古希臘人的數(shù)學(xué)成就

8/8古希臘人的數(shù)學(xué)成就和埃及、美索不達(dá)米亞、印度、中國(guó)相比,希臘形成國(guó)家要晚一些。但是,從對(duì)人類科學(xué)文化開展的奉獻(xiàn)和影響來看,希臘完全可以和這些最古老的國(guó)家比美,它被稱為歐洲的文明古國(guó)。古代希臘包括巴爾干半島的南部,愛琴海和愛奧尼亞海的島嶼,還有克里特島和小亞細(xì)亞的沿岸地區(qū)。半島的東岸彎拐曲折,海灣很多,風(fēng)平浪微,有許多優(yōu)良的港口。古希臘人非常喜歡旅行和出海貿(mào)易,這使他們很早就接觸了先進(jìn)的東方文化。那時(shí)候,奴隸擔(dān)負(fù)日常勞動(dòng),奴隸主就有足夠的時(shí)間去評(píng)論市政、爭(zhēng)辯法律訴訟和海外新聞,以此作為時(shí)髦的消遣。于是,那些善辯的人經(jīng)常把一些人聚集在自己的周圍作為門徒。公元前五百多年,畢達(dá)哥拉斯建立了青年兄弟會(huì),以秘密的形式向會(huì)員傳授數(shù)學(xué)知識(shí)。一個(gè)世紀(jì)后,雅典出現(xiàn)了學(xué)校,給青年講授法律、政治、演說和數(shù)學(xué)方面的知識(shí)。新式的學(xué)校里沒有了那種神秘的色彩,不管教師和學(xué)生,什么都可以寫出來給人看。這種公開研究,自由爭(zhēng)論,促進(jìn)了一種新的數(shù)學(xué)思想和方法的產(chǎn)生。很早以前,人們就知道了邊長(zhǎng)為3、4、5和5、12、13的三角形為直角三角形。畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這兩套數(shù)字的共同之處：最大數(shù)的平方等于另外兩個(gè)數(shù)的平方和,即32＋42=52；52＋122=132。這就是說,以直角三角形最長(zhǎng)邊為邊長(zhǎng)的正方形面積,等于兩個(gè)短邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形面積的和。接著,畢達(dá)哥拉斯又研究了這樣兩個(gè)問題：一、這個(gè)規(guī)律是否對(duì)所有的直角三角形都成立？二、符合這一規(guī)律的任何三角形是否一定是直角三角形？畢達(dá)哥拉斯搜集了許許多多的例子,都肯定答復(fù)了這兩個(gè)問題。據(jù)說,他為了慶祝自己的這個(gè)發(fā)現(xiàn),曾殺了一百多頭牛,舉行了一次大宴會(huì)。這就是幾何學(xué)中的勾股定理為什么又叫做畢達(dá)哥拉斯定理的由來。希臘的數(shù)學(xué)教師同時(shí)也講授法律。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也象學(xué)習(xí)法律那樣,對(duì)教師給出的每一條法那么都提出自己的異議,并且要求教師對(duì)所有的概念都作出準(zhǔn)確的定義。這樣就使得教師面臨非常艱巨的任務(wù),尤其是下定義,可不是一件容易的事。比方,怎樣確切地定義一條直線？怎樣給出圓的定義？怎樣使別人不會(huì)把它們理解成別的圖形？……不知經(jīng)過了多少次的爭(zhēng)論,人們才逐步意識(shí)到,最好的方法就是直截了當(dāng)?shù)乇磉_(dá)怎樣用工具做出圖形的。要用工具畫圖,這又引出了一個(gè)問題：什么工具是大家都同意使用的呢？那時(shí)的希臘人畫幾何圖形規(guī)定只準(zhǔn)用畫線的直尺和畫圓的圓規(guī)。在希臘之前的漫常年代里,人們已經(jīng)知道了許多求面積和測(cè)角度的知識(shí)?？墒钦l也沒有想到過用推理的方法把這些知識(shí)聯(lián)系在一起,找出它們之間的內(nèi)在關(guān)系,并且證明它們是可靠的。這就是說,這時(shí)的幾何知識(shí)還處于零散的、互不聯(lián)系的狀態(tài)之中。沒有系統(tǒng),就沒有幾何學(xué)。好辯的希臘人,堅(jiān)持每一個(gè)幾何定律都必須通過辯論的驗(yàn)證,并且對(duì)各種相反的意見一一做出答復(fù)。這樣,在證明新的定律時(shí),就可以直接引用已經(jīng)證明過的定律,而無需一切都從頭開始。細(xì)心的希臘人對(duì)幾何知識(shí)從不輕信,他們破格相信的只是那些十分清楚的解釋和概念。他們從指導(dǎo)思想和具體方法兩個(gè)方面,推動(dòng)了幾何學(xué)的形成和開展。大約在公元前三百年,歐幾里得寫了一套叫做?幾何原本?的數(shù)學(xué)教科書,把希臘人在這方面的成就傳給了我們。一千年后,許多希臘著作都散失和毀掉了,而?幾何原本?卻被譯成阿拉伯文,作為穆斯林大學(xué)的教本。直到五十年前,歐洲和美洲各國(guó)的學(xué)校還在用翻譯的?幾何原本?作教科書。就是今天,初中學(xué)校里講授幾何學(xué)的主要內(nèi)容也是來自歐幾里得幾何學(xué)。幾何學(xué)的建立為測(cè)量、建筑、航海、天文,甚至為城市規(guī)劃、樂器設(shè)計(jì)等提供了必要的工具。在畢達(dá)哥拉斯時(shí)代,希臘人知道的幾何法那么中有這么兩條：一、任何三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于兩個(gè)直角；二、三角形的兩個(gè)內(nèi)角相等,它們的對(duì)應(yīng)邊也相等。由第一個(gè)法那么可以得到：如果三角形中有一個(gè)角是直角,另一個(gè)角是45°,那么第三個(gè)角也一定是45°；由第二個(gè)法那么可以得到：對(duì)應(yīng)于兩個(gè)45°角的邊一定相等。他們根據(jù)這兩條法那么,就可以利用陽(yáng)光測(cè)量出地面上的物體高度了。當(dāng)陽(yáng)光成45°照射地面時(shí),一根直立在地面上的柱子,連同它的影子和陽(yáng)光,恰好組成這樣一個(gè)三角形,測(cè)量柱高就不用爬到柱子上去了。因?yàn)橹雍退挠白佣紝?duì)應(yīng)著45°的角,二者是等長(zhǎng)的,只要量出影長(zhǎng)就行了。當(dāng)然,這個(gè)原理在其它許多方面也用得著。例如,要在岸上測(cè)出海上的船只離岸多遠(yuǎn),只要在岸上確定兩個(gè)點(diǎn),使一個(gè)點(diǎn)與船的聯(lián)線和海岸成直角,另一個(gè)點(diǎn)與船的聯(lián)線與海岸成45°角,那么岸上兩點(diǎn)間的距離,就是船與海岸的距離。這種方法,由于有45°角的要求,在實(shí)際測(cè)量中受到很大的限制。古埃及人在測(cè)量金字塔的高度時(shí),使用了三角形的另一個(gè)法那么：任意兩個(gè)三角形,如果對(duì)應(yīng)角相等,那么各組對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng)的比也相等。這樣,直立在地面上的木桿高度,與它正午影子的長(zhǎng)度比,就和金字塔的高度,與它正午影長(zhǎng)加上地基寬度一半的比相等。木桿的高度和影長(zhǎng),金字塔的影長(zhǎng)和地基的寬度都可以直接量出來。所以,金字塔的高度根據(jù)比例關(guān)系就能算出來了。掌握了對(duì)應(yīng)三角形的法那么后,角度限制沒有了,一年四季里不管什么時(shí)候,都可以利用陽(yáng)光來測(cè)量高度了。需要指出的是,古埃及人雖然會(huì)使用這個(gè)法那么,卻不會(huì)象希臘人那樣能嚴(yán)格地證明它。公元前332年,古希臘的亞歷山大大帝征服了埃及,下令在那里建造了亞歷山大城。后來,這個(gè)城成了地中海的學(xué)術(shù)中心。大約在公元前240年,亞歷山大城的教師伊拉托瑟尼算出了地球子午線的長(zhǎng)度,這是幾何知識(shí)在歷史上的一次重大應(yīng)用。伊拉托瑟尼從資料中得知阿斯旺附近的西恩正好在北回歸線上。因?yàn)橄闹聊翘斓闹形?在那里的深井里能看到太陽(yáng)的倒影。這說明太陽(yáng)正好在頭頂?shù)恼戏?陽(yáng)光垂直地面,直射向地球的中心。同是夏至這一天中午,他測(cè)量了亞歷山大城的一根柱子的影子,算出了陽(yáng)光偏離垂直方向7.2°。因?yàn)殛?yáng)光是平行直射地面的,所以入射角度的這種差異應(yīng)該是說明了地球外表的彎曲情況?，F(xiàn)在我們來看看伊拉托瑟尼是怎樣運(yùn)用幾何知識(shí)算出地球子午線的長(zhǎng)度的。如圖,畫兩條平行線：一條表示亞歷山大城的太陽(yáng)光線；另一條表示西恩的太陽(yáng)光線。畫亞歷山大城的垂直線—柱子,它切割當(dāng)?shù)氐墓饩€成7.2°；切割西恩的光線于地球中心。根據(jù)平行線的內(nèi)錯(cuò)角相等的知識(shí),伊拉托瑟尼知道：亞歷山大城、地心、西恩間的角度也是7.2°；而7.2°正好是360°圓的1/50。因?yàn)槲鞫髟趤啔v山大城的正南,所以兩地間的道路大體上就在跨越南北極的大圓上。這樣,伊拉托瑟尼根據(jù)西恩到亞歷山大城是480英里,就算出了地球大圓的周長(zhǎng)等于480英里的50倍,得到24000英里(相當(dāng)于38623公里),這就是地球子午線的長(zhǎng)度了。我們知道,現(xiàn)在測(cè)得的地球子午線的長(zhǎng)度是40008.5公里,伊拉托瑟尼的誤差還不到4％。在麥哲倫首次環(huán)球航行前一千七百多年,就給出了如此精確的近似值,這確實(shí)是驚人的成績(jī)！和伊拉托瑟尼大體同時(shí)的阿基米得是那個(gè)時(shí)代最卓越的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和機(jī)械創(chuàng)造家。他制造了石弩和弩炮來打擊敵人,保衛(wèi)自己的國(guó)家。他做出了緊貼圓筒內(nèi)壁的旋轉(zhuǎn)器來抽水,解決了農(nóng)田灌溉和船艙排水的困難。著名的浮力原理,也是他在判斷皇冠是純金還是金銀混合物時(shí)發(fā)現(xiàn)的。今天我們用來測(cè)量液體密度的比重計(jì),就是依據(jù)這個(gè)原理做成的。阿基米得在數(shù)學(xué)上有許多奉獻(xiàn)。他運(yùn)用圓內(nèi)接和外切正四十八邊形周長(zhǎng)的平均數(shù),相當(dāng)精確地算出了圓周率的值是22/7。直到今天,這個(gè)數(shù)值足夠一般工程技術(shù)采用。他研究過曲線的特性,象熏蚊子的盤香那樣的曲線,我們今天就把它叫做阿基米得螺線。他還發(fā)現(xiàn)了許多求體積的方法。其中兩種球和圓柱體的求積方法,就刻在他的墓碑上。比阿基米得晚五十年的希帕卡斯,聚集了希臘幾何學(xué)的成就,編制了我們現(xiàn)在說的正弦表,這對(duì)測(cè)量和天文學(xué)極為有用。我們知道,三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于兩直角。如果三角形中有一個(gè)角為直角,一個(gè)為角A,那第三個(gè)角B就等于直角與角A的差。角A的對(duì)邊與斜邊的比,稱為角A的正弦。這個(gè)比,對(duì)于包括同樣角度A的所有直角三角形來說都是一樣的。當(dāng)A為60°、45°、30°時(shí),由勾股定理就可以確定出正弦值。希帕卡斯發(fā)現(xiàn)了另外的定理,可以算出其它許多角度的正弦值來,給天文和測(cè)量人員提供了很寬的角度范圍。以亞歷山大城為科學(xué)文化中心長(zhǎng)達(dá)七百年之久,這是一個(gè)繁榮科學(xué)技術(shù)的時(shí)代。城市大規(guī)模的建筑,頻繁的海上貿(mào)易,海陸大國(guó)之間連綿不斷的戰(zhàn)爭(zhēng),促進(jìn)了測(cè)量和制圖、航海和天文、采礦和力學(xué)的研究。希臘在數(shù)學(xué)方面的巨大成就,是不斷取得科學(xué)技術(shù)進(jìn)步的必不可少的條件。英語中的“算術(shù)〞一詞來源于希臘語。但是希臘語的“算術(shù)〞并不是今天的數(shù)字計(jì)算的意思,而很可能是指“數(shù)字游戲〞。那時(shí)候最著名的是所謂三角數(shù)字1、3、6、10等等。它們是按1、1＋2、1＋2＋3、1＋2＋3＋4等等組成的。畢達(dá)哥拉斯青年兄弟會(huì)發(fā)誓保守秘密之一,就是如何說出這組數(shù)中的任意一個(gè)是多少。其實(shí),要說出其中任一數(shù)是多少的方法很簡(jiǎn)單。比方要求第五個(gè)數(shù),就用(5＋1)去乘5,然后被2除,結(jié)果得15；要求第二十個(gè)數(shù),就用(20＋1)去乘20,然后被2除,結(jié)果得210。石子游戲可能是使希臘人找到求連續(xù)奇數(shù)和的方法的起源。從1開始,連續(xù)10個(gè)奇數(shù)的和是10×10＝100；要是增加到20個(gè)奇數(shù),那和為20×20＝400。另一種數(shù)字游戲可以用芝諾的一個(gè)著名狡辯來代表。芝諾是一個(gè)很有才能的數(shù)學(xué)家。他問道：阿溪里斯是古希臘傳說中善跑的神,要是讓他和烏龜賽跑,并假定他的速度為烏龜?shù)?0倍。烏龜先出發(fā)了100米。然后,阿溪里斯開始追趕烏龜。當(dāng)阿溪里斯跑完這100米時(shí),烏龜又已經(jīng)向前走了10米；當(dāng)阿溪里斯跑完這10米時(shí),烏龜又向前走了1米……。阿溪里斯的速度再快,走過一段距離總得有一段時(shí)間,而在這段時(shí)間里,烏龜速度再慢,也總要走出一段距離來。這樣說起來,阿溪里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜了。人們從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中知道,結(jié)果肯定不會(huì)是這樣的。阿溪里斯一定會(huì)超過烏龜?shù)?但是在很長(zhǎng)的時(shí)間里,人們不知道問題出在了哪里,當(dāng)然也就不知道怎樣才能駁倒芝諾的狡辯了。今天,我們都可以算出芝諾這個(gè)狡辯站不住腳。烏龜盡管可以100米、10米、1米、0.1米、0.01米……趕在阿溪里斯的前面；但是,這總是在離開起點(diǎn)1/9公里之內(nèi),不會(huì)超過這個(gè)范圍。所以,阿溪里斯在離開起點(diǎn)1/9公里的地方,就超過了烏龜。在這里,“永遠(yuǎn)〞并沒有迷住我們的眼睛。越來越小的許多分?jǐn)?shù)相加,不管小到何等程度,它們的總和有一個(gè)具體限度,在數(shù)學(xué)上就叫做極限。在這里,1/9公里是烏龜在前的極限,所以阿溪里斯一定能超過它。字母的使用,曾經(jīng)使希臘人大大簡(jiǎn)化了文字。他們也希望在數(shù)字計(jì)算中,能得到同樣的便利。最初,希臘人用表示一個(gè)數(shù)的字頭來代表數(shù),這就是用Δ表示10,H代表100,X表示1000,就好似英語中用T代表Ten,H代表Hundred一樣。數(shù)字再大,就按需要重復(fù)這些符號(hào)就行了。這種數(shù)的寫法和埃及的非常象。你看這兩種寫法,寫同一個(gè)數(shù)3420的樣子如圖：到公元五世紀(jì),希臘人采用了一種完全不同的記數(shù)方法。他們以頭九個(gè)字母表示1到9；接著的九個(gè)字母表示10到90；最后的九個(gè)字母表示100到900；在任何數(shù)的前面劃一道,表示這個(gè)數(shù)是原數(shù)的一千倍。這個(gè)新的數(shù)字系統(tǒng)需要27個(gè)字母,但是希臘的字母只有24個(gè),所以增加了三個(gè)古老的和外來的字母。采用這種記數(shù)方法,唯一的好處是一些大數(shù)字簡(jiǎn)短好寫,不占篇幅；嚴(yán)重的毛病是計(jì)算困難,使用很不方便。今天,我們?cè)跀?shù)學(xué)中是把字母作為一種簡(jiǎn)寫符號(hào)使用的。比方bh/2表示三角形的面積等于底乘高被2除。這種簡(jiǎn)潔的表示方法對(duì)于