模式識別第9章核方法概要課件

第9章模式識別中的核方法第9章模式識別中的核方法19模式識別中的核方法9.1核方法概述9.2核方法基礎(chǔ)9.3凸優(yōu)化與SVM9模式識別中的核方法9.1核方法概述29.1核方法概述模式識別的核方法：首先把數(shù)據(jù)嵌入到合適的特征空間然后采用基于線性代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)學(xué)算法，發(fā)現(xiàn)嵌入數(shù)據(jù)的模式9.1核方法概述模式識別的核方法：39.1核方法概述核方法的4個關(guān)鍵：數(shù)據(jù)嵌入特征空間在特征空間中尋找線性模式在嵌入空間中，不需要計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)，只用兩兩內(nèi)積利用核函數(shù)，可以直接從初始數(shù)據(jù)高效地計(jì)算內(nèi)積。從基于線性函數(shù)類的模式中抽取出來的模式函數(shù)數(shù)據(jù)核函數(shù)核矩陣PA算法模式函數(shù)9.1核方法概述核方法的4個關(guān)鍵：從基于線性函數(shù)類的模式中抽49.1核方法概述——線性回歸給定n維空間中訓(xùn)練集合，尋找齊次線性函數(shù)使其為S的最優(yōu)插值通過給定的n維點(diǎn)，擬合一個超平面如果可逆令9.1核方法概述——線性回歸給定n維空間中訓(xùn)練集合59.1核方法概述——線性回歸給定n維空間中訓(xùn)練集合，尋找齊次線性函數(shù)使其為S的最優(yōu)插值如果可逆訓(xùn)練點(diǎn)的線性組合如果不可逆：偽逆——嶺回歸9.1核方法概述——線性回歸給定n維空間中訓(xùn)練集合69.1核方法概述——嶺回歸如果不可逆：數(shù)據(jù)不夠，或存在噪聲——沒有足夠信息，精確指明解法（不適定ill-posed）添加某種條件（或偏置），限制函數(shù)的選擇（正則化）選擇范數(shù)較小的w范數(shù)與損失之間的相對權(quán)衡In是一個n階單位陣，時總可逆9.1核方法概述——嶺回歸如果不可逆：數(shù)據(jù)79.1核方法概述——對偶嶺回歸訓(xùn)練點(diǎn)的線性組合稱為Gram矩陣：對偶變量G:訓(xùn)練點(diǎn)對間的內(nèi)積k：訓(xùn)練點(diǎn)和測試點(diǎn)之間的內(nèi)積9.1核方法概述——對偶嶺回歸訓(xùn)練點(diǎn)的線性組合稱為Gram8直接法：N很大時，解N×N的方程組代價過大9.1核方法概述——核函數(shù)考慮一個嵌入映射將上的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為高維空間上的線性關(guān)系對偶法：需要的所有信息為特征空間F中的內(nèi)積跳過顯式計(jì)算直接計(jì)算——核函數(shù)：核（kernel）是一個函數(shù)，對于所有滿足：其中是從X到（內(nèi)積）特征空間F的一個映射：指數(shù)維，甚至無限維特征空間。直接法：N很大時，9那么，F(xiàn)中的線性函數(shù)為：9.1核方法概述——核函數(shù)舉例考慮一個二維輸入空間同時考慮特征映射：將特征空間中的線性關(guān)系與輸入空間中的二次關(guān)系相對應(yīng)：直接計(jì)算特征空間中的內(nèi)積不用顯式計(jì)算特征空間中的坐標(biāo)也可計(jì)算如下映射空間的內(nèi)積特征空間并不由核函數(shù)唯一確定那么，F(xiàn)中的線性函數(shù)為：9.1核方法概述——核函數(shù)舉例考慮一109.1核方法概述——核函數(shù)舉例考慮一個n維輸入空間，那么函數(shù)是一個核函數(shù)，對應(yīng)的特征映射為：因?yàn)椋?.1核方法概述——核函數(shù)舉例考慮一個n維輸入空間119模式識別中的核方法9.1核方法概述9.2核方法基礎(chǔ)9.3凸優(yōu)化與SVM9模式識別中的核方法9.1核方法概述12核矩陣

考慮l個訓(xùn)練樣本在N維特征空間中映射，記為l×N矩陣稱與之相關(guān)的L×LGram矩陣為核矩陣，其元素為核矩陣可寫作：核矩陣考慮l個訓(xùn)練樣本在N維特征空間中映射，記為13基本運(yùn)算如果是核，B是一個半正定矩陣，p(x)是一個正系數(shù)多項(xiàng)式，那么下面都是核:高斯核基本運(yùn)算如果是核，B是一個半正定矩陣，p(14均值和距離特征向量的范數(shù):特征向量的規(guī)范化:均值和距離特征向量的范數(shù):特征向量的規(guī)范化:15均值和距離特征向量線性組合的范數(shù):均值和距離特征向量線性組合的范數(shù):16均值和距離特征向量之間的距離:均值和距離特征向量之間的距離:17均值和距離質(zhì)心的范數(shù)質(zhì)心的范數(shù)的平方=核矩陣元素的平均值均值和距離質(zhì)心的范數(shù)質(zhì)心的范數(shù)的平方=核矩陣元素的平均值18均值和距離點(diǎn)到質(zhì)心的距離均值和距離點(diǎn)到質(zhì)心的距離19均值和距離方差核矩陣對角線元素平均值-全體元素平均值均值和距離方差核矩陣對角線元素平均值-全體元素平均值20中心化數(shù)據(jù)把原點(diǎn)移到質(zhì)心——平均特征值最小化移動后，新的核函數(shù)為中心化數(shù)據(jù)把原點(diǎn)移到質(zhì)心——平均特征值最小化移動后，新的核函21可以證明對于有：中心化的穩(wěn)定性從訓(xùn)練樣本估計(jì)質(zhì)心的可靠性：樣本中心多大程度上接近真實(shí)期望？可以證明對于22在概率下：新穎檢測舉例對于一個新的隨機(jī)點(diǎn)滿足概率的界：模式函數(shù)的期望在概率下的界為：把滿足的項(xiàng)視為新穎項(xiàng)，把正常項(xiàng)誤判為正常項(xiàng)的概率最大為在概率下：新穎檢測舉例對于一個新的隨機(jī)23二分類舉例將訓(xùn)練集S劃分為兩個正例、負(fù)例子集：S_，

S+利用新穎檢測，計(jì)算測試點(diǎn)x到兩子集質(zhì)心的距離：

分類規(guī)則為：b+b-二分類舉例將訓(xùn)練集S劃分為兩個正例、負(fù)例子集：S_，S24數(shù)據(jù)分散度——標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)兩均值為0的隨機(jī)變量x,y的協(xié)方差：兩變量乘積的期望不同原始特征，難以直接比較，需要在比較前進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：兩變量的相關(guān)性：以下三條件等價：比較兩變量的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果，可衡量兩變量的線性相關(guān)性用于檢測是否存在模式：數(shù)據(jù)分散度——標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)兩均值為0的隨機(jī)變量x,y的25數(shù)據(jù)分散度——協(xié)方差矩陣

考慮l個訓(xùn)練樣本在N維特征空間中映射，記為l×N矩陣N×N協(xié)方差矩陣C元素為:數(shù)據(jù)分散度——協(xié)方差矩陣考慮l個訓(xùn)練樣本在N維特征26數(shù)據(jù)分散度——投影的方差設(shè)v為特征空間的單位向量，在v方向上投影的范數(shù)為投影范數(shù)的中心為：投影范數(shù)的方差為：如何用內(nèi)積計(jì)算？將v表示成訓(xùn)練點(diǎn)的線性組合數(shù)據(jù)分散度——投影的方差設(shè)v為特征空間的單位向量，27數(shù)據(jù)分散度——投影的方差投影范數(shù)的方差為：將v表示成訓(xùn)練點(diǎn)的線性組合數(shù)據(jù)分散度——投影的方差投影范數(shù)的方差為：將v表示成訓(xùn)練點(diǎn)的289模式識別中的核方法9.1核方法概述9.2核方法基礎(chǔ)9.3凸優(yōu)化與SVM9模式識別中的核方法9.1核方法概述29凸優(yōu)化與SVM超球體在嵌入空間中，尋找包含訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的最小超球體。并構(gòu)建檢測新穎（反常）數(shù)據(jù)的算法。最大間隔超平面在嵌入空間中，尋找能將兩類樣本分開的最大間隔超平面，構(gòu)建分類算法凸二次規(guī)劃問題凸優(yōu)化與SVM超球體凸二次規(guī)劃問題30訓(xùn)練集嵌入到特征空間F中包含點(diǎn)集合的最小超球體尋找一個包含所有特征點(diǎn)的最小超球體中心是點(diǎn)的線性組合，且點(diǎn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的跨度之內(nèi)——對偶訓(xùn)練集31包含點(diǎn)集合的最小超球體對偶lagrange函數(shù)包含點(diǎn)集合的最小超球體對偶lagrange函數(shù)32最大化：約束：凸二次規(guī)劃：KT條件：=0包含點(diǎn)集合的最小超球體最大化：約束：凸二次規(guī)劃：KT條件：=0包含點(diǎn)集合的最小超球33基于最小超球體的新穎檢測僅對支持向量有僅需要計(jì)算#SV個內(nèi)積基于最小超球體的新穎檢測僅對支持向量有僅需要計(jì)算#SV個內(nèi)積34新穎檢測穩(wěn)定性那么至少在的概率下，在大小為的樣本上有：令：=0，對于訓(xùn)練樣本在的概率下，來自訓(xùn)練分布D的點(diǎn)落在以c為中心，為半徑的球的外部的概率小于。新穎檢測穩(wěn)定性那么至少在的概率下，在大35不一味追求包含所有點(diǎn)——避免個別噪聲影響。包含大部分點(diǎn)的軟超球體遺漏點(diǎn)的損失半徑過大的損失VS

松弛變量：兩種損失的權(quán)衡不一味追求包含所有點(diǎn)——避免個別噪聲影響。包含大部分點(diǎn)的36包含大部分點(diǎn)的軟超球體包含大部分點(diǎn)的軟超球體37包含大部分點(diǎn)的軟超球體最大化：約束：凸二次規(guī)劃：包含大部分點(diǎn)的軟超球體最大化：約束：凸二次規(guī)劃：38包含大部分點(diǎn)的軟超球體選取某i，使則KT條件：=0此時根據(jù)KT條件：包含大部分點(diǎn)的軟超球體選取某i，使39基于軟超球體的新穎檢測在的概率下，來自訓(xùn)練分布D的點(diǎn)被判為新穎點(diǎn)的概率最大為：基于軟超球體的新穎檢測在的概率下40v-軟最小超球體軟最小超球體v-軟最小超球體超球體外的點(diǎn)有最多有個點(diǎn)在球外超球體內(nèi)的有至少有個點(diǎn)不在球內(nèi)v-軟最小超球體軟最小超球體v-軟最小超球體超球體外的點(diǎn)有最41v-軟最小超球體在的概率下，來自訓(xùn)練分布D的點(diǎn)被判為新穎點(diǎn)的概率最大為：測試超球體半徑平方為：v-軟最小超球體的優(yōu)化目標(biāo)為即取時，測試超球體體積最小希望p

為定值，將概率的界固定v-軟最小超球體在的概率下，來自42超球體的討論“硬”最小包含球。擴(kuò)大半徑，保證更大的概率下包含正常點(diǎn)對于個別點(diǎn)敏感，不健壯軟最小包含球不要求包含所有點(diǎn)，考慮半徑大小與遺漏點(diǎn)的折中有可能將任意點(diǎn)排斥在外。v-軟最小包含球給出包含于球內(nèi)的點(diǎn)的界。V與誤差率的聯(lián)系。超球體的討論“硬”最小包含球。433對L求導(dǎo)，代回Lagrange函數(shù)，轉(zhuǎn)化為基于和核的對偶，凸優(yōu)化——二次規(guī)劃求解基于核的凸優(yōu)化方法1在高維特征空間中,在樣本集上構(gòu)造優(yōu)化問題最小化目標(biāo)約束條件2構(gòu)造Lagrange函數(shù)4根據(jù)K_T條件，得到基于核的模式函數(shù)3對L求導(dǎo)，代回Lagrange函數(shù)，轉(zhuǎn)化為基于和核44最優(yōu)分類界面樣本集與分類界面之間的間隔定義為樣本與分類界面之間幾何間隔的最小值。最優(yōu)分類界面：給定線性可分樣本集，能夠?qū)颖痉珠_的最大間隔超平面。最優(yōu)分類界面樣本集與分類界面之間的間隔定義為樣本與分類45最大間隔分類器線性函數(shù)：訓(xùn)練樣本：最大間隔分類器線性函數(shù)：訓(xùn)練樣本：46最大間隔分類器最大間隔分類器47最大間隔分類器最大化：約束：凸二次規(guī)劃：選擇由KT條件：最大間隔分類器最大化：約束：凸二次規(guī)劃：選擇由KT條件：48最大間隔分類器模式函數(shù)：在的概率下泛化誤差的界：硬間隔：必須用在可分離情況，對噪聲敏感——不健壯軟間隔：容忍部分分錯，對噪聲不敏感——健壯最大間隔分類器模式函數(shù)：在的概率下泛化49軟間隔分類器軟間隔分類器50軟間隔分類器軟間隔分類器51軟間隔分類器與最大間隔的結(jié)果相同，僅約束條件不同：軟間隔分類器與最大間隔的結(jié)果相同，僅約束條件不同：52軟間隔分類器最大化：約束：凸二次規(guī)劃：軟間隔分類器最大化：約束：凸二次規(guī)劃：53軟間隔分類器選擇使在的概率下泛化誤差的界：軟間隔分類器選擇使在的概率下泛化誤差的54第9章模式識別中的核方法第9章模式識別中的核方法559模式識別中的核方法9.1核方法概述9.2核方法基礎(chǔ)9.3凸優(yōu)化與SVM9模式識別中的核方法9.1核方法概述569.1核方法概述模式識別的核方法：首先把數(shù)據(jù)嵌入到合適的特征空間然后采用基于線性代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)學(xué)算法，發(fā)現(xiàn)嵌入數(shù)據(jù)的模式9.1核方法概述模式識別的核方法：579.1核方法概述核方法的4個關(guān)鍵：數(shù)據(jù)嵌入特征空間在特征空間中尋找線性模式在嵌入空間中，不需要計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)，只用兩兩內(nèi)積利用核函數(shù)，可以直接從初始數(shù)據(jù)高效地計(jì)算內(nèi)積。從基于線性函數(shù)類的模式中抽取出來的模式函數(shù)數(shù)據(jù)核函數(shù)核矩陣PA算法模式函數(shù)9.1核方法概述核方法的4個關(guān)鍵：從基于線性函數(shù)類的模式中抽589.1核方法概述——線性回歸給定n維空間中訓(xùn)練集合，尋找齊次線性函數(shù)使其為S的最優(yōu)插值通過給定的n維點(diǎn)，擬合一個超平面如果可逆令9.1核方法概述——線性回歸給定n維空間中訓(xùn)練集合599.1核方法概述——線性回歸給定n維空間中訓(xùn)練集合，尋找齊次線性函數(shù)使其為S的最優(yōu)插值如果可逆訓(xùn)練點(diǎn)的線性組合如果不可逆：偽逆——嶺回歸9.1核方法概述——線性回歸給定n維空間中訓(xùn)練集合609.1核方法概述——嶺回歸如果不可逆：數(shù)據(jù)不夠，或存在噪聲——沒有足夠信息，精確指明解法（不適定ill-posed）添加某種條件（或偏置），限制函數(shù)的選擇（正則化）選擇范數(shù)較小的w范數(shù)與損失之間的相對權(quán)衡In是一個n階單位陣，時總可逆9.1核方法概述——嶺回歸如果不可逆：數(shù)據(jù)619.1核方法概述——對偶嶺回歸訓(xùn)練點(diǎn)的線性組合稱為Gram矩陣：對偶變量G:訓(xùn)練點(diǎn)對間的內(nèi)積k：訓(xùn)練點(diǎn)和測試點(diǎn)之間的內(nèi)積9.1核方法概述——對偶嶺回歸訓(xùn)練點(diǎn)的線性組合稱為Gram62直接法：N很大時，解N×N的方程組代價過大9.1核方法概述——核函數(shù)考慮一個嵌入映射將上的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為高維空間上的線性關(guān)系對偶法：需要的所有信息為特征空間F中的內(nèi)積跳過顯式計(jì)算直接計(jì)算——核函數(shù)：核（kernel）是一個函數(shù)，對于所有滿足：其中是從X到（內(nèi)積）特征空間F的一個映射：指數(shù)維，甚至無限維特征空間。直接法：N很大時，63那么，F(xiàn)中的線性函數(shù)為：9.1核方法概述——核函數(shù)舉例考慮一個二維輸入空間同時考慮特征映射：將特征空間中的線性關(guān)系與輸入空間中的二次關(guān)系相對應(yīng)：直接計(jì)算特征空間中的內(nèi)積不用顯式計(jì)算特征空間中的坐標(biāo)也可計(jì)算如下映射空間的內(nèi)積特征空間并不由核函數(shù)唯一確定那么，F(xiàn)中的線性函數(shù)為：9.1核方法概述——核函數(shù)舉例考慮一649.1核方法概述——核函數(shù)舉例考慮一個n維輸入空間，那么函數(shù)是一個核函數(shù)，對應(yīng)的特征映射為：因?yàn)椋?.1核方法概述——核函數(shù)舉例考慮一個n維輸入空間659模式識別中的核方法9.1核方法概述9.2核方法基礎(chǔ)9.3凸優(yōu)化與SVM9模式識別中的核方法9.1核方法概述66核矩陣

考慮l個訓(xùn)練樣本在N維特征空間中映射，記為l×N矩陣稱與之相關(guān)的L×LGram矩陣為核矩陣，其元素為核矩陣可寫作：核矩陣考慮l個訓(xùn)練樣本在N維特征空間中映射，記為67基本運(yùn)算如果是核，B是一個半正定矩陣，p(x)是一個正系數(shù)多項(xiàng)式，那么下面都是核:高斯核基本運(yùn)算如果是核，B是一個半正定矩陣，p(68均值和距離特征向量的范數(shù):特征向量的規(guī)范化:均值和距離特征向量的范數(shù):特征向量的規(guī)范化:69均值和距離特征向量線性組合的范數(shù):均值和距離特征向量線性組合的范數(shù):70均值和距離特征向量之間的距離:均值和距離特征向量之間的距離:71均值和距離質(zhì)心的范數(shù)質(zhì)心的范數(shù)的平方=核矩陣元素的平均值均值和距離質(zhì)心的范數(shù)質(zhì)心的范數(shù)的平方=核矩陣元素的平均值72均值和距離點(diǎn)到質(zhì)心的距離均值和距離點(diǎn)到質(zhì)心的距離73均值和距離方差核矩陣對角線元素平均值-全體元素平均值均值和距離方差核矩陣對角線元素平均值-全體元素平均值74中心化數(shù)據(jù)把原點(diǎn)移到質(zhì)心——平均特征值最小化移動后，新的核函數(shù)為中心化數(shù)據(jù)把原點(diǎn)移到質(zhì)心——平均特征值最小化移動后，新的核函75可以證明對于有：中心化的穩(wěn)定性從訓(xùn)練樣本估計(jì)質(zhì)心的可靠性：樣本中心多大程度上接近真實(shí)期望？可以證明對于76在概率下：新穎檢測舉例對于一個新的隨機(jī)點(diǎn)滿足概率的界：模式函數(shù)的期望在概率下的界為：把滿足的項(xiàng)視為新穎項(xiàng)，把正常項(xiàng)誤判為正常項(xiàng)的概率最大為在概率下：新穎檢測舉例對于一個新的隨機(jī)77二分類舉例將訓(xùn)練集S劃分為兩個正例、負(fù)例子集：S_，

S+利用新穎檢測，計(jì)算測試點(diǎn)x到兩子集質(zhì)心的距離：

分類規(guī)則為：b+b-二分類舉例將訓(xùn)練集S劃分為兩個正例、負(fù)例子集：S_，S78數(shù)據(jù)分散度——標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)兩均值為0的隨機(jī)變量x,y的協(xié)方差：兩變量乘積的期望不同原始特征，難以直接比較，需要在比較前進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：兩變量的相關(guān)性：以下三條件等價：比較兩變量的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果，可衡量兩變量的線性相關(guān)性用于檢測是否存在模式：數(shù)據(jù)分散度——標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)兩均值為0的隨機(jī)變量x,y的79數(shù)據(jù)分散度——協(xié)方差矩陣

考慮l個訓(xùn)練樣本在N維特征空間中映射，記為l×N矩陣N×N協(xié)方差矩陣C元素為:數(shù)據(jù)分散度——協(xié)方差矩陣考慮l個訓(xùn)練樣本在N維特征80數(shù)據(jù)分散度——投影的方差設(shè)v為特征空間的單位向量，在v方向上投影的范數(shù)為投影范數(shù)的中心為：投影范數(shù)的方差為：如何用內(nèi)積計(jì)算？將v表示成訓(xùn)練點(diǎn)的線性組合數(shù)據(jù)分散度——投影的方差設(shè)v為特征空間的單位向量，81數(shù)據(jù)分散度——投影的方差投影范數(shù)的方差為：將v表示成訓(xùn)練點(diǎn)的線性組合數(shù)據(jù)分散度——投影的方差投影范數(shù)的方差為：將v表示成訓(xùn)練點(diǎn)的829模式識別中的核方法9.1核方法概述9.2核方法基礎(chǔ)9.3凸優(yōu)化與SVM9模式識別中的核方法9.1核方法概述83凸優(yōu)化與SVM超球體在嵌入空間中，尋找包含訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的最小超球體。并構(gòu)建檢測新穎（反常）數(shù)據(jù)的算法。最大間隔超平面在嵌入空間中，尋找能將兩類樣本分開的最大間隔超平面，構(gòu)建分類算法凸二次規(guī)劃問題凸優(yōu)化與SVM超球體凸二次規(guī)劃問題84訓(xùn)練集嵌入到特征空間F中包含點(diǎn)集合的最小超球體尋找一個包含所有特征點(diǎn)的最小超球體中心是點(diǎn)的線性組合，且點(diǎn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的跨度之內(nèi)——對偶訓(xùn)練集85包含點(diǎn)集合的最小超球體對偶lagrange函數(shù)包含點(diǎn)集合的最小超球體對偶lagrange函數(shù)86最大化：約束：凸二次規(guī)劃：KT條件：=0包含點(diǎn)集合的最小超球體最大化：約束：凸二次規(guī)劃：KT條件：=0包含點(diǎn)集合的最小超球87基于最小超球體的新穎檢測僅對支持向量有僅需要計(jì)算#SV個內(nèi)積基于最小超球體的新穎檢測僅對支持向量有僅需要計(jì)算#SV個內(nèi)積88新穎檢測穩(wěn)定性那么至少在的概率下，在大小為的樣本上有：令：=0，對于訓(xùn)練樣本在的概率下，來自訓(xùn)練分布D的點(diǎn)落在以c為中心，為半徑的球的外部的概率小于。新穎檢測穩(wěn)定性那么至少在的概率下，在大89不一味追求包含所有點(diǎn)——避免個別噪聲影響。包含大部分點(diǎn)的軟超球體遺漏點(diǎn)的損失半徑過大的損失VS

松弛變量：兩種損失的權(quán)衡不一味追求包含所有點(diǎn)——避免個別噪聲影響。包含大部分點(diǎn)的90包含大部分點(diǎn)的軟超球體包含大部分點(diǎn)的軟超球體91包含大部分點(diǎn)的軟超球體最大化：約束：凸二次規(guī)劃：包含大部分點(diǎn)的軟超球體最大化：約束：凸二次規(guī)劃：92包含大部分點(diǎn)的軟超球體選取某i，使則KT條件：=0此時根據(jù)KT條件：包含大部分點(diǎn)的軟超球體選取某i，使93基于軟超球體的新穎檢測在的概率下，來自訓(xùn)練分布D的點(diǎn)被判為新穎點(diǎn)的概率最大為：基于軟超球體的新穎檢測在的概率下94v-軟最小超球體軟最小超球體v-軟最小超球體超球體外的點(diǎn)有最多有個點(diǎn)在球外超球體內(nèi)的有至少有個點(diǎn)不在球內(nèi)v-軟最小超球體軟最小超球體v-軟