2022-2023學年浙江省衢溫“5 1”聯(lián)盟高二創(chuàng)新班上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年浙江省衢溫“5+1”聯(lián)盟高二創(chuàng)新班上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．A【分析】解不等式確定集合，然后由交集定義計算．【詳解】，，所以．故選：A．2．復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z等于（

）A． B． C． D．C【分析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】由，得.故選：C.本題考查復數(shù)的綜合運算，掌握復數(shù)運算法則是解題基礎．3．已知向量，，下列選項正確的是（

）A．若，則m＝2 B．若，則m＝－2C．若，則m＝2 D．若，則m＝－2C【分析】本題考查平面向量已知平行與垂直，求參數(shù)的值，代入公式即可.【詳解】若,則，，故A,B選項錯誤.若，則.故C正確，D錯誤.故選：C4．命題“，使得”的否定是（

）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得D【分析】本題考查特稱命題的否定，其否定為全稱命題,并否定其結論.【詳解】本題考查特稱命題的否定，因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，使得的否定是，使得.故選：D5．綠水青山就是金山銀山，浙江省對“五水共治”工作落實很到位，效果非常好．現(xiàn)從含有甲的5位志愿者中選出4位到江西，湖北和安徽三個省市宣傳，每個省市至少一個志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者沒有條件限制，共有多少種不同的安排方法（

）A．228 B．132 C．180 D．96B【分析】本題分抽取的4人中含甲和不含甲兩大類討論，采取捆綁法分析情況，再利用加法和乘法原理得到所有情況即可.【詳解】4人去3個省份，且每個省至少一個人則必會有兩人去同一省份，若抽取的4人中不含甲，在這四人中任意取兩人進行捆綁，則共有種，②若4人中含有甲，則在剩余的4人中抽取3人，共有種，接下來若甲和另1人去同一省份，則共有種，若甲單獨一人去一個省份，則共有種，根據(jù)加法和乘法原理可得共有，此類情況共有種綜上共有種.故選：B.6．設，，，則（

）A． B． C． D．A【分析】構造兩個函數(shù)，，通過分析兩個函數(shù)的單調性分別比較a和b，b和c的大小.【詳解】設，，不難看出在小于0，因此在單調遞減，且故方法一：設，，由泰勒公式可知故，當時，，因此在單調遞增，且，故即，也就是方法二：設，，則，因為當時，，在上為單調遞增函數(shù)，因此，即綜上故選：A7．已知直線l：和圓C：相交于M，N兩點，下列說法錯誤的是（

）A．的取值范圍是 B．圓心C到直線l距離的取值范圍是C．∠MCN的最小值是 D．面積的最大值是2D【分析】根據(jù)直線恒過的定點，以及過圓內一點截圓所得弦長最值的求解，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對直線，，其恒過與的交點；對圓，其圓心為，半徑；對A：當直線過圓心時，此時取得最大值為；當時，取得最小值為，故A正確；對B：當直線過圓心時，圓心C到直線l距離取得最小值為；當時，圓心C到直線l距離取得最大值為，故正確；對：當，在△中，由余弦定理可得：，故，當時，，故，故正確；對：當時，三點可以構成三角形，則其面積；當時，三點無法構成三角形；綜上的面積沒有最大值，故錯誤.故選.8．以雙曲線C：焦點F為圓心，a為半徑的圓與雙曲線一條漸近線交于A，B兩點，若（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)題意求得為上靠近的三等分點，據(jù)此列出滿足的等量關系，求解即可.【詳解】過雙曲線的右焦點作漸近線的垂線，垂足為，連接，如下所示：易知，又，故可得，設點，一條漸近線為，則點到漸近線距離，則，則，又，在△中，勾股定理可得，則，故雙曲線的離心率為.故選：B.二、多選題9．公差為d的等差數(shù)列前n項和為，若，則下列選項，正確的有（

）A．d＞0 B．時，n的最大值為9C．有最小值 D．時，n的最大值為17BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調性以及前項和的函數(shù)性質，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：由可得，，，故，A錯誤；對B：由A得，數(shù)列為單調減數(shù)列，且，，故時，n的最大值為9，正確；對：由得，，故是關于的開口向下的二次函數(shù)，其有最大值沒有最小值，錯誤；對：因為數(shù)列的前項均為正數(shù)，且，，故時，n的最大值為17，正確；故選.10．已知p：，，q：x＋y≥t，若p是q的充分不必要條件，則t的值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5AB【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義求解．【詳解】，所以，但反過來，不能推出且，選項AB滿足題意，CD不滿足題意，若，則不是的充分條件，如，滿足條件，但不滿足，同理D也不合題意．故選：AB．11．函數(shù)的圖像，可能是（

）A． B． C． D．ABC【分析】顯然是奇函數(shù)，根據(jù)a的取值不同分別討論在第一象限的單調性即可.【詳解】對于A，若，則，正確；對于B，若，當時，，令，得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以時函數(shù)的極小值，與圖像吻合，正確；對于C，若，當時則有，函數(shù)單調遞增，并且，當，當時，，與C圖吻合，正確；對于D，由以上的討論可知，當時，不可能是減函數(shù)，錯誤；故選：ABC.12．如圖，長方體中，AB＝BC＝2，，點P是底面ABCD所在平面內的動點，點R是線段的中點，點Q是直線上的動點，下列結論正確的有（

）A．的面積的最小值是B．四面體的體積為定值C．若與所成角為，則動點P的軌跡是拋物線D．若點P在直線BD上，則PR與平面所成角的最大值為ABD【分析】對于A選項.可根據(jù)圖中幾何特征進行判斷；對于B可根據(jù)等體積法進行判斷；對于CD選項，建立如圖建立以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，為z軸的空間直角坐標系，找到各點通過向量進行計算.【詳解】對于A.由圖可知點Q與重合時，點Q到線段的距離最短，此時的面積的最小，，故A正確；對于B.四面體的體積等價于四面體的體積，其中點到平面距離為定值，而的面積也是定值2，故B正確；對于C.如圖建立以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，為z軸的空間直角坐標系.，，，，整理可得：，顯然動點P的軌跡不是拋物線故C錯誤.對于D.，，，其中，，，，設平面的法向量為，則令，則，所以PR與平面所成角的正弦為：當時，取最大值，此時PR與平面所成角的最大，故PR與平面所成角的最大值為，D正確.故選:ABD方法點睛：空間直角坐標系中未知點的設立方式（以本題D選項中P點為例）：①首先假設未知點坐標為②確定未知點所在直線，根據(jù)向量共線條件列式③找出直線的方向向量，將未知點的坐標值全部用表示出來即可.三、填空題13．已知，則在x＝1處的切線方程是______．【分析】根據(jù)導數(shù)求出在x＝1處的切線斜率，用點斜式求出切線方程.【詳解】已知當時，由，得根據(jù)點斜式可得：故答案為:14．已知周期為函數(shù)，直線是圖象的一條對稱軸，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間是______．【分析】根據(jù)函數(shù)最小正周期求得，結合對稱軸求得，再求函數(shù)單調增區(qū)間即可.【詳解】根據(jù)題意可得：，，解得；當時，，故，令，解得.即的單調增區(qū)間為.故答案為.15．設全集，集合，當取滿區(qū)間所有值時，集合A的補集表示區(qū)域的面積為______．【分析】根據(jù)題意集合A表示原點到所有直線的距離都等于1，即直線都與圓心在原點，半徑為1的單位圓相切.【詳解】由集合可知幾何意義為：原點到所有直線的距離都等于1，即這些直線都與圓心在原點，半徑為1的單位圓相切.所以集合A的補集表示的區(qū)域為圓心在原點，半徑為1的圓去除邊界的部分，故面積.故16．已知x，且滿足，則的最小值為______．【分析】利用三角換元，以及由導數(shù)判斷函數(shù)單調性求函數(shù)最值即可.【詳解】令，故，令，故令，即，解得，此時單調遞增；令，解得，此時單調遞減，故當時，取得最小值，同時，.故答案為.關鍵點點睛：本題考查最值的求解，處理問題的關鍵是利用三角換元，轉化目標代數(shù)式為三角函數(shù)式，從而利用導數(shù)求解最值，屬綜合困難題.四、解答題17．在銳角中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若．(1)求B；(2)若，求的取值范圍．(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，結合特殊角的三角函數(shù)值，即可求得結果；（2）構造關于的函數(shù)關系，求其值域即可.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理可得：，即，又，故，又，因此．（2）由正弦定理：，∴，，又，故，是銳角三角形，則，因此，，，故，∴．18．已知各項為正數(shù)的數(shù)列前n項和為，若．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，且數(shù)列前n項和為，求證：．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用求得的遞推關系，得數(shù)列為等差數(shù)列，從而易得通項公式；（2）由錯位相減法求得和即可證．【詳解】（1）當n＝1時，，解得：．當時，由得：，因此，，又，∴，即：是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，因此，的通項公式．（2）依題意得：，，∴，兩式相減，得：，，因此，．19．如圖，三棱錐中，，，．(1)AB上是否存在點Q，使得．若存在，求出點Q的位置并證明，若不存在，說明理由；(2)若，求直線AB與平面PAC所成角的正弦值．(1)存在Q，且Q是AB中點時，，證明見解析(2)【分析】（1）取AB的中點為Q，根據(jù)條件容易證明；（2）根據(jù)線面夾角的定義，構造三角形按照正弦函數(shù)的定義計算即可.【詳解】（1）存在Q，且Q是AB中點時，；證明如下：如圖，取AC中點M，連結PM，QM，，，∴，又∵PA＝PC，∴，，∴平面PMQ，平面PMQ，即：；（2）如圖，過點B作AC的平行線交MQ的延長線于點D，由（1）知：平面PMQ，∴平面PMD，平面PMD，，∠BDP＝90°，，，，，中，，DM＝BC＝1，，，由于平面PMQ，平面PAC，∴平面平面PAC，在中，，,點Q到平面PAC的距離，，因此AQ與平面PAC所成角的正弦值，即：直線AB與平面PAC所成角的正弦值為．20．2023年開始，浙江省將實行新高考改革，語、數(shù)、英三門科目與其他10省市都統(tǒng)一用全國試卷．為了了解學生對數(shù)學學科的學習情況，隨機調查了某校100位學生在一天中課外學習數(shù)學的時間（分鐘），并且分成了七組，第一組：，第二組：第七組：．由于某些原因，造成一些數(shù)據(jù)丟失，用字母a，b，c替換丟失的數(shù)據(jù)（如圖）．已知第二組和第六組的頻率相同，且前三組的頻率成等比，后三組的頻率成等差．(1)求樣本頻率分布直方圖中的a，b，c；(2)求樣本平均數(shù)；(3)根據(jù)統(tǒng)計，數(shù)學學科的優(yōu)秀率與課外學習數(shù)學的時間有關系，如下表．試根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計該校3000名學生中數(shù)學學科優(yōu)秀的人數(shù)．學習時間（分鐘）優(yōu)秀率10%20%30%50%(1)，，(2)(3)該校數(shù)學優(yōu)秀學生人數(shù)大約為585人【分析】（1）設第二組人數(shù)和第六組人數(shù)為x，第三組人數(shù)為y，根據(jù)直方圖中的頻率結合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質列方程組求解．（2）取各組數(shù)據(jù)中點值乘以相應頻率再相加可得；（3）結合直方圖中的頻率及各組優(yōu)秀率計算人數(shù)．【詳解】（1）第一組的人數(shù)：0.002×20×100＝4，第四組的人數(shù)：0.0155×20×100＝31，第七組的人數(shù)：0.001×20×100＝2，設第二組人數(shù)和第六組人數(shù)為x，第三組人數(shù)為y，前三組頻率成等比，得：①，后三組頻率成等差，得：后三組人數(shù)和為：3x，樣本容量為100，∴4＋x＋y＋31＋3x＝100②，由①②解得：x＝10，y＝25或x＝－26，y＝169（舍去），∴，第六組人數(shù)為18得：，．（2）樣本平均數(shù)．（3）估計該校數(shù)學優(yōu)秀學生人數(shù)．綜上可知：該校數(shù)學優(yōu)秀學生人數(shù)大約為585人．21．如圖，過點的直線l交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，點P是直線BO上的點，且軸．(1)當最小時，求直線l的方程；(2)若直線PC，PD分別與拋物線相切，切點是C，D，求證：C，M，D三點共線．(1)或(2)證明見解析【分析】(1)設,用兩點間的距離公式求出關系式，化簡就可以得出結果.(2)因為A，M，B三點共線，則,又P，O，B三點共線,，即可得到P點的坐標，寫出拋物線的兩條切線方程，驗證Ｃ，Ｄ兩點在直線ＣＤ上，而Ｍ也在直線ＣＤ上，則C，M，D三點共線．【詳解】（1）設，，當且僅當時，取得最小，此時．直線l的方程是：或（2）設，，，，∵A，M，B三點共線，得：，化簡得：ab＝－4，又P，O，B三點共線，，化簡得：t＝ab＝－4，∴，直線PC切拋物線于點，設直線PC的方程為聯(lián)立方程組，整理得：，因為直線與拋物線相切，則，即，整理得：，所以，因為在拋物線上，所以，所以，代入直線方程，得又因為，，代入得∴PC方程為：，同理：PD方程為：，PC，PD相交于點，∴，，即：，兩點均在直線ay＝x－4上，直線CD方程為：ay＝x－4，經過點，因此：C，M，D三點共線．22．已知函數(shù)（其中）．(1)當a＝1時，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)，恒成立，求實數(shù)a的取值的集合．(1)在區(qū)間和上是單調遞增函數(shù)(2)【分析】（1）求出的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的取值判斷函數(shù)的單調區(qū)間；（2）根據(jù)不等式要求分離參數(shù)a得或，通過導數(shù)分類討論在x不同區(qū)間下的最值，從而得出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）∵，化簡得：，設,，因此恒成立．∴在區(qū)間