非圓齒輪的結(jié)構(gòu)設計

2橢圓齒輪的結(jié)構(gòu)設計橢圓的基本數(shù)學理論橢圓定義橢圓定義：平面到一定點距離與到一定直線距離之比為一個常數(shù)e(0<e<1)的動點M的軌跡稱為橢圓。的離心率。橢圓的方程如圖2.1所示，以原點為圓心，分別以為半徑作兩個圓，BOA與小圓的交點，過點A，垂足為BM，求當半徑OA繞O旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡的參數(shù)方程。圖2.1橢圓形成示意圖MxA為參數(shù)。那么??=????=????????，??=????=????????（2.1）??=??cos??（2.1）∴{??=??sin??以上（2.1）式即為橢圓的參數(shù)方程，其中??稱為“離心角”對（1）式進行消參??=cos??

??2{?? ???=sin????以上（2.2）式即為橢圓的標準方程。齒輪的基本理論齒輪傳動

+??2

??2

=1 （2.2）命長及傳動平穩(wěn)等特點。齒輪傳動特點：圓柱齒輪的傳動效率可達991%，也有很大的經(jīng)濟意義。機構(gòu)緊湊在同樣的使用條件下，齒輪傳動所需空間尺寸一般較小。工作十分可靠，壽命可長達一、二十年，這也是其他機械傳動所不能比擬的。圓柱齒輪結(jié)構(gòu)圓柱齒輪可分為直齒圓柱齒輪、斜齒圓柱齒輪、人字齒輪、曲線齒圓柱齒輪。如“人”輪簡稱曲線齒輪，其輪齒沿軸向彎曲成弧面。2.2圖2.2齒輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)z稱為齒槽；過所有齒頂端的園稱為齒頂圓，其半徑和直徑分別用和表示；過所有齒槽底邊的園稱為齒根圓，其半徑和直徑分別用????和????表示。在任意半徑????的圓周上，齒槽的弧線長和輪齒的弧線長分別稱為該圓上的齒槽寬和齒厚，分別用????和????表示。沿該圓上相鄰兩齒的同側(cè)齒廓見到弧線長稱為該圓上的齒距，用????表示，則有=+（2.3）由于該圓的周長為???????，同時又等于???????，所以得????=

???=?? ??? （2.4）??????式??

=????稱為該圓上的模數(shù)。由上面的式子可知，一個齒輪的不同圓周上的齒距是不同的，所以模數(shù)也是不同的。由于式子（2.4）中包含無理數(shù)mm。在齒輪上，這個模數(shù)等于選rdep（3（）顯然有??=pπ

（2.5）??=s+??=???π （2.6）??=?????=???z （2.7）πα表示，且有b?? =???cosα （2.8）b式表明，當齒輪的模數(shù)mz一經(jīng)確定，分度圓的大小也就確的大小可以不同，基圓的大小也隨之不同，因此分度圓相同的齒力角為20°。此外，為了提高齒輪的綜合強度而需要增大壓力角時，推薦采用25°20°15°14.5°有一個大小確定的分度圓；而節(jié)圓則是表示一對齒輪嚙合特性的圓。對于單個齒（可分性）??表示；介于分度圓與齒根圓之間的部分稱為齒根，其??用h表示，故有:= a+ f （2.9）標準齒輪具有以下三個特征：m取標準值。具有標準的齒頂高和齒根高。其中標準齒頂高和齒根高表示為：aa= ?a

??? （2.10）af=( ?+???)??? （2.11）a????上式中， ?和???分別稱為齒頂高系數(shù)和頂隙系數(shù)。我國規(guī)定 ?和???的標????準值為:

a正常齒制： a

=1

=0.25a短齒制： ?a

=0.8

=0.3??顯然，當 ?和???分別取標準值時，按照式（2.10）和（2.11）計算得到的齒頂高和齒根高為標準齒頂高和標準齒根高。??（3）分度圓上齒厚等于齒寬，即??=??=??=?????2 2只有同時具備上述三個特征的齒輪才是標準齒輪，否則為非標齒輪。但是需要強調(diào)的是對于任何齒輪，式（2.5）～（2.11）齒輪的齒頂圓直徑和齒根圓直徑分別為：aa{ ?? =??+2 a=+2 ?)aa

（2.12）af??=???2 f=?2 ??2???)af綜上所述，標準齒輪的幾何參數(shù)決定于模數(shù)m、壓力角??、齒數(shù)z、齒頂高??系數(shù) ?和齒根高系數(shù)???，故這五個參數(shù)為標準齒輪的基本參數(shù)。??1、圓的漸開線的定義2.3n-nKAKn-nAK的展角。2、漸開線的性質(zhì)

圖2.3漸開線形成原理圖因為發(fā)生線在基圓上作純滾動，所以發(fā)生線在基圓上滾過的一段長度等于基圓上被滾過的一段弧長，即。等于基圓上被滾過的一段弧長，即。NKNK基圓越小，漸開線越彎曲；基圓越大，漸開線越平直。3、漸開線方程根據(jù)漸開線的形成原理可以得出它的方程式。2.3A為漸開線在基圓上的起始點，K為漸開線上任意一點，其向徑用KNKOKmmNKmm。根據(jù)漸開線的性質(zhì)，由ΔOKN中的關系可得=?? (2.13)=k cos又因為— ⌒ ??— tan????=????=????— ????即

??(????+????)=????+??????????????=tan?????????上式表明，展角????隨壓力角????變化而變化，故????又稱為角????的漸開線函數(shù)，工程上用inv????表示????，即?(2.14)為了方便計算，工程中已將不同壓力角的漸開線函數(shù)invαk計算出來列成表格。綜上所述，聯(lián)立（3（4）兩式即得漸開線的極坐標參數(shù)方程式為?? ={ k??

??b（2.15）cos????（2.15）橢圓齒輪基本理論1、基本概念

??=inv????=tan?????????節(jié)曲線是一對互相嚙合的齒輪在其嚙合過程中實現(xiàn)無滑動地滾動的共扼曲線。知道一個齒輪的節(jié)曲線后，便可根據(jù)共軛關系，求出另外一個共扼齒輪的節(jié)曲線齒輪的齒頂和齒根輪廓線是其節(jié)曲線的等距線（在法線方向上等距。在切的關系叫做位置函數(shù)。用下式表示=（2.16）其中下腳標1和2分別對應于主動輪和從動輪。傳動比一主動輪回轉(zhuǎn)角的函數(shù)形式確定的齒輪瞬時角速度比為==(????2)?(????1)=（2.17）???? ????無論其運動規(guī)律在時間上怎樣改變，都不會影響位置函數(shù)和傳動比函數(shù)的特性。2、節(jié)曲線的方程式節(jié)曲線的計算可以分為兩種情況：（1）按給定的傳動比函數(shù)=計算齒輪的節(jié)曲線。設齒輪副的中（411，瞬時角速度為12為，瞬時角速度為。在起始位置==。又設要求齒輪副傳遞的轉(zhuǎn)角函數(shù)關系為=（2.18）則齒輪副的傳動比函數(shù)??12為=ω1=(d??1)?(d??2)=（2.19）ω2 dt dt??(??1

)=1???′(??1

) （2.20）圖2.4外嚙合非圓齒輪副可以證明，兩齒輪在任一瞬時，總有一個相對運動速度等于零的點P，稱之為瞬時傳動節(jié)點(簡稱瞬心)。它位于聯(lián)心線O1O2上，且滿足條件??1???1??=??2???2??分別用??1、??2表示線段??1??、??2??，則瞬時傳動比又可以表示為：??12=??1=??2=

（2.21）

??1當瞬時傳動比P的位置及1、2回轉(zhuǎn)平面上的軌跡，稱為兩齒輪的瞬心線，也就是齒輪的節(jié)曲線。由式（2.21）可得主動輪1的節(jié)曲線方程為??1(??1)=得到從動輪2的節(jié)曲線方程為

?? 1+??12

??1+??(??1)

（2.22）??2=?????1(??1)=

????12} （2.23）??2=

0

1??12

=∫??10

1??(??1)

????1上面是以極坐標形式表示的外嚙合非圓齒輪副節(jié)曲線方程。按此式計算節(jié)曲線時，兩極角的計量方向與相應的回轉(zhuǎn)角速度方向相反(見圖2.4)。如果給定的條件是齒輪1的節(jié)曲線方程：??1=??1(??1)則傳動比函數(shù)為??12=??(??1)=從動輪2的節(jié)曲線方程為

（2.24）??1(??1)??2=?????1(??1)21?? =210

1??12

???? =101

??1(??1)

????} （2.25）2（5，則回轉(zhuǎn)角的方向相同。圖2.5嚙合非圓齒輪副用同樣的方法可以求得主、從動輪的節(jié)曲線方程??1=

?? ??12?1

????(??1)?1

（2.26）??2=??+??1(??1)=

????12} （2.27）2?? =20

1??12

???? =??1(??1)10 1

????1(2)按要求再現(xiàn)的函數(shù)計算節(jié)曲線設要求非圓齒輪傳動再現(xiàn)某個函數(shù) ??=??(??)，x在閉[x1，x2]連續(xù)可導?？闪钪鲃虞?的轉(zhuǎn)角??1與自變量x成正比，從動輪2的轉(zhuǎn)角與??(??)成正比，即寫成?? =??1(?????1) } （2.28）則傳動比為

2=??2[??(??)???(??1)]?? =????2

（2.29）??2??′(??)上面兩式中的、是函數(shù)x的一階導數(shù)。由式2、式（3、式（8）及式（9，可以得到外嚙合主動、從動輪1和2的節(jié)曲線方程式分別為??1=??1(?????1)??1=

} （2.30）??1+??2??′(??)=?=???=

} （2.31）??1+??2??′(??)1Pt11的正方向夾角用??1表示(圖2.4)，則由節(jié)曲線方程??1=??1(??1)可知tan??1=

（2.32）????1?????1對于傳遞傳動比函數(shù)2=(1（2）可得??′tan??1=???12+1??′12對于再現(xiàn)函數(shù)??=??(??)的非圓齒輪副，由式（2.30）可得

（2.33）tan??1

=??′′(??)

（2.34）2的節(jié)曲線在P22正方向夾角用??2表示，則由節(jié)曲線方程??2=??2(??2)可知tan??2=

（2.35）????2?????2由式（2.23）和式（2.31）均可得到tan??1=?tan??2，即??1+??2=180°這也證明了兩齒輪的曲線在P動過程中是作純滾動的，在同一時間，兩節(jié)曲線切點滾過的弧長相等。橢圓齒輪副橢圓齒輪是非圓齒輪中最常用的一種。當用相同的橢圓齒輪傳動時，隨著橢圓偏心率的不同，可得到不同的傳動比變化曲線。以完成各種機構(gòu)的變速傳動，或作為速度和加速度調(diào)節(jié)之用。rr1r21 2O1eO2122a圖2.6橢圓齒輪副2.6所示，齒輪121的基礎圓的半徑為、向徑、變形距為e(也可以稱為偏心量)，非圓齒輪2的向徑為r212過??2角。橢圓齒輪的節(jié)曲線方程式為：式中向徑的極角；

??1

= 1+??cos

（2.36）e——橢圓的對稱中心到焦點的距離；b——橢圓的短半軸??1+??2=2??即：??2

=a(1+2ecos 1+??cos 1

（2.37）橢圓齒輪傳動比函數(shù)為：

12

=2??cos1???2

（2.38）圖2.7傳動角變化曲線由上式可知：當=時，傳動比有最大值，??21max

1+??，當1?????1=180°時，傳動比有最小值，??2min=1???，傳動比隨主動輪傳動角θ1化規(guī)律如圖2.7所示。2max122max

與最小角速度??度2min

之比為:??≤1/3由此可見，橢圓齒輪的離心率e越大，τ值也越大，則傳動比的變化也劇烈。在一般的設計中，常取 τ≤1/3，可使運動平滑無突跳。若主動齒輪以等角速度回轉(zhuǎn)且為已知時則很容易求得從動輪的瞬時角速度????2

=

1???2

（2.39）????

11+2??????????1+??2當??1=0時，從動輪的瞬時角速度最小????2(min)=??1?????

（2.40）???? 當=時，從動齒輪的瞬時角速度最大(max)=

（2.41）???? 最大角速度和最小角速度交替出現(xiàn)，設K為最大和最小角速度之比，則：??=(??+??)2?????

（2.42）通常取k≤5,就可保證構(gòu)件運動平滑而無“跳動”。設計橢圓齒輪時，通常根據(jù)機器的結(jié)構(gòu)特點選取中心距A＝2a,在滿足某一速比K時，則短半軸可由下式求出：??=

（2.43）在大多數(shù)情況下，K值不超過4。這樣的橢圓齒輪節(jié)曲線形狀不會太扁平，其周長近似于(??+。因此橢圓齒輪的齒數(shù)等于直徑為(a的圓齒輪齒數(shù)：??=（2.44）??式中m——齒輪的模數(shù)數(shù)倍齒距，即??=。橢圓齒輪的結(jié)構(gòu)設計結(jié)構(gòu)設計由包裝機原技術參數(shù)如下，每次包裝機刀輥需切削的透明紙長度為169.3mm，包裝速度為800包/min，即刀輥轉(zhuǎn)速??1=800??/??????則透明紙輸送速度為??輸送產(chǎn)品正常工作時要求??裁切

=169.3×800=135440????/??????≥??輸送原機型采用圓柱齒輪，則1?? =?????? ≥135440 則??≥135440=53.89mm1裁切 被安裝在很小的斜面，可按最高速度計算??1=800mm/min1?????2=imax×??1=1+??×??1?????=????橢圓齒輪傳動的最大和最小角速度之比為K，且)??=(??+??2)?????若選取不同的K值來分析他對刀輥上的切刀旋轉(zhuǎn)直徑的影響，即如表2.1所示[4]。表2.1K值分析表KKeD（mm）20.171573≥38.106130.267949≥31.113440.333333≥26.945050.381966≥24.100360.420204≥22.0005實踐證明，當??≤時，橢圓齒輪節(jié)曲線形狀不太扁平，可以保證機構(gòu)運動平滑而無“跳動”，使傳動平穩(wěn)，故在大多數(shù)情況下，取??≤度、剛度的情況下，應盡可能減小刀輥直徑,這樣可大幅減小轉(zhuǎn)動慣量，減小機輪的優(yōu)越性,故選取??=。由于原結(jié)構(gòu)上圓齒輪副的中心距為 56mm，所以橢圓齒輪的長軸??=28mm根據(jù)齒輪強度需要，我們選取模數(shù)m=2。在設計橢圓齒輪時，要準確地計算橢圓節(jié)曲線的全長L，使其相等或成整數(shù)倍齒距，即4L=4a∫π√1?ε2sin240

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