固體物理答案

3.1已知一維單原子鏈，其中第j個格波，在第n個格點引起的位移nj為：njajsin(jtnaqjj)j為任意相位因子。并已知在較高溫度下每個格波的平均能量為j為任意相位因子。并已知在較高溫度下每個格波的平均能量為KbT。具體計算每個原子的平方平均位移。解：(1)Tsin2(jtnaqjj)dt其中t2—為振動周期,所以2j2.2,,ajsin(jtnaqjj解：(1)Tsin2(jtnaqjj)dt其中t2—為振動周期,所以2j2.2,,ajsin(jtnaqjj(2)第j個格波的平均動能1222~—~-ma,jcos(jt2nnaqjj)1—ma4(3)經(jīng)典的簡諧運動有:每個格波的平均動能=平均勢能=1,,-格波平均能量=22kBt1ma22N4jj2kbt振幅a22kBT~-BT，所以Nmj2

nj國Nm而每個原子的平方平均位移為:(nj)22

nj12-aj

2jkBT2°jNmj3.2討論N3.2討論N個原胞的一維雙原子鏈時與一維單原子鏈一一對應。(相鄰原子間距為a),其2N個格波的解。當mM解：(1)一維雙原子鏈:2a聲學波：2mM

mM4mM,2；sinaq解：(1)一維雙原子鏈:2a聲學波：2mM

mM4mM,2；sinaq(mM)2當mM時,2—(1

mcosaq)—sin2

maq

2光學波：2mM/1mM4mM(mM)2sin2aq當mM時，有2242aq(1cosaq)——cos一mm224-2aq——sin一(2)一維雙原子鏈在mM(2)一維雙原子鏈在mM時的解242aq2a2a——cos一m2與一維單原子鏈的解24—$訪2四-q-m2aa是對應的。3.53.5已知NaCl晶體平均每對離子的相互作用能為：u(r)2u(r)2q_nrr其中馬德隆常數(shù)a1.75,n9其中馬德隆常數(shù)a1.75,n9,平衡離子間距r02.82?。(1)試求離子在平衡位置附近的振動頻率。(2)計算與該頻率相當?shù)碾姶挪ǖ牟ㄩL，并與(2)計算與該頻率相當?shù)碾姶挪ǖ牟ㄩL，并與NaCl紅外吸收頻率的測量只值61進行比較。解：(1)處理小振動問題，一般可采用簡諧近似，在平衡位置附近，可將互作用能展開至偏rr0的二次方項。U(r0)U(r0)U(r021U(r0)U(r0)U(r0212U(r0)2220(4)(1)其中U(r0)0為平衡條件。0由r0已知可確定2q2qnr0n(2)根據(jù)(1)式，離子偏離平衡位置所受的恢復力為:U(r02U(r02根據(jù)(1)式，離子偏離平衡位置所受的恢復力為:U(r02U(r02故恢復力常數(shù)為2U(r)2r「0n3r0對于離子晶體的長光學波,(0)2mM

mM2(mM)(n1)q23mMr0(5)將Na的原子質量m231.661024g,Cl的原子質量M35.51.661024g，基本電荷電量q4.8031010esu代入上式，得(0)1.111410Hz(2)相對應的電磁波波長為23.142.998108141.1110(0)2mM

mM2(mM)(n1)q23mMr0(5)將Na的原子質量m231.661024g,Cl的原子質量M35.51.661024g，基本電荷電量q4.8031010esu代入上式，得(0)1.111410Hz(2)相對應的電磁波波長為23.142.998108141.111017106m17m(6)對應與遠紅外波，與NaCl紅外吸收頻率測量值在同一數(shù)量級。［注：如采用國際單位制進行計算，因在(2)式前乘一因子1k8.99109牛頓米2/庫侖403.6求出一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)()。解：一維單原子鏈的色散關系為:242aq——sin一.二aqsin一其中4mmsinaq

2aqcos2dq振動模式的數(shù)目：dnNa2dqNa2aqcos22N,d22m2N所以g()所以g()3.7設三維晶格的光學振動在q0附近的長波極限有:

2(q)0Aq求…率分…為g()看白(0J0、一…(，、A2證明：由(q)0Aq,得q(q)2Aq。Vdsg()二Vdsg()二32平面V4q2-I3二(2)2AqVq42AV3「A2(故……為g()F看0I%03.8有N個相同原子組成面積為S的二維晶格，在德拜近似下，計算比熱，并討論在低溫極限比熱正比于T2。r解：(1)q空間的狀態(tài)密度為r每個q對應一個縱波,r每個q對應一個橫波,所以d范圍的狀態(tài)數(shù)應包括縱波和橫波的狀態(tài)數(shù):g(dlqj(q)S所以d范圍的狀態(tài)數(shù)應包括縱波和橫波的狀態(tài)數(shù):g(dlqj(q)S(2)22q

cp其中-2c22Cp由于晶格振動模數(shù)有限,則晶格振動最高頻率由由于晶格振動模數(shù)有限,則晶格振動最高頻率由2Nm0g2Nm0g()dmS^2d0C22c決定。由此得c—決定。由此得c—。比熱CvkBh(L)%曾比熱CvkBh(L)%曾kBTg()d(ek71)2h(kBT)2ekBTB0二(ekBT1)2S^2d2ckBTT2kBTT2Cv4NkB(一)2D3xxe」———2dx。(ex1)2(2)在低溫極限T0,T2T2Cv4NkB(一)2Dxei、2-2/x八2dx24NkB(——)T，(e1)D與三維情況下的德拜T3律相對應。10設晶體中每個振子的零點震動能1h，試用德拜模型求晶體的零點振動能。2解：根據(jù)德拜理論，cq,可得晶格頻率分布函數(shù)為g()3V2g()3V22c3存在m,在m范圍的振動都可用彈性波近似,m則根據(jù)自由度確定如下:3Vm2TOC\o"1-5"\h\zg()d2"V02d3N。-2N13或mC6(.)。因此固體總的零點振動能為m19?E00-hg()d-Nhm°281.510N/m(即3.11一維復式格子m51.671024g,M1.510N/m(即，一4,,、,1.510dyn/cm),求：(1)光學波聲學波Amax(1)光學波聲學波Amaxo(2)相應聲子能量是多少電子伏特。(3)在300K時的平均聲子數(shù)。與Oax相對應的電磁波在什么波段。解：(1)(2)1013Hzh1.0551034Js(1.0551.602)1015evsOmaxOmaxOminOmax4.41102ev3.94102ev21.9710ev(3)在T300