.（2）將夫妻二人共交200元補考費的事件用（1）中事件表示，再利用互斥事件和相互獨立事件的概率公式計算作答.【詳解】(1)分別表示丈夫和妻子第i次通過的事件，則，夫妻二人都不需要交補考費的事件，則，所以這對夫妻在本次報名參加科目二通過且都不需要交補考費的概率是.(2)由（1）知，夫妻二人共交200元補考費的事件，則，所以這對夫妻在本次報名參加科目二通過且產(chǎn)生的補考費用之和為200元的概率.20．如圖在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，平面平面.（1）證明：平面平面；（2）若，為線段的中點，求三棱錐的體積.（1）證明見解析；（2）.（1）取的中點，連結(jié)，由面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可知；由正方形特點知，由線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）由中點性質(zhì)可知，利用體積橋的方式可求得結(jié)果.【詳解】（1）取的中點，連結(jié)，為等邊三角形，，平面，平面平面，平面平面，平面，又平面，，底面為正方形，.又，平面，平面，平面，平面平面（2）為線段的中點，到平面的距離為到平面的距離的.由（1）知：平面平面，由面面垂直的性質(zhì)可知：在中，邊上的高即為三棱錐的高，，.本題考查立體幾何中面面垂直關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解問題，涉及到線面垂直和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐體積公式的應(yīng)用；求解三棱錐體積的常用方法是采用體積橋的方式，將問題轉(zhuǎn)化為高易求的三棱錐的體積的求解問題.21．某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結(jié)果認知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡和第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任本市的“中國夢”宣傳使者.（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年