根軌跡分析法修改版

華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院《自動(dòng)控制原理》電子課件

版本2.0

2011年6月主編修改版

根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!第五章根軌跡分析法

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2011年6月主編修改版制作:羅家祥審校:胥布工華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!第五章根軌跡分析法5.1引言5.2根軌跡的基本概念5.3繪制根軌跡的一般方法5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用5.5開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響5.6利用MATLAB分析控制系統(tǒng)的根軌跡5.7小結(jié)根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!5.1引言根軌跡方程繪制(10個(gè)規(guī)則)根軌跡擴(kuò)展應(yīng)用根軌跡開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響分析改變開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)，提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)或動(dòng)態(tài)性能本章知識(shí)體系MATLAB繪制根軌跡圖根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!5.2根軌跡的基本概念5.2.1根軌跡圖

根軌跡的研究是在一個(gè)復(fù)平面（簡(jiǎn)稱(chēng)s平面）上展開(kāi)的，這時(shí)的復(fù)平面就叫根平面。當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的某一參數(shù)從0變化到無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征根在根平面上變化的軌跡就稱(chēng)為根軌跡。根平面加上根軌跡就叫根軌跡圖。

根軌跡常用于研究開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)增益變化對(duì)系統(tǒng)的影響，因此，從0變化到無(wú)窮的某個(gè)參數(shù)通常是指與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)放大系數(shù)K成正比的一個(gè)參數(shù)Kg，一般稱(chēng)為根軌跡增益。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!5.2根軌跡的基本概念例5-1根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!5.2根軌跡的基本概念5.2.2根軌跡方程根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!5.2根軌跡的基本概念注意事項(xiàng)：幅值條件僅是根軌跡應(yīng)滿(mǎn)足的必要條件，因?yàn)榉颠€取決于Kg的大小。在根軌跡上的點(diǎn)都滿(mǎn)足幅值條件，而s平面上滿(mǎn)足幅值條件的點(diǎn)未必在根軌跡上。相角條件是根軌跡應(yīng)滿(mǎn)足的充要條件，因?yàn)橄嘟谴笮∨cKg的大小無(wú)關(guān)。在根軌跡上的點(diǎn)都滿(mǎn)足相角條件，而s平面上滿(mǎn)足相角條件的點(diǎn)一定在根軌跡上。由于繪制根軌跡的目的是通過(guò)圖上向量計(jì)算來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)的性能分析，因此s平面的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)必須采用相同的比例尺。通常，直接利用幅值條件和相角條件繪制系統(tǒng)的根軌跡很復(fù)雜，可以嘗試先畫(huà)出近似的根軌跡曲線，進(jìn)行初步分析后，再細(xì)化和修正用計(jì)算機(jī)求解或者繪制出精確的根軌跡。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則4根軌跡起點(diǎn)與終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)(Kg=0時(shí))：位于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)處。根軌跡的終點(diǎn)(Kg=∞時(shí)：止于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)(包括m個(gè)有限零點(diǎn)和n-m個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn))。規(guī)則3根軌跡的對(duì)稱(chēng)性實(shí)系數(shù)特征方程的根必為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù),必對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法（2）漸近線在實(shí)軸上交點(diǎn)故推得n-m個(gè)漸近線與實(shí)軸的夾角為（1）漸近線與實(shí)軸的夾角根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!例5-2已知三階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試在平面上確定系統(tǒng)根軌跡的漸近線。解：系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn)，而有三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：-p1=0，-p2=-3和-p3=-4，因此有n-m=3條根軌跡分支趨向無(wú)窮遠(yuǎn)。漸近線在實(shí)軸上交點(diǎn)的交點(diǎn)為和n-m=3個(gè)漸近線與實(shí)軸的夾角為5.3繪制根軌跡的一般方法根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法例5-3考慮例5-2中的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)規(guī)則5可知，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡在實(shí)軸上的區(qū)間為（-,-4]和[-3,0]，顯然，點(diǎn)s1=-3.5352在實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間之外，故根軌跡分離點(diǎn)必位于點(diǎn)s2=-1.1315處。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則8根軌跡與虛軸的交點(diǎn)方法2：根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法例5-5已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法2)圓弧根軌跡當(dāng)系統(tǒng)僅具有兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)時(shí)，則在實(shí)軸外的根軌跡必然是沿著圓弧移動(dòng)。例5-6考慮系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法分離角為直角。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法5.3.2

參數(shù)根軌跡的繪制

繪制參數(shù)根軌跡的一般步驟為：（1）寫(xiě)出原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程。（2）以特征方程式中不含參數(shù)的各項(xiàng)除特征方程，求得等效系統(tǒng)的根軌跡方程，此時(shí)，等效系統(tǒng)的根軌跡增益即為原系統(tǒng)的參量。（3）繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即得原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。關(guān)鍵：等效單回路系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。依照繪制Kg變化時(shí)的根軌跡繪制法則繪制參量根軌跡。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法繪制根軌跡的七個(gè)步驟如下：（1）由n=2知，根軌跡的分支數(shù)為兩條，起點(diǎn)為：-p1=j4和-p2=-j4，而終點(diǎn)分別為：-z1=0和無(wú)窮遠(yuǎn)處。（2）實(shí)軸上根軌跡的存在區(qū)間(-,0]。（3）由n-m=1知，根軌跡有一條漸近線，其與實(shí)軸的夾角為

而與實(shí)軸的交點(diǎn)為（4）實(shí)軸上-z1=0與無(wú)窮遠(yuǎn)處之間必有一個(gè)會(huì)合點(diǎn)，計(jì)算公式為

解得s=4，因s=4不在根軌跡上，故會(huì)合點(diǎn)必位于s=-4處。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法當(dāng)K取不同值時(shí)，方法一致，如圖5-16。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用局部閉環(huán)全系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用5.4.2延遲系統(tǒng)的根軌跡根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用繪制延遲系統(tǒng)的根軌跡步驟如下:(1)根軌跡有無(wú)窮多條。起點(diǎn)：實(shí)軸上的一個(gè)起點(diǎn)位于極點(diǎn)-2處；

=-滿(mǎn)足幅值條件，無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)；終點(diǎn)：=+滿(mǎn)足幅值條件，無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)；有起始于無(wú)窮遠(yuǎn)極點(diǎn)和趨于無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)的根軌跡的漸近線均為水平線，無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)與虛軸的交點(diǎn)為根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用（5）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可由關(guān)系式（6）k取不同數(shù)值時(shí)候的根軌跡作圖方法與k=0類(lèi)似，圖5-22為k=0，1，2時(shí)相對(duì)完整的根軌跡。k1時(shí)，根軌跡起始于無(wú)窮而終止于無(wú)窮。k=0時(shí)，為主根軌跡，起主導(dǎo)作用。由于延遲，保證系統(tǒng)穩(wěn)定Kg值不能取得太大，本例Kg應(yīng)小于3.04。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用規(guī)則5

由于相角條件的改變，計(jì)算離開(kāi)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-pq

的出射角公式變?yōu)槎?jì)算進(jìn)入開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-zq的入射角公式為規(guī)則6

根軌跡與虛軸交點(diǎn)的計(jì)算方法同180度根軌跡。規(guī)則7

根軌跡的走向和其他性質(zhì)，可按180度根軌跡類(lèi)似推得。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用5)三條根軌跡都沿著漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!5.5開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響

增加開(kāi)環(huán)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)-zi就相當(dāng)于增加一個(gè)以1/zi為時(shí)間常數(shù)的微分環(huán)節(jié)

1+ds其中，微分時(shí)間常數(shù)為d=1/zi。零點(diǎn)距虛軸越近，微分作用越強(qiáng)，對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響越顯著。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!5.5開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響5.5.2開(kāi)環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響p1>p2>p3>

根軌跡向右移，且極點(diǎn)離虛軸越近，根軌跡向右偏移的程度越大；增加開(kāi)環(huán)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)-pl就相當(dāng)于增加以1/pl為時(shí)間常數(shù)的一個(gè)慣性環(huán)節(jié)

1/(Ts+1)其中，慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)為T(mén)=1/pl。極點(diǎn)離虛軸越近，慣性就越大，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性不利。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!5.5開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響5.5.3開(kāi)環(huán)偶極子對(duì)根軌跡的影響開(kāi)環(huán)偶極子：是指開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中一對(duì)互相非常接近（和其他零極點(diǎn)相比）的零點(diǎn)和極點(diǎn)。開(kāi)環(huán)偶極子對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響可歸納為以下兩點(diǎn)：1）不影響距離它們較遠(yuǎn)的根軌跡形狀及根軌跡增益Kg；

原因：開(kāi)環(huán)偶極子與遠(yuǎn)處根軌跡某點(diǎn)形成的向量基本相等,它們?cè)诜禇l件及相角條件中可以相互抵消。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!5.6利用MATLAB分析控制系統(tǒng)的根軌跡5.6.1繪制根軌跡與求取根軌跡增益關(guān)鍵語(yǔ)句：rlocus(num，den)或rlocus(num,den,k)[k，poles]=rlocfind(num,den)例5-12單位負(fù)反饋開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制根軌跡圖，試求在根軌跡上點(diǎn)(-1,0)處的坐標(biāo)值和所對(duì)應(yīng)的根軌跡增益值命令窗口輸入內(nèi)容見(jiàn)166頁(yè)。鼠標(biāo)移動(dòng)獲取軌跡上的坐標(biāo)值增益。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁(yè)!5.7小結(jié)（1）根軌跡的基本概念所謂的根軌跡，就是當(dāng)控制系統(tǒng)中某參數(shù)由零趨向于無(wú)窮大變化時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡。根軌跡方程是系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的變形，由其導(dǎo)出的幅值條件和相角條件也分別稱(chēng)為根軌跡的幅值方程和相角方程。相角方程是決定根軌跡的充分必要條件，可依據(jù)其來(lái)繪制控制系統(tǒng)的根軌跡，幅值方程可用來(lái)確定根軌跡上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益值。

（2）繪制根軌跡的一般方法基于繪制根軌跡的十條規(guī)則，可迅速描繪出根軌跡的大致圖形。本章也介紹了用MATLAB繪制根軌跡的方法。（3）根軌跡的擴(kuò)展應(yīng)用多回路根軌跡、延遲系統(tǒng)根軌跡以及0度根軌跡的繪制方法。（4）開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)以及開(kāi)環(huán)偶極子對(duì)根軌跡的影響在控制系統(tǒng)中適當(dāng)增加一些開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)，可以改變根軌跡的形狀，從而達(dá)到改善系統(tǒng)性能的目的。一般情況下，增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)可使根軌跡左移，有利于改善系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性和暫態(tài)性能；如果增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，則根軌跡右移，不利于系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性以及瞬態(tài)性能；如果在原點(diǎn)附近加入一對(duì)開(kāi)環(huán)偶極子，則可增加開(kāi)環(huán)增益從而顯著地改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁(yè)!5.1引言系統(tǒng)特征方程的根在復(fù)平面上的分布位置與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能是密切相關(guān)的。閉環(huán)控制系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于其特征方程的根是否位于復(fù)平面的左半平面內(nèi)，而閉環(huán)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能取決于系統(tǒng)特征方程的根在復(fù)平面左半平面上的分布。對(duì)于高階系統(tǒng)，為了避免解析法求解所有特征根的繁瑣性，1948年伊萬(wàn)斯（W.R.Evans）創(chuàng)立了一種通過(guò)改變系統(tǒng)的一個(gè)參數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)特征方程根的位置變化的方法，并給出了繪制系統(tǒng)特征根變化軌跡的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為根軌跡法。根軌跡法是一種分析線性控制系統(tǒng)的圖解方法，具有直觀和簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn)，并且是一種通用方法，可以繪制任意線性多項(xiàng)式關(guān)于任何參數(shù)的根軌跡，這樣不需要用解析法求特征方程的根也能夠在根軌跡圖上分析改變系統(tǒng)的參數(shù)對(duì)其動(dòng)態(tài)性能的影響。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁(yè)!5.2根軌跡的基本概念5.2.1根軌跡圖考慮開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為式（5-2）意味著與之間的關(guān)系與零值的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)無(wú)關(guān)，同理也與零值的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)無(wú)關(guān)。由式（5-1）得與之間的關(guān)系為根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁(yè)!5.2根軌跡的基本概念Kg>0，系統(tǒng)閉環(huán)特征根始終在根平面的左半部，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。0<Kg<4，兩個(gè)互不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)上升的非周期過(guò)程。Kg=4，兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)上升的非周期過(guò)程。Kg>4，兩個(gè)共軛復(fù)根，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)變?yōu)樗p振蕩過(guò)程，Kg越大，振蕩越劇烈。Kg的取值不同，系統(tǒng)特征根在s平面的分布不同，系統(tǒng)具有不同的動(dòng)態(tài)特性。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁(yè)!5.2根軌跡的基本概念2、相角條件

規(guī)定相角以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎槙r(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。1、幅值條件

根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法5.3.1繪制根軌跡的基本法則規(guī)則1根軌跡的連續(xù)性閉環(huán)特征方程根是根軌跡增益Kg的連續(xù)函數(shù)；根軌跡是連續(xù)的直線或曲線。規(guī)則2根軌跡的分支數(shù)=特征根個(gè)數(shù)=系統(tǒng)階數(shù)n。

根軌跡法是通用的方法，可以用于繪制線性多項(xiàng)式中任何參數(shù)的根軌跡。本節(jié)以根軌跡增益Kg為參數(shù)歸納出繪制根軌跡的基本法則。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則5實(shí)軸上的根軌跡

實(shí)軸上的根軌跡在奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的左側(cè)。規(guī)則6根軌跡的漸近線Kg→∞時(shí),有n-m條根軌跡分支沿著與正實(shí)軸夾角,截距為-的一組漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。注意到式（5-14）中有k=0,1,2,…,根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁(yè)!由比較（5-17）分母多項(xiàng)式系數(shù)可得5.3繪制根軌跡的一般方法根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則7根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)（特征方程的重根點(diǎn)）若實(shí)軸兩相鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡:該區(qū)段必有分離點(diǎn);

若實(shí)軸兩相鄰開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間有根軌跡：該區(qū)段必有會(huì)合點(diǎn);2)

在分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)上，根軌跡切線與正實(shí)軸夾角稱(chēng)分離角或會(huì)合角;3)分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)必有重根：重根法.由此，根軌跡的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)，重根必然滿(mǎn)足如下式子：根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則8根軌跡與虛軸的交點(diǎn)例5-4考慮開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)方法1：根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則9根軌跡的出射角和入射角出射角：是指起始于開(kāi)環(huán)復(fù)極點(diǎn)的根軌跡變化切線與正實(shí)軸的夾角。

入射角：是指終止于開(kāi)環(huán)復(fù)零點(diǎn)的根軌跡變化切線與正實(shí)軸的夾角。

根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法規(guī)則10根軌跡的走向當(dāng)n-m2時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)之和始終等于常數(shù).

根據(jù)閉環(huán)特征方程可得：系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于常數(shù)-an-1

隨著Kg的增加，一些根軌跡向左移動(dòng)時(shí)，另一些根軌跡必向右移動(dòng)。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法根據(jù)上述繪制根軌跡的基本法則，單回路控制系統(tǒng)根軌跡的繪制一般可按以下七個(gè)步驟進(jìn)行:（1）確定根軌跡的分支數(shù)及其起點(diǎn)和終點(diǎn)。（2）確定實(shí)軸上的根軌跡。（3）確定根軌跡的漸近線與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)。（4）確定根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。（5）確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。（6）確定根軌跡的出射角和入射角。（7）確定根軌跡的走向，并繪制根軌跡。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法7)隨著Kg，4條根軌跡分支分別沿著4條漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法為參數(shù)，用根軌跡繪制一般方法來(lái)繪制參數(shù)根軌跡。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁(yè)!5.3繪制根軌跡的一般方法（5）由（1）-（4）可知，根軌跡位于s平面左半部，根軌跡的起點(diǎn)-p1=j4和-p2=-j4就是與虛軸的交點(diǎn)。（6）根軌跡在起點(diǎn)-p1=j4的出射角為

而在起點(diǎn)-p2=-j4的出射角為

（7）利用式（5-32）得

即在實(shí)軸外的根軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓弧軌跡，如圖5-15所示。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用5.4.1雙回路系統(tǒng)的根軌跡方法：局部閉環(huán)子系統(tǒng)的極點(diǎn)為雙回路系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)

1）首先根據(jù)局部閉環(huán)子系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制其根軌跡，確定局部閉環(huán)子系統(tǒng)的極點(diǎn)分布；

2）然后根據(jù)雙回路系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布，繪制出全系統(tǒng)的根軌跡。例5-9已知雙回路控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析：1)含有兩個(gè)參數(shù)，兩個(gè)回環(huán)；2)確定內(nèi)環(huán)極點(diǎn)，再確定系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用2）繪制整個(gè)系統(tǒng)的根軌跡當(dāng)確定內(nèi)環(huán)系統(tǒng)參量的數(shù)值后，就可繪制整個(gè)系統(tǒng)的根軌跡。，

∴內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點(diǎn)為外環(huán)開(kāi)環(huán)傳函極點(diǎn)∴

-p1，2為外環(huán)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，再考慮零值

極點(diǎn)，整個(gè)外環(huán)根軌跡如圖5-19。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用例5-10已知延遲系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用所對(duì)應(yīng)的主根軌跡如圖5-21根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用5.4.30度根軌跡的繪制0度根軌跡：相角遵循0+360k條件的根軌跡稱(chēng)為0度根軌跡，又因根軌跡增益（-Kg）為負(fù)值，也稱(chēng)為負(fù)根軌跡。0度根軌跡分兩種情況：（1）正反饋系統(tǒng)。（2）含有一個(gè)不穩(wěn)定零點(diǎn)的非最小相位為系統(tǒng)，此時(shí)根軌跡方程為：根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用規(guī)則1

根軌跡的分支數(shù)，起點(diǎn)和終點(diǎn)同180度根軌跡。規(guī)則2

由于0度根軌跡相角條件的改變，實(shí)軸上的根軌跡在偶數(shù)個(gè)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的左側(cè)。規(guī)則3

根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)的計(jì)算方法同180度根軌跡，而與實(shí)軸的夾角的計(jì)算公式為規(guī)則4

根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的計(jì)算方法同180度根軌跡。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁(yè)!5.4根軌跡法的擴(kuò)展應(yīng)用例5-11考慮一個(gè)單位正反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁(yè)!5.5開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響

系統(tǒng)根軌跡的形狀、位置完全依賴(lài)于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中的零極點(diǎn)，可用增加系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的方法來(lái)改造根軌跡，從而達(dá)到改善系統(tǒng)性能的目的。5.5.1開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響z1>z2>z3>隨著增加的零點(diǎn)從負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)向虛軸移動(dòng)，根軌跡從原來(lái)的位置向左移，且零點(diǎn)越靠近虛軸，則根軌跡變化越明顯。根軌跡分析法修改版共59頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁(yè)!5.5開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響

增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響可歸納如下：（1）改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布。（2）改變