教輔同步課直線與圓

復習課(二)直線與圓兩直線的位置關系兩直線的位置關系是常考熱點．主要以選擇、填空題形式考查，多涉及求參數(shù)與直線方程求法，難度中檔以下．eq\a\vs4\al([考點精要])1．求直線斜率的基本方法(1)定義法：已知直線的傾斜角為α，且α≠90°，則斜率k＝tanα.(2)公式法：已知直線過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，則斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．判斷兩直線平行的方法(1)若不重合的直線l1與l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則k1＝k2?l1∥l2.(2)若不重合的直線l1與l2的斜率都不存在，其傾斜角都為90°，則l1∥l2.3．判斷兩直線垂直的方法(1)若直線l1與l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則k1·k2＝－1?l1⊥l2.(2)已知直線l1與l2，若其中一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，則l1⊥l2.[典例]已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值．(1)l1⊥l2且l1過點(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等．[解](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，①又l1過點(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.解①②組成的方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直線l1的斜率存在．∴k1＝k2，即eq\f(a,b)＝1－a.③又∵坐標原點到這兩條直線的距離相等，l1∥l2，∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即eq\f(4,b)＝－(－b)．④由③④聯(lián)立，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))經(jīng)檢驗此時的l1與l2不重合，故所求值為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))[類題通法]已知兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0(1)對于l1∥l2的問題，先由A1B2－A2B1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程檢驗這時的l1和l2是否重合，若重合，舍去．(2)對于l1⊥l2的問題，由A1A2＋B1B2eq\a\vs4\al([題組訓練])1．經(jīng)過兩點A(2,1)，B(1，m2)的直線l的傾斜角為銳角，則m的取值范圍是()A．m＜1 B．m＞－1C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1解析：選C∵直線l的傾斜角為銳角，∴斜率k＝eq\f(m2－1,1－2)＞0，∴－1＜m＜1.2．直線ax＋2y－1＝0與直線2x－3y－1＝0垂直，則a的值為()A．－3 B．－eq\f(4,3)C．2 D．3解析：選D由2a－6＝0得a3．已知直線x＋2ay－1＝0與直線(a－1)x＋ay＋1＝0平行，則a的值為()\f(3,2) \f(3,2)或0C．0 D．－2解析：選A當a＝0時，兩直線的方程化為x＝1和x＝1，顯然重合，不符合題意；當a≠0時，eq\f(a－1,1)＝eq\f(a,2a)，解得a＝eq\f(3,2).故選A.直線方程直線方程的求法一直是考查重點，多以解答題形式考查，常涉及距離、平行、垂直等知識，有時與對稱問題相結(jié)合，難度中檔以上．eq\a\vs4\al([考點精要])1．直線方程的五種形式名稱方程常數(shù)的幾何意義適用條件點斜式一般情況y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直線上的一個定點，k是斜率直線不垂直于x軸斜截式y(tǒng)＝kx＋bk是斜率，b是直線在y軸上的截距直線不垂直于x軸兩點式一般情況eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1，y1)，(x2，y2)是直線上的兩個定點直線不垂直于x軸和y軸截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1a，b分別是直線在x軸，y軸上的兩個非零截距直線不垂直于x軸和y軸，且不過原點一般式Ax＋By＋C＝0A，B不同時為0A，B，C為系數(shù)任何情況2．常見的直線系方程(1)經(jīng)過兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系數(shù)．在這個方程中，無論λ取什么實數(shù)，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直線l2.(2)平行直線系方程：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平行的直線系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(3)垂直直線系方程：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)垂直的直線系方程是Bx－Ay＋λ＝0.[典例]過點A(3，－1)作直線l交x軸于點B，交直線l1：y＝2x于點C，若|BC|＝2|AB|，求直線l的方程．[解]當直線l的斜率不存在時，直線l：x＝3，∴B(3,0)，C(3,6)．此時|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直線l的斜率存在．設直線l的方程為y＋1＝k(x－3)，顯然k≠0且k≠2.令y＝0，得x＝3＋eq\f(1,k)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,k)，0))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y＋1＝kx－3，))得點C的橫坐標xC＝eq\f(3k＋1,k－2).∵|BC|＝2|AB|，∴|xB－xC|＝2|xA－xB|，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3k＋1,k－2)－\f(1,k)－3))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))，∴eq\f(3k＋1,k－2)－eq\f(1,k)－3＝eq\f(2,k)或eq\f(3k＋1,k－2)－eq\f(1,k)－3＝－eq\f(2,k)，解得k＝－eq\f(3,2)或k＝eq\f(1,4).∴所求直線l的方程為3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.[類題通法]求直線方程時，要根據(jù)給定條件，選擇恰當?shù)姆匠?，常用以下兩種方法求解：(1)直接法：直接選取適當?shù)闹本€方程的形式，寫出結(jié)果；(2)待定系數(shù)法：先以直線滿足的某個條件為基礎設出直線方程，再由直線滿足的另一個條件求出待定系數(shù)，從而求得方程．eq\a\vs4\al([題組訓練])1．已知直線l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直線l與l1，l2的距離分別是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直線l的方程．解：由直線l1，l2的方程知l1∥l2，又由題意知，直線l與l1，l2均平行(否則d1＝0或d2＝0，不符合題意)．設直線l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由兩平行直線間的距離公式，得d1＝eq\f(|m＋1|,\r(13))，d2＝eq\f(|m＋13|,\r(13))，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.故所求直線l的方程為3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.2．已知直線l：3x－y＋3＝0，求：(1)點P(4,5)關于l的對稱點；(2)直線x－y－2＝0關于直線l對稱的直線方程．解：設P(x，y)關于直線l：3x－y＋3＝0的對稱點為P′(x′，y′)．∵kPP′·kl＝－1，即eq\f(y′－y,x′－x)×3＝－1.①又PP′的中點在直線3x－y＋3＝0上，∴3×eq\f(x′＋x,2)－eq\f(y′＋y,2)＋3＝0.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(－4x＋3y－9,5)，③,y′＝\f(3x＋4y＋3,5).④))(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)關于直線l的對稱點P′的坐標為(－2,7)．(2)用③④分別代換x－y－2＝0中的x，y，得關于l的對稱直線方程為eq\f(－4x＋3y－9,5)－eq\f(3x＋4y＋3,5)－2＝0，化簡得7x＋y＋22＝0.圓的方程主要以選擇、填空題的形式考查圓的方程的求法，或利用圓的幾何性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合求函數(shù)式的最值．也可與其他曲線結(jié)合綜合考查圓的方程的應用．求圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，確定圓的方程需要三個獨立的條件，求解時要注意結(jié)合圖形，觀察幾何特征，簡化運算．eq\a\vs4\al([考點精要])(1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(3)若圓經(jīng)過兩已知圓的交點或一已知圓與一已知直線的交點，求圓的方程時可用相應的圓系方程加以求解：①過兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ為參數(shù)，λ≠－1)，該方程不包括圓C2；②過圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0與直線l：Ax＋By＋C＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ為參數(shù)，λ∈R)．[典例]在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，經(jīng)過這三個點的圓記為M.(1)求BC邊的中線AD所在直線的一般式方程；(2)求圓M的方程．[解](1)法一：由B(2,0)，C(0，－4)，知BC的中點D的坐標為(1，－2)．又A(－3,0)，所以直線AD的方程為eq\f(y－0,－2－0)＝eq\f(x＋3,1＋3)，即中線AD所在直線的一般式方程為x＋2y＋3＝0.法二：由題意，得|AB|＝|AC|＝5，則△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC.因為直線BC的斜率kBC＝2，所以直線AD的斜率kAD＝－eq\f(1,2)，由直線的點斜式方程，得y－0＝－eq\f(1,2)(x＋3)，所以直線AD的一般式方程為x＋2y＋3＝0.(2)設圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.將A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三點的坐標分別代入方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9－3D＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,16－4E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝1，,E＝\f(5,2)，,F＝－6.))所以圓M的方程是x2＋y2＋x＋eq\f(5,2)y－6＝0.[類題通法]利用待定系數(shù)法求圓的方程(1)若已知條件與圓的圓心和半徑有關，可設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值．(2)若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，可選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，從而求出D，E，F(xiàn)的值．eq\a\vs4\al([題組訓練])1．以線段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析：選B直徑的兩端點分別為(0,2)，(2,0)，∴圓心為(1,1)，半徑為eq\r(2)，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.2．已知圓C經(jīng)過點A(2，－3)，B(－2，－5)，且圓心在直線l：x－2y－3＝0上，求圓C的方程．解：設圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10.))所以圓C的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.3．求以圓C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圓C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦為直徑的圓C的方程．解：聯(lián)立兩圓的方程得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－12x－2y－13＝0，,x2＋y2＋12x＋16y－25＝0，))相減得公共弦所在直線的方程為4x＋3y－2＝0.再由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－2＝0，,x2＋y2－12x－2y－13＝0))解得兩圓交點坐標為(－1,2)，(5，－6)．∵所求圓以公共弦為直徑，∴圓心C是公共弦的中點(2，－2)，半徑長為eq\f(1,2)eq\r(5＋12＋－6－22)＝5.∴圓C的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝25.直線與圓的位置關系多以選擇題、填空題考查直線方程與圓的方程的求法，涉及直線與圓有關的基本問題，對于直線中內(nèi)容很少單獨考查．在解決直線與圓的問題時，充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的運用，尤其是涉及弦長問題，多用幾何法．eq\a\vs4\al([考點精要])1．直線與圓位置關系的判斷方法(1)幾何法：設圓心到直線的距離為d，圓的半徑長為r.若d<r，則直線和圓相交；若d＝r，則直線和圓相切；若d>r，則直線和圓相離．(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，其判別式為Δ.Δ＝0?直線與圓相切；Δ>0?直線與圓相交；Δ<0?直線與圓相離．2．過圓外一點(x0，y0)與圓相切的切線方程的求法①當切線斜率存在時，設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y0－kx0＝0，利用圓心到直線的距離等于半徑長，解出k；②當切線斜率存在時，設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2聯(lián)立，化為關于x的一元二次方程，利用判別式為0，求出k.當切線斜率不存在時，可通過數(shù)形結(jié)合思想，在平面直角坐標系中作出其圖象，求出切線的方程．3．圓中弦長的求法(1)直接求出直線與圓或圓與圓的交點坐標，再利用兩點間的距離公式求解．(2)利用圓的弦長公式l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)(其中x1，x2為兩交點的橫坐標)．(3)利用垂徑定理：分別以圓心到直線的距離d、圓的半徑r與弦長的一半eq\f(l,2)為線段長的三條線段構(gòu)成直角三角形，故有l(wèi)＝2eq\r(r2－d2).4．圓與圓的位置關系：(1)利用圓心間距離與兩半徑和與差的大小關系判斷兩圓的位置關系．(2)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交．則兩圓方程相減后得到的新方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0表示的是兩圓公共弦所在直線的方程．[典例](1)直線x＋y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝1相交于A，B兩點，則|AB|＝()\f(\r(2),2) \f(\r(3),2)\r(3) \r(2)(2)若直線x－my＋1＝0與圓x2＋y2－2x＝0相切，則m的值為()A．1 B．±1C．±eq\r(3) \r(3)(3)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直線l過定點A(1,0)．①若l與圓C相切，求l的方程；②若l與圓C相交于P，Q兩點，且|PQ|＝2eq\r(2)，求此時直線l的方程．[解析](1)∵圓心(1,2)到直線x＋y－2＝0的距離d＝eq\f(\r(2),2)，∴|AB|＝2eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\r(2)，故選D.(2)由x2＋y2－2x＝0，得圓心坐標為(1,0)，半徑為1，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|1－0＋1|,\r(1＋m2))＝1，解得m＝±eq\r(3).答案：(1)D(2)C(3)解：①若直線l的斜率不存在，則直線l：x＝1，符合題意．若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由題意知，圓心(3,4)到直線l的距離等于2，即eq\f(|3k－4－k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，此時直線l的方程為3x－4y－3＝0.綜上可得，所求直線l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0.②由直線l與圓C相交可知，直線l的斜率必定存在，且不為0，設直線l的方程為k0x－y－k0＝0，圓心(3,4)到直線l的距離為d，因為|PQ|＝2eq\r(4－d2)＝2eq\r(2)，所以d＝eq\r(2)，即eq\f(|3k0－4－k0|,\r(k\o\al(2,0)＋1))＝eq\r(2)，解得k0＝1或k0＝7，所以所求直線l的方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0.[類題通法]研究直線與圓位置關系綜合問題時易忽視直線斜率k不存在情形，要注意作出圖形進行判斷．eq\a\vs4\al([題組訓練])1．由直線y＝x＋1上的一點向圓x2－6x＋y2＋8＝0引切線，則切線長的最小值為()A．1 B．2eq\r(2)\r(7) D．3解析：選C切線長的最小值在直線y＝x＋1上的點與圓心距離最小時取得，圓心(3,0)到直線的距離為d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq\r(2)，圓的半徑為1，故切線長的最小值為eq\r(d2－r2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7).2．P是直線l：3x－4y＋11＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是()\r(2) B．2eq\r(2)\r(3) D．2eq\r(3)解析：選C圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心C(1,1)，半徑r＝1.根據(jù)對稱性可知四