立體幾何圖形輔助線的思考策略

立體幾何圖形輔助線的思考策略立體幾何的證明或計(jì)算，離不開輔助線的探尋和構(gòu)造，能否正確順利地構(gòu)造出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．特別是探索性的立體幾何題，輔助線的探尋有一定的困難，但也有規(guī)律性，如果能夠掌握不同情形下輔助線的構(gòu)造策略，就能夠做到不被具體圖形所干擾，舉一而反三．【類型1】過空間一點(diǎn)作兩條異面直線的公共交線【策略】設(shè)空間一點(diǎn)為O，異面直線分別為a，b，先構(gòu)造由點(diǎn)O和直線a確定的平面α，若b平行于α，則所求作的公共交線不存在；若b不平行于α，找出b與α的交點(diǎn)，即可作出交線．【例1】棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O是B1C的中點(diǎn)，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線l與AM交于點(diǎn)P，AABCDA1B1C1D1QNMEOP圖1【解析】如圖1，由點(diǎn)O與直線AM可以確定平面AMED，其中E為CC1的中點(diǎn)；延長CN交AD于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q為直線CN與平面AMED的交點(diǎn)）；連接OQ交AM于點(diǎn)P，則PQ為所求線段．在直角梯形OEDQ中，不難計(jì)算得PQ=．【類型2】過空間一點(diǎn)確定一條直線與已知直線垂直【策略】通過三垂線定理及其逆定理將兩條直線的空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為某一平面內(nèi)的垂直關(guān)系；或者過空間該點(diǎn)構(gòu)造平面與已知直線垂直．【例2】已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，且A1在底面ABCD上的射影是點(diǎn)O，若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1AABCDA1B1C1D1EFHO圖2【解析】如圖2，若EF⊥AD，則EF在平面ABCD上的射影也垂直于BC；因?yàn)锳1O⊥平面ABCD，垂足為O，取AO上一點(diǎn)H，使AH：HO=2：1，則EH∥A1O，可得EH⊥平面ABCD；在正方形ABCD中，作HF⊥BC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求，且BF：FC=1：2．【類型3】過空間一點(diǎn)作已知平面的垂線【策略】（1）過已知空間點(diǎn)構(gòu)作兩個(gè)平面分別垂直于已知平面內(nèi)的兩條直線，則兩個(gè)平面的交線即為所求垂線；（2）不受所給空間點(diǎn)的限制，任作（或找）一條直線垂直于已知平面，再將該直線平移至所給空間點(diǎn)處．【例3】長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，點(diǎn)E是平面BCC1B1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，試確定點(diǎn)E的位置，使D1E⊥平面AB1FBBCDAB1C1D1A1FNGMEG1圖3【解析】如圖3，分別取BC、B1C1的中點(diǎn)G、G1，由正方形ABCD易知AF⊥DG，所以AF⊥平面D1DGG1；作A1M⊥AB1交B1B于M，取C1C上一點(diǎn)N，使C1N：NC=B1M：MB，可得AB1⊥平面A1MND1；設(shè)MN交GG1于點(diǎn)E，連接D1E，則有D1E⊥AF，D1E⊥AB，有D1E⊥平面AB1F．由計(jì)算可得，B1M：MB=4：5．綜上可確定E在平面BCC【例4】已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE，問：在EF上是否存在一點(diǎn)M，使三棱錐M-ACF是正三棱錐？若存在，試確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由．EEMFCBOAGD圖4【解析】由題易知AC=AF=CF，即△ACF為正三角形，又EO⊥AC，EO⊥OF，可得EO⊥平面ACF；欲構(gòu)成正三棱錐，則點(diǎn)M在平面ACF上的射影為△ACF的中心G，G在OF上，且OG：GF=1：2；過點(diǎn)G作GM∥EO交EF于點(diǎn)M，則MG∥EO，于是有MG⊥平面ACF，所以，在EF上存在一點(diǎn)M滿足EM：MF=1：2，使三棱錐M-ACF是正三棱錐．【類型4】作兩條異面直線的公垂線段【策略】公垂線與兩條異面直線都相交，都垂直，且公垂線有且唯一，作起來頗有困難．可以在不考慮相交的情況下，先利用線面平行、線面垂直等關(guān)系作出一條直線與兩條異面直線都垂直，然后通過兩次平移使其與兩條異面直線都相交．【例5】已知正方形ABCD與正方形ADD1A1所在平面垂直，AB=a，求作異面直線A1D與AC的公垂線段PQ，并求PQ的長MMPCBOAD圖5D11A1Q【解析】由題意及三垂線定理易得BD1同時(shí)垂直于異面直線A1D和AC；在△BDD1中，取BD中點(diǎn)O，DD1中點(diǎn)M，顯然OM∥BD1，且2OM=BD1；△AMO中，記AM交A1D于點(diǎn)P，過P作PQ∥OM交AO于點(diǎn)Q，則PQ∥OM，即PQ∥BD1，且3PQ=BD1．可得，PQ是異面直線A1D與AC的公垂線段，且PQ=．【類型5】過點(diǎn)確定直線與已知平面平行；或過直線確定平面與已知直線平行【策略】在不考慮點(diǎn)的情況下作直線與已知平面平行，或在不考慮直線的情況下作平面與已知直線平行．【例6】正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)Q在對(duì)角線B1D上，使A1B∥平面QAC，試確定點(diǎn)Q的位置AAQBCDA1B1C1D1圖6O【解析】連接AD1、CD1，顯然有CD1∥A1B，即有A1B∥平面ACD1；連接OD1交B1D于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為所求，即有A1B∥平面QAC，同時(shí)，計(jì)算可得B1Q：QD=2：1．以上各類探索題都有一些共通點(diǎn)：探求滿足給定的條件的點(diǎn)或線．由于所探求的點(diǎn)或線滿足的條件多，思考時(shí)不易找到切入點(diǎn)．此時(shí)