控制工程基礎(chǔ) 第三章時(shí)間特性分析法課件

第三章時(shí)間特性分析法控制系統(tǒng)都是在時(shí)間域內(nèi)進(jìn)行工作的。因此，時(shí)間特性分析法是這些方法中最常用、又是比較精確的方法，它是通過拉普拉斯反變換求出系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，從而提供了時(shí)間響應(yīng)的全部信息；主要分析一階和二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，最后介紹高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)；系統(tǒng)的分析主要是分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)精度和瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)這三個(gè)方面。時(shí)間特性法是分析系統(tǒng)的方法之一，而分析的基礎(chǔ)，是確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。分析系統(tǒng)的方法，還有頻率特性法和根軌跡法。第一節(jié)時(shí)間響應(yīng)與典型輸入信號(hào)1、時(shí)間響應(yīng)的概念

控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下，輸出量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系稱為系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。描述系統(tǒng)的微分方程的解就是該系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。時(shí)間響應(yīng)可分為瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。1）、瞬態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)在某一輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)。2）、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

在某一輸入信號(hào)的作用后，時(shí)間趨于無窮大時(shí)系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。圖3-1表示某一系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的時(shí)間響應(yīng)的形式。二、典型輸入信號(hào)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性可以通過在輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)來評(píng)價(jià)的。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號(hào)的形式有關(guān)。選取輸入信號(hào)應(yīng)當(dāng)考慮以下幾個(gè)方面，輸入信號(hào)應(yīng)當(dāng)具有典型性，能夠反映系統(tǒng)工作的大部分實(shí)際情況，輸入信號(hào)的形式，應(yīng)當(dāng)盡可能簡(jiǎn)單，便于分析處理，輸入信號(hào)能使系統(tǒng)在最惡劣的情況下工作。在時(shí)域分析中，經(jīng)常采用的典型輸入信號(hào)有下面幾種，其中階躍信號(hào)使用得最為廣泛。1.階躍信號(hào)階躍信號(hào)如圖3-2(a)所示，其函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)R=1時(shí)，叫做單位階躍函數(shù)，記為1(t)。單位階躍函數(shù)的拉氏變換為在t=0處的階躍信號(hào)，相當(dāng)于一個(gè)數(shù)值為常值的信號(hào)，在t≥0突然加到系統(tǒng)上。2.斜坡信號(hào)（或速度信號(hào)）

斜坡信號(hào)如圖3-2(b)所示，其函數(shù)表達(dá)式斜坡函數(shù)的拉氏變換為當(dāng)R=1時(shí)，叫做單位斜坡函數(shù)。這種信號(hào)相當(dāng)于控制系統(tǒng)中加一個(gè)按恒速變化的信號(hào)，其速度為R。4.脈沖信號(hào)脈沖信號(hào)如圖3-2(d)所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為其中，脈沖寬度為h,脈沖面積為1。若對(duì)實(shí)際脈沖的寬度取趨于零的極限，則為理想單位脈沖函數(shù)，記為(t),評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的好壞，常以時(shí)間域的幾個(gè)特征量來表示的。由于實(shí)際的控制系統(tǒng)總具有儲(chǔ)能元件，所以當(dāng)系統(tǒng)受到輸入信號(hào)或擾動(dòng)信號(hào)的作用時(shí)，系統(tǒng)不可能立刻產(chǎn)生反應(yīng)，而表現(xiàn)出一定的瞬態(tài)響應(yīng)過程，這種瞬態(tài)響應(yīng)過程，往往以衰減振蕩的形式出現(xiàn)。為了評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的瞬態(tài)響應(yīng)特征，通常采用下列一些性能指標(biāo)。見圖3-3。1.延遲時(shí)間td響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間，叫延遲時(shí)間。2.上升時(shí)間tr響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，或從0上升到100%所需的時(shí)間都叫做上升時(shí)間。對(duì)于過阻尼系統(tǒng)（>1）,通常采用10%~90%的上升時(shí)間；對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)（0<<1）,通常采用0~100%的上升時(shí)間。3.峰值時(shí)間tp響應(yīng)曲線超過其穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間叫做峰值時(shí)間。4.最大超調(diào)量Mp和最大百分比超調(diào)量Mp%從1開始計(jì)算的響應(yīng)曲線的最大超調(diào)量值叫做最大超調(diào)量Mp。通常采用百分比表示最大超調(diào)量Mp%，定義為：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大差值與穩(wěn)態(tài)值之比的百分值，即5.調(diào)整時(shí)間ts在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)線上，用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)作一個(gè)允許誤差范圍，響應(yīng)曲線第一次達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所需要的時(shí)間，叫做調(diào)整時(shí)間。調(diào)整時(shí)間與控制系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)有關(guān)。允許誤差的百分比選多大，取決于設(shè)計(jì)要求，通常取±5%或±2%。調(diào)整時(shí)間是評(píng)價(jià)一個(gè)系統(tǒng)響應(yīng)速度快慢的指標(biāo)。其中，y(∞)代表階躍響應(yīng)的終值，即穩(wěn)態(tài)值。最大超調(diào)量Mp的數(shù)值，直接說明了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。對(duì)于一、二階系統(tǒng)，確定這些指標(biāo)是容易的，但對(duì)于高階系統(tǒng)則是困難的。在一定條件下，可以把高階系統(tǒng)近似作為低階（一般為二階）系統(tǒng)來研究。這樣，下面重點(diǎn)研究一、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)情況。第二節(jié)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(3-1)一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是慣性環(huán)節(jié)。這種系統(tǒng)可看作積分環(huán)節(jié)被反饋通道包圍而成，見圖3-4。給一階系統(tǒng)輸入階躍信號(hào)，根據(jù)式（3-1）進(jìn)行拉氏反變換，求出微分方程的解y(t)即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。單位階躍信號(hào)的拉氏變換為二.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

此式代入（3-1）式，可得輸出信號(hào)拉氏變換為(3-2)將（3-2）式展開成部分分式，可得(3-3)

1.在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值的63.2%的A點(diǎn)，并向時(shí)間軸t作垂線，與其交點(diǎn)值，即為時(shí)間常數(shù)T。2.由t=0那一點(diǎn)O（即原點(diǎn)）作響應(yīng)曲線的切線，與穩(wěn)態(tài)值交于A′點(diǎn)。由A′點(diǎn)向時(shí)間軸t作垂線，與其交點(diǎn)值即為時(shí)間常數(shù)T。此種方法可由下式得到證明。（3-5）當(dāng)t=3T時(shí)間時(shí)，響應(yīng)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%，當(dāng)t=4T時(shí)，達(dá)到98.2%。因而一階系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間ts=(3~4)T，以此來評(píng)定響應(yīng)時(shí)間的長(zhǎng)短。時(shí)間常數(shù)T可通過響應(yīng)曲線求得，可由下述兩種方法確定：(3-5)式即為斜率值，由OA′T即可知上述求時(shí)間常數(shù)的求法是正確的。三．一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為

代入（3-1）式，可得輸出信號(hào)拉氏變換為（3-6）展開成部分分式

（3-7）取（3-7）式的拉氏反變換，可得（3-8）四.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為這時(shí)式（3-2）為（3-10）取其拉氏反變換得（3-11）時(shí)間響應(yīng)曲線如圖3-7所示。除前面分析之外，還有兩點(diǎn)值得提出：

1.當(dāng)輸入信號(hào)不為單位值時(shí)，輸入信號(hào)的拉氏變換分別為：

階躍輸入

斜坡輸入

脈沖輸入

對(duì)應(yīng)于不同輸入時(shí)的響應(yīng)分別如下列各式階躍輸入

斜坡輸入

脈沖輸入

例3-1已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

因此，閉環(huán)傳遞函數(shù)仍為慣性環(huán)節(jié)，由（3-12）式可知

因此，單位階躍響應(yīng)表達(dá)式為

響應(yīng)曲線如圖3-8所示。例3-2兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為系統(tǒng)2

系統(tǒng)1試比較兩個(gè)系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。解：系統(tǒng)響應(yīng)的快慢主要指標(biāo)是調(diào)整時(shí)間的大小，一階系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間是由時(shí)間常數(shù)T決定的。系統(tǒng)1的時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)2的時(shí)間常數(shù)由于T1<T2，因此系統(tǒng)1的響應(yīng)速度快。達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，如以±2％來算，系統(tǒng)1的調(diào)整時(shí)間t1s=4T1=8(s),而系統(tǒng)2的調(diào)整時(shí)間為t2s=4T2=24(s)，因此系統(tǒng)1比系統(tǒng)2快3倍。例3-4已知控制系統(tǒng)的微分方程為試用Laplace變換法，求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)和單位階躍響應(yīng)h(t)，并討論二者的關(guān)系。解：由傳遞函數(shù)的定義和系統(tǒng)的微分方程，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為比較g(t)和h(t)，有或由此可以得出結(jié)論：系統(tǒng)對(duì)某種輸入（單位階躍）的導(dǎo)數(shù)（單位脈沖）的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入的響應(yīng)（h(t)）的導(dǎo)數(shù)（）；系統(tǒng)對(duì)某種輸入（單位脈沖）的積分（單位階躍）的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入的響應(yīng)（g(t)）的積分（）。對(duì)于任意線性系統(tǒng)而言，若一個(gè)輸入A是另一個(gè)輸入B的導(dǎo)函數(shù)，則輸入A所引起的輸出就是輸入B所引起輸出的導(dǎo)函數(shù)；同樣的，若一個(gè)輸入A是另一個(gè)輸入B的積分，則輸入A所引起的輸出就是輸入B所引起輸出的積分，但是，如果積分是不定積分，則還需要確定積分常數(shù)。一個(gè)系統(tǒng)能用二階微分方程描述或是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式s的最高冪次為2的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。無論哪一種物理形式的二階系統(tǒng)，最后傳遞函數(shù)都可以變?yōu)橄率龅臉?biāo)準(zhǔn)形式第三節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（3-12）式中為阻尼比、n為無阻尼自然頻率（rad/s）。二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)的性能完全由與n確定,因此，與n為二階系統(tǒng)的重要參量。當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，代入到（3-12）式，可得到二、二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)（3-13）對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，可得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。從式（3-12）可求得二階系統(tǒng)的特征方程（3-14）它的兩個(gè)根，即為二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)：

（3-15）對(duì)式（3-13）進(jìn)行分解得

下面分別對(duì)二階系統(tǒng)在=1，>1以及0<<1三種情況下的瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行討論，假設(shè)初始狀態(tài)為零。

(一)重根時(shí)，

=1，s1,2=-n臨界阻尼情況

（3-16）式變?yōu)椋?/p>

（3-16）（3-17）對(duì)上式進(jìn)行分部分式，可得對(duì)（3-18）式拉氏反變換，得到（3-18）（3-19）響應(yīng)曲線為一指數(shù)曲線形式。它單調(diào)上升、無超調(diào)、無振蕩、無穩(wěn)態(tài)誤差。(二)兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根時(shí)，

>1，過阻尼情況

(3-16)式可以寫成部分分式為

(3-20)求上式的拉氏反變換，得

(3-21)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量，響應(yīng)為指數(shù)函數(shù)曲線形式。單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時(shí)間長(zhǎng)，無穩(wěn)態(tài)誤差。（三）一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，0<<1，欠阻尼情況

由于<1，（3-12）式得，s1,2=-

n±jd

式中

，稱為阻尼自然頻率（rad／s）這時(shí)，采用部分分式法，式（3-10）變?yōu)?/p>

(3-22)上式的拉氏反變換為

(3-23)無穩(wěn)態(tài)誤差；呈現(xiàn)衰減振蕩過程，振蕩頻率是阻尼自然頻率d；其振幅衰減的快慢由

和n決定；振蕩幅值隨減小而加大。頻率n和d的物理意義：

n是無阻尼（=0）時(shí)二階系統(tǒng)等幅振蕩的振蕩頻率，因此稱為無阻尼自然頻率；而是欠阻尼（0<<1）時(shí)衰減振蕩的振蕩頻率，因此稱為阻尼自然頻率；Td=2/d稱為阻尼振蕩周期。顯然n

<d,且隨著的增大，d的值相應(yīng)地減小。y(t)=1-cosnt（t≥0）(3-24)s1,2=±jn，將=0代入式（3-15）可得（四）一對(duì)復(fù)根時(shí)，=0，零阻尼情況

二階系統(tǒng)在無阻尼時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)是等幅振蕩，振蕩頻率為n

。穩(wěn)定邊界（五）一對(duì)正實(shí)部虛根時(shí)，<0，負(fù)阻尼情況

極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定幾點(diǎn)結(jié)論：1、二階系統(tǒng)的阻尼比決定了其振蕩特性：<0時(shí)，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；=0時(shí)，出現(xiàn)等幅振蕩0<

<1時(shí)，有振蕩，愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快，

≥1時(shí)，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長(zhǎng)；2、一定時(shí)，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，→系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。3、工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用外，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時(shí)又不至于產(chǎn)生過大的振蕩三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（3-25）按前面分析單位階躍響應(yīng)的同樣方法，可以得到一個(gè)隨動(dòng)系統(tǒng)，其輸入端以一個(gè)連續(xù)等速信號(hào)給定時(shí)，其響應(yīng)就屬斜坡響應(yīng)。當(dāng)輸入單位斜坡信號(hào)時(shí)，（一）0<<1斜坡響應(yīng)為

（3-26）（三）>1斜坡響應(yīng)為

響應(yīng)曲線如圖3-11所示。（3-28）（二）

=1斜坡響應(yīng)為

(3-27)四.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入單位脈沖信號(hào)時(shí)，X(s)=1,（3-29）（一）0<<1脈沖響應(yīng)為

（3-30）（二）=1脈沖響應(yīng)為

(3-31)（三）>1脈沖響應(yīng)為

(3-32)響應(yīng)曲線如圖3-12。表3-1輸入信號(hào)幅值不為單位值時(shí)，響應(yīng)表達(dá)式表3-1輸入信號(hào)幅值不為單位值時(shí)，響應(yīng)表達(dá)式表3-1輸入信號(hào)幅值不為單位值時(shí)，響應(yīng)表達(dá)式五.二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)與極點(diǎn)的關(guān)系

前面分析可知，二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)形式與系統(tǒng)阻尼比關(guān)系極為密切，同時(shí)，又知道阻尼比取值不同，直接影響到二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。其關(guān)系見表3-2。而極點(diǎn)與響應(yīng)形式的關(guān)系可見表3-3。表3-2阻尼比與極點(diǎn)的關(guān)系表3-3極點(diǎn)與階躍響應(yīng)的關(guān)系若系統(tǒng)的所有特征根si（i=1，2，…，n）均具有負(fù)實(shí)部，即Re[si]<0，則其系統(tǒng)會(huì)趨于穩(wěn)定，這種系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)存在具有正實(shí)部的特征根si，即Re[si]>0，則其系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生振蕩，這種系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)有一個(gè)特征根的實(shí)部為0，而其余特征根的實(shí)部均為負(fù)數(shù)，系統(tǒng)最終會(huì)變成一等幅振蕩，這種系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。往往也將臨界穩(wěn)定系統(tǒng)看成不穩(wěn)定系統(tǒng)。

小結(jié)系統(tǒng)特征根的實(shí)部決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。若系統(tǒng)特征根的實(shí)部全部都小于0，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)特征根的實(shí)部不全小于0，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。若系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均分布在[s]平面的左半平面內(nèi)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)傳遞函數(shù)在[s]平面的右半平面內(nèi)存在極點(diǎn)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，實(shí)部Re[si]絕對(duì)值的大小決定了系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的快慢。Re[si]絕對(duì)值越大，則它所對(duì)應(yīng)的自由響應(yīng)項(xiàng)衰減得越快，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越短。系統(tǒng)特征根的虛部Im[si]的分布情況在很大程度上決定了系統(tǒng)自由響應(yīng)的振蕩情況，決定了系統(tǒng)的響應(yīng)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況，這影響著系統(tǒng)響應(yīng)的準(zhǔn)確性。通過上面對(duì)二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的研究，可以看出，系統(tǒng)的特征參量阻尼比和無阻尼自然頻率n對(duì)其瞬態(tài)響應(yīng)具有重要的影響。下面進(jìn)一步分析和n與瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)的關(guān)系，以便指出設(shè)計(jì)和調(diào)整二階系統(tǒng)的方向，除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的控制系統(tǒng)外，通常允許控制系統(tǒng)具有適度的振動(dòng)特性，以求能有較短的調(diào)整時(shí)間。因此，系統(tǒng)經(jīng)常工作在欠阻尼狀態(tài)。下面就二階系統(tǒng)，當(dāng)0<<1時(shí)，推導(dǎo)瞬態(tài)響應(yīng)各項(xiàng)特征指標(biāo)的計(jì)算公式。六.二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)計(jì)算1.上升時(shí)間tr

根據(jù)式（3-23），令y(t)=1，即可得上升時(shí)間tr，即（3-33）由于≠0，為使式（3-33）成立，必須即（3-34）式中在（3-34）中，角的意義，可見圖3-13。當(dāng)=0時(shí)，

=/2；當(dāng)=1時(shí)，

=0。由（3-34）可知，當(dāng)阻尼比一定時(shí)，若要求上升時(shí)間tr較短，需要使系統(tǒng)具有較高的無阻尼自然頻率n。

令上式為零，整理可得即d

tp=n(n=0，1，2，.......k)因?yàn)榉逯禃r(shí)間對(duì)應(yīng)于第一次峰值超調(diào)量，所以（3-35）因阻尼振蕩周期Td=2/d,故峰值時(shí)間tp等于阻尼振蕩頻率周期的一半。從式（3-35）可以看出，當(dāng)一定時(shí)，n越大，tp越小，反應(yīng)越快，當(dāng)n一定時(shí)，越小，tp也越小。2.峰值時(shí)間tp

根據(jù)（3-23）式，將y(t)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并令其等于零，可求得峰值時(shí)間tp即3.最大百分比超調(diào)量Mp%最大百分比超調(diào)量發(fā)生在峰值時(shí)間tp處，所以按定義由圖3-13可知上式表明，最大百分比超調(diào)量Mp%只是阻尼比的函數(shù)，而與無阻尼自然頻率n無關(guān)，越小，Mp%越大，當(dāng)=0時(shí)，Mp%=100%，而當(dāng)增大到=1時(shí)，Mp%=0。所以因此（3-36）Mp%與的關(guān)系常以曲線形式給出，見圖3-14。4.調(diào)整時(shí)間ts為確定調(diào)整時(shí)間ts簡(jiǎn)單起見,常用二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線代替響應(yīng)曲線。如圖3-15所示。曲線是該階躍響應(yīng)的包絡(luò)線。包絡(luò)線的時(shí)間常數(shù)為。瞬態(tài)響應(yīng)的衰減速度，取決于時(shí)間常數(shù)的數(shù)值。

若響應(yīng)曲線進(jìn)入到穩(wěn)態(tài)值的±5%的范圍時(shí)，由圖3-15可得解出n

ts，即為當(dāng)較小時(shí)，由上式得（3-37）如果響應(yīng)曲線進(jìn)入到穩(wěn)態(tài)值的±2%的范圍里，用同樣方法，可導(dǎo)出(3-38)由此可見，n大，ts就小；當(dāng)n一定時(shí)，ts與成反比。這與tp、tr和的關(guān)系正好相反。通常值是根據(jù)最大百分比超調(diào)量Mp%來確定，所以調(diào)整時(shí)間ts可以根據(jù)無阻尼自然頻率n來確定。這樣，在不改變最大百分比超調(diào)量Mp%的情況下，通過調(diào)整無阻尼自然頻率n，可以改變瞬態(tài)響應(yīng)的時(shí)間。5.振蕩周期Td及振蕩次數(shù)N或而振蕩次數(shù)為當(dāng)時(shí)將二階系統(tǒng)的特征參量、n與瞬態(tài)響應(yīng)各項(xiàng)指標(biāo)間的關(guān)系歸納如下：(1)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性由系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率n共同決定，欲使二階系統(tǒng)具有滿意的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)，必須綜合考慮和n的影響，選取合適的和n。當(dāng)時(shí)由上述分析計(jì)算可知，影響單位階躍響應(yīng)各項(xiàng)性能指標(biāo)的是二階系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率n這兩個(gè)重要參數(shù)。(2)若保持不變而增大n，對(duì)超調(diào)量Mp無影響，可以減小峰值時(shí)間tp、延遲時(shí)間td和調(diào)整時(shí)間ts，既可以提高系統(tǒng)的快速性。所以增大系統(tǒng)的無阻尼自然頻率n對(duì)提高系統(tǒng)性能是有利的。(3)若保持n不變而增大值，則會(huì)使最大百分比超調(diào)量Mp%減小，增加相對(duì)穩(wěn)定性，減弱系統(tǒng)的振蕩性能。在<0.7時(shí)，隨著的增大，Mp%減?。欢?gt;0.7時(shí)，隨著的增大，tr、ts均增大。系統(tǒng)的快速性變差。(4)綜合考慮系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性和快速性，通常取=0.4~0.8，這時(shí)系統(tǒng)的最大百分比超調(diào)量Mp%在25%到2.5%之間。若<0.4，系統(tǒng)超調(diào)嚴(yán)重，相對(duì)穩(wěn)定性差；若>0.8，則系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍，靈敏性差。當(dāng)=0.707時(shí)，超調(diào)量Mp%和調(diào)整時(shí)間均ts較小，故稱=0.707為最佳阻尼比。例3-4某一位置隨動(dòng)系統(tǒng)的方塊圖如圖3-16，當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，試計(jì)算k=200時(shí)的性能指標(biāo)，當(dāng)k減小到13.5或增大到1500時(shí),對(duì)系統(tǒng)有什么影響。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由上式當(dāng)k=1500時(shí),k=13.5時(shí)，按上面同樣的方法計(jì)算,其性能指標(biāo)如表3-4所示。表3-4k值改變時(shí)，二階位置隨動(dòng)系統(tǒng)性能指標(biāo)不同k值時(shí)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-17例3-5設(shè)單位反饋閉環(huán)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-18。試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。查閱圖3-14Mp%與關(guān)系曲線，可得解：由圖3-18可見由（3-35）式因?yàn)椋到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋時(shí)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例3-6如圖3-19(a)所示的一個(gè)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)。當(dāng)有2N的階躍輸入力作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)中的質(zhì)量塊m按圖3-19(b)的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，試根據(jù)這個(gè)響應(yīng)曲線，確定質(zhì)量m、粘性阻尼系數(shù)B與彈性剛度k值。解：此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)前面已經(jīng)推導(dǎo)過，即為由于所以

由此響應(yīng)曲線可得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：因此由圖3-19的響應(yīng)曲線得到由峰值時(shí)間得

所以又因?yàn)樗杂傻玫降谒墓?jié)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)求高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，意味著求解高階微分方程，其數(shù)學(xué)運(yùn)算是十分復(fù)雜的。如能抓住主要矛盾，忽略次要因素，就可以使問題大大簡(jiǎn)化。本節(jié)中，將通過對(duì)高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)一般形式的分析，建立閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，并利用這一概念對(duì)高階系統(tǒng)作近似處理。高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為n≥m（3-39）為確定系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)，將上式分子分母分解成因式形式，則上式變?yōu)椋?-40）高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)式中-z1、-z2.......-zm為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；-p1、-p2.......-pn為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。瞬態(tài)響應(yīng)分析的前提是系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，全部極點(diǎn)都在s平面的左半部。如果全部極點(diǎn)都不相同（實(shí)際系統(tǒng)通常是這樣的），對(duì)于單位階躍輸入信號(hào)，式（3-40）可以寫成（3-41）式中ai是極點(diǎn)s=-pi點(diǎn)的留數(shù)。若所有極點(diǎn)都是不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則有（3-42）如果Y(s)的n個(gè)極點(diǎn)中除包含有實(shí)數(shù)極點(diǎn)外，還包含成對(duì)的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)可以形成一個(gè)s的二次項(xiàng)，這樣式（3-41）可以寫成（3-43）（3-44）取上式的拉氏反變換，可以得到單位階躍響應(yīng)為（3-45）式中q+2r=n,如果閉環(huán)極點(diǎn)是互不相同的，可將上式展成下面的部分分式a,aj為Y(s)在極點(diǎn)s=0和s=-pj處的留數(shù)；bk、ck是與Y(s)在極點(diǎn)處的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。1、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。2、如果所有閉環(huán)極點(diǎn)都在s平面的左半平面，則隨著時(shí)間t→∞，y(∞)=a，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3、極點(diǎn)的性質(zhì)決定瞬態(tài)分量的類型實(shí)數(shù)極點(diǎn)→非周期瞬態(tài)分量共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)→阻尼振蕩瞬態(tài)分量極點(diǎn)距虛軸的距離決定了其所對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量衰減的快慢，距離越遠(yuǎn)衰減越快；（衰減系數(shù)pj、knk）1、系統(tǒng)零點(diǎn)影響各極點(diǎn)處的留數(shù)的大?。锤鱾€(gè)瞬態(tài)分量的相對(duì)強(qiáng)度），如果在某一極點(diǎn)附近存在零點(diǎn)，則其對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量的強(qiáng)度將變小。一對(duì)靠得很近的零點(diǎn)和極點(diǎn)其瞬態(tài)響應(yīng)分量可以忽略。系統(tǒng)零點(diǎn)分布對(duì)時(shí)域響應(yīng)的影響2、通常如果閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的距離比其模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)，則該極點(diǎn)和零點(diǎn)構(gòu)成一對(duì)偶極子，可以對(duì)消。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)在高階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)中，如果距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)，其周圍沒有零點(diǎn)，而且其他閉環(huán)極點(diǎn)與該極點(diǎn)的實(shí)部之比超過五倍以上，則這種極點(diǎn)稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。高階系統(tǒng)，如果能夠找到主導(dǎo)極點(diǎn)，就可以忽略其它遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)和偶極子的影響，近似為一階或二階系統(tǒng)進(jìn)行處理。例：精確解近似解三階系統(tǒng)→二階系統(tǒng)高階系統(tǒng)響應(yīng)曲線的一些例子示于圖3-20中。這些響應(yīng)曲線都是由一些振蕩曲線和負(fù)指數(shù)衰減曲線疊加而成。其穩(wěn)態(tài)項(xiàng)由輸入量X(s)的極點(diǎn)決定，而響應(yīng)曲線的類型和形狀，決定于閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)決定了響應(yīng)曲線的類型和衰減速度，閉環(huán)零點(diǎn)則影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線幅度的大小。第五節(jié)時(shí)間特性的計(jì)算機(jī)求解可以利用MATLAB語(yǔ)言求解系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，下面通過例題來說明計(jì)算機(jī)的編程。1.一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)求解系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)程序如下：....]....]例3-7求解一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：當(dāng)T=2時(shí)num=[1]；den=[21]；titple(‘StepResponse’)step(num,den)則響應(yīng)曲線為圖3-21的響應(yīng)曲線例3-8當(dāng)取不同的T值時(shí)，響應(yīng)程序和曲線為T=[2:2:12]；figure(1)holdonfort=Tnum=[1]；den=[t1]；step(num,den)endtitple(‘StepResponse’)holdoff圖3-22例3-8響應(yīng)曲線2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)典型二階系統(tǒng)為其單位階躍響應(yīng)的程序?yàn)?/p>

例3-9求的單位階躍響應(yīng)。程序和響應(yīng)曲線為num=[4]；den=[11.64]；titple(‘StepResponse’)step(num,den)圖3-23例3-9響應(yīng)曲線例3-10求典型二階系統(tǒng)為試?yán)L制出當(dāng)分別為0.1,0.2,......,1.0,2.0時(shí)的單位階躍響應(yīng)。解：MATLAB的程序?yàn)閣n=6;kosi=[0.1:0.1:1.0,2.0];figure(1)holdonforkos=kosinum=wn.^2;den=[1,2*kos*wn,wn^2];step(num,den)endtitle('StepResponse')holdoff

執(zhí)行后得如圖3-24所示的單位階躍響應(yīng)曲線圖3-24典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線3.其它輸入信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)(1)單位脈沖輸入的時(shí)間響應(yīng)....]....](2)單位斜坡輸入的時(shí)間響應(yīng)....]....]單位斜坡輸入的時(shí)間響應(yīng)是和單位階躍輸入的時(shí)間響應(yīng)程序在的項(xiàng)中在den=[]最后加一個(gè)“0”即可。其它如單位階躍輸入。4.高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和性能指標(biāo)計(jì)算例3-11已知一個(gè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制單位階躍響應(yīng)曲線并計(jì)算其性能指標(biāo)。對(duì)于高于二階的系統(tǒng)，求其響應(yīng)和性能指標(biāo)是較困難的。應(yīng)用MATLAB語(yǔ)言求解則較方便，下面舉例說明。解：程序如下：num=[63];den=[11-2