應力和應變分析強度理論之應力狀態(tài)分析課件

第七章應力和應變分析強度理論目錄1第七章目錄1第七章應力狀態(tài)分析

應力狀態(tài)的概念

用解析法分析二向應力狀態(tài)

用圖解法分析二向應力狀態(tài)

三向應力狀態(tài)

廣義胡克定律

三向應力狀態(tài)下的應變能密度

強度理論概述

四種常見的強度理論目錄目錄2第七章應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)的概念目錄目錄2低碳鋼塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵1、問題的提出7—1應力狀態(tài)的概念目錄3低碳鋼塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵1、問脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿45o螺旋面斷開？低碳鋼鑄鐵7—1應力狀態(tài)的概念目錄4脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿45o螺旋面斷開？低碳鋼鑄鐵7—一、應力狀態(tài)的概念及其描述（一）、應力狀態(tài)的概念目錄5一、應力狀態(tài)的概念及其描述（一）、應力狀態(tài)的概念目錄5軸向拉壓同一橫截面上各點應力相等：FF同一點在斜截面上時：目錄6軸向拉壓同一橫截面上各點應力相等：FF同一點在斜截面上時：目此例表明：即使同一點在不同方位截面上，它的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。目錄7此例表明：即使同一點在不同方位截面上，它的應力也是各

橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。目錄8橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明

過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)（StateoftheStressesofaGivenPoint）。應力哪一個面上？

哪一點？哪一點？

哪個方向面？指明目錄9過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這應力狀態(tài)的概念2、受力構件內(nèi)應力特征：（1）構件不同截面上的應力狀況一般是不同的；（2）構件同一截面上不同點處的應力狀況一般是不同的；（3）構件同一點處，在不同方位截面上應力狀況一般是不同的。1、一點處的應力狀態(tài):受力構件內(nèi)一點處不同方位的截面上應力的集合,稱為一點處的應力狀態(tài)。10應力狀態(tài)的概念2、受力構件內(nèi)應力特征：（1）構件不同截面PA(a)abcdA(b)3、單元體法(c)（1）單元體截取方法:圍繞該點取出一個單元體。例如圖9-1a所示矩形截面懸臂梁內(nèi)A點的應力狀態(tài)11PA(a)abcdA(b)3、單元體法（2）單元體特征單元體的尺寸無限小，每個面上應力均勻分布；任意一對平行平面上的應力相等12（2）單元體特征單元體的尺寸無限小，每個面上應力均勻分布；任FF示例一S平面111目錄13FF示例一S平面111目錄131FFS平面1n同一點的應力狀態(tài)可以有各種各樣的描述方式.目錄141FFS平面1n同一點的應力狀態(tài)可以有各種各樣的描述方式.目FlaS13S平面zMzT4321yx7—1應力狀態(tài)的概念目錄15FlaS13S平面zMzT4321yx7—1應力狀態(tài)yxz單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主平面上的正應力稱為主應力，分別用表示，并且該單元體稱為主應力單元。7—1應力狀態(tài)的概念目錄16yxz單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主平面上的正空間（三向）應力狀態(tài)：三個主應力均不為零平面（二向）應力狀態(tài)：一個主應力為零單向應力狀態(tài)：兩個主應力為零7—1應力狀態(tài)的概念目錄17空間（三向）應力狀態(tài)：三個主應力均不為零平面（二向）應力狀態(tài)7-3二向應力狀態(tài)分析--解析法187-3二向應力狀態(tài)分析--解析法18xya1.正負號規(guī)則正應力：拉為正；反之為負切應力：使微元順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負。α角：由x軸正向逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時為正；反之為負。αntx7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄19xya1.正負號規(guī)則正應力：拉為正；反之為負切應力：使微元順xya2.斜截面上的應力dAαnt7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄20xya2.斜截面上的應力dAαnt7-2二向應力狀態(tài)分析列平衡方程dAαnt7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄21列平衡方程dAαnt7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄利用三角函數(shù)公式并注意到化簡得7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄22利用三角函數(shù)公式并注意到化簡得7-2二向確定正應力極值設α＝α0

時，上式值為零，即3.

正應力極值和方向即α＝α0

時，切應力為零7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄23確定正應力極值設α＝α0時，上式值為零，即3.正應力極值（2）主平面的位置以1代表max作用面的方位角，2代表min作用面的方位角。}24（2）主平面的位置以1代表max作用面的方位角，2代

若

若{25若若{25試求（1）斜面上的應力；

（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。例題1：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。已知7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄26試求（1）斜面上的應力；例題1：一點處的平面應力狀態(tài)如圖解：（1）斜面上的應力7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄27解：（1）斜面上的應力7-2二向應力狀態(tài)分析--解（2）主應力、主平面7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄28（2）主應力、主平面7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目主平面的方位：代入表達式可知主應力方向：主應力方向：7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄29主平面的方位：代入表達式可知主應力方向：主（3）主應力單元體：7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄30（3）主應力單元體：7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目例7-3-1分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原始單元體求極值應力xyCyxMCxyOxy

yx31例7-3-1分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并破壞分析低碳鋼鑄鐵32破壞分析低碳鋼鑄鐵327-3二向應力狀態(tài)分析--圖解法337-3二向應力狀態(tài)分析--圖解法33這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓7-3二向應力狀態(tài)分析--圖解法目錄34這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓7-3二向應力狀RC1.應力圓：7-3二向應力狀態(tài)分析--圖解法目錄35RC1.應力圓：7-3二向應力狀態(tài)分析--圖解法目錄3建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應力圓的畫法在坐標系內(nèi)畫出點A(x，xy)和B(y，yx)

AB與a軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓；xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)36建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應力圓的三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力(，)應力圓上一點(，)面的法線應力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2；且轉(zhuǎn)向一致。xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)37三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力(，)四、在應力圓上標出極值應力OC

aaA(x,

xy)B(

y,

yx)x2a12a0

1

2

338四、在應力圓上標出極值應力OCaaA(x,x1.定義三個主應力都不為零的應力狀態(tài)

7-5三向應力狀態(tài)目錄391.定義三個主應力都不為零的應力狀態(tài)7-5三向應力狀態(tài)目首先研究與其中一個主平面(例如主應力3所在的平面)垂直的斜截面上的應力。40首先研究與其中一個40用截面法，沿求應力的截面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對象。41用截面法，沿求應力的截41與3所在的面垂直的斜截面上的應力可由1,2作出的應力圓上的點來表示。主應力3所在的兩平面上是一對自相平衡的力，因而該斜面上的應力,與3無關,只由主應力1,2決定。42與3所在的面垂直的斜截面上的應力可由主應力3所在的與主應力2所在主平面垂直的斜截面上的應力,可用由1,3作出的應力圓上的點來表示。43與主應力2所在主平面垂直的斜截面上的應力,可用由1與主應力１所在主平面垂直的斜截面上的應力,可用由2,3作出的應力圓上的點來表示。44與主應力１所在主平面垂直的斜截面上的應力,可用由2該截面上應力和對應的D點必位于上述三個應力圓所圍成的陰影內(nèi)。abc截面表示與三個主平面斜交的任意斜截面abc45該截面上應力和對應的D點必位于上述三個應力圓所圍成的結論三個應力圓周上的點及由它們圍成的陰影部分上的點的坐標代表了空間應力狀態(tài)下所有截面上的應力。D46結論三個應力圓周上的D46D47D47該點處的最大正應力(指代數(shù)值)應等于最大應力圓上A點的橫坐標1A（9-8）48A（9-8）48最大剪應力則等于最大的應力圓上B點的縱坐標(圖9-11c)AB（9-9）49最大剪應力則等于最AB（9-9）49AB最大剪應力所在的截面與2所在平面垂直,并與1與3所在的主平面各成45°角。50AB最大剪應力所在的50上述兩

公式同樣適用于平面應力狀態(tài)或單軸應力狀態(tài),

只需將具體問題的主應力求出,并按代數(shù)值123的順序排列?？臻g應力圓畫法51上述兩公式同樣適用于平面應力狀態(tài)或單軸應力狀態(tài),空間應力圓例題9-3單元體的應力如圖a所示

,作應力圓,并求出主應力和最大剪應力值及其作用面方位。52例題9-3單元體的應力如圖a所示,作應力圓,因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力z無關,依據(jù)x截面和y截面上的應力畫出應力圓.

解:

該單元體有一個已知主應力53因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力z無關,依據(jù)oA1A246MP-26MP量得另外兩個主應力為c54oA1A246MP-26MP量得另外兩個主應力為c54該單元體的三個主應力按其代數(shù)值的大小順序排列為oA1A2c55該單元體的三個主應力按其代數(shù)值的大小順序排列為oA1A2ocA1A2B根據(jù)上述主應力，作出三個應力圓。56ocA1A2B根據(jù)上述主應力，作56ocA1B從應力圓上量得A2據(jù)此可確定1所在的主平面方位和主單元體各面間的相互位置.57ocA1B從應力圓上量得A2據(jù)此可確定1所在的57ocA1A2B其中最大剪應力所在截面與2垂直,與1和3所在的主平面各成45夾角。

58ocA1A2B其中最大剪應力所在58max59max59§7–6平面內(nèi)的應變分析一、應變分析解析法60§7–6平面內(nèi)的應變分析一、應變分析解析法602、已知一點A的應變（），畫應變圓二、應變分析圖解法——應變圓（StrainCircle）1、應變圓與應力圓的類比關系建立應變坐標系如圖在坐標系內(nèi)畫出點

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB與a

軸的交點C便是圓心以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應變圓。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)eaga/2ABC612、已知一點A的應變（），畫應變圓二、應變eaga/2三、方向上的應變與應變圓的對應關系maxmin20D(，/2)2n應力狀態(tài)與應變狀態(tài)方向上的應變(，/2)應變圓上一點(，/2)方向線應變圓的半徑兩方向間夾角兩半徑夾角2；且轉(zhuǎn)向一致。ABC62eaga/2三、方向上的應變與應變圓的對應關系maxm四、主應變數(shù)值及其方位應力狀態(tài)與應變狀態(tài)63四、主應變數(shù)值及其方位應力狀態(tài)與應變狀態(tài)63例5已知一點在某一平面內(nèi)的1、2、3、方向上的應變1、2、3，三個線應變，求該面內(nèi)的主應變。解：由i=1,2,3這三個方程求出x，y，xy；然后在求主應變。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)64例5已知一點在某一平面內(nèi)的1、2、3、方向上的例6

用45°應變花測得一點的三個線應變后，求該點的主應變。xyu45o0max應力狀態(tài)與應變狀態(tài)65例6用45°應變花測得一點的三個線應變后，求該點的主應變1.基本變形時的胡克定律yx1）軸向拉壓胡克定律橫向變形2）純剪切胡克定律

7-8廣義胡克定律目錄661.基本變形時的胡克定律yx1）軸向拉壓胡克定律橫向變形22、三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法

7-8廣義胡克定律目錄672、三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法7-8廣義胡克定律

7-8廣義胡克定律目錄687-8廣義胡克定律目錄683、廣義胡克定律的一般形式

7-8廣義胡克定律目錄693、廣義胡克定律的一般形式7-8廣義胡克定律目錄697-9復雜應力狀態(tài)的變形比能（2）各向同性材料在空間

應力狀態(tài)下的體積應變（1）概念:構件每單位體積的體積變化,稱為體積應變用表示。

123a1a2a3目錄707-9復雜應力狀態(tài)的變形比能（2）各向同性材料在空間（17-9

復雜應力狀態(tài)的應變能密度(2)在三個主應力同時存在時,單元體的應變能密度為1、應變能密度的定義：單位體積物體內(nèi)所積蓄的應變能稱為應 變能密度2、應變能密度的計算公式:(1)單向應力狀態(tài)下,物體內(nèi)所積蓄的應變能密度為717-9復雜應力狀態(tài)的應變能密度(2)將廣義胡克定律代入上式,經(jīng)整理得用表示單元體體積改變相應的那部分應變能密度，稱為

體積改變能密度。用表示與單元體形狀改變相應的那部分應變能密度,稱為形狀改變能密度或畸變能密度應變能密度

等于兩部分之和目錄72將廣義胡克定律代入上式,經(jīng)整理得用表示單元體體積改變相(a)(b)圖9—18由于兩單元體的體積應變相等，所以υv也相等。目錄73(a)(b)圖9—18由于兩單元體的體積應變相等，所以(b)圖b所示單元體的三個主應力相等，因而，變形后的形狀與原來的形狀相似，即只發(fā)生體積改變而無形狀改變。目錄74(b)圖b所示單元體的三個主應力相等，因而，變形后的形狀(a)(b)圖9—18所以，a所示單元體的體積改變能密度υv

為目錄75(a)(b)圖9—18所以，a所示單元體的體積改變能密度(a)a單元體的應變能密度為a所示單元體的體積改變應變能密度υv為目錄76(a)a單元體的應變能密度為a所示單元體的體積改變應變能密度空間應力狀態(tài)下單元體的形狀改變能密度為對于最一般的空間應力狀態(tài)下的單元體,其應變能密度為目錄77空間應力狀態(tài)下單元體的形狀改變能密度為對于最一般的空間應（拉壓）（彎曲）（正應力強度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應力強度條件）1.桿件基本變形下的強度條件7-10、強度理論概述目錄78（拉壓）（彎曲）（正應力強度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應力強滿足是否強度就沒有問題了？7-10、強度理論概述目錄79滿足是否強度就沒有問題了？7-10、強度理論概述目錄79強度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。為了建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關于材料破壞原因的假設及計算方法。7-11、四種常見強度理論目錄80強度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了構件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式(1)脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關于屈服的強度理論：最大切應力理論和形狀改變比能理論(2)塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關于斷裂的強度理論：最大拉應力理論和最大伸長線應變理論7-11、四種常見強度理論目錄81構件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式(1)脆性斷裂：材料1.最大拉應力理論（第一強度理論）材料發(fā)生斷裂的主要因素是最大拉應力達到極限值－構件危險點的最大拉應力－極限拉應力，由單拉實驗測得7-11、四種常見強度理論目錄821.最大拉應力理論（第一強度理論）材料發(fā)生斷裂的主要因斷裂條件強度條件1.最大拉應力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)7-11、四種常見強度理論目錄83斷裂條件強度條件1.最大拉應力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸2.最大伸長線應變理論（第二強度理論）無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應變（線變形）達到簡單拉伸時的破壞伸長應變數(shù)值。－構件危險點的最大伸長線應變－極限伸長線應變，由單向拉伸實驗測得7-11、四種常見強度理論目錄842.最大伸長線應變理論（第二強度理論）無論材料處于實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。強度條件2.最大伸長線應變理論（第二強度理論）斷裂條件即7-11、四種常見強度理論目錄85實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應力狀態(tài)的脆強度條件2.無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元內(nèi)的最大切應力達到了某一極限值。3.最大切應力理論（第三強度理論）－構件危險點的最大切應力－極限切應力，由單向拉伸實驗測得7-11、四種常見強度理論目錄86無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元屈服條件強度條件3.最大切應力理論（第三強度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)7-11、四種常見強度理論目錄87屈服條件強度條件3.最大切應力理論（第三強度理論）低碳鋼拉實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實。局限性：2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象，1、未考慮的影響，試驗證實最大影響達15%。3.最大切應力理論（第三強度理論）7-11、四種常見強度理論目錄88實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到局限性：2無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的畸變能密度達到一個極限值。4.畸變能密度理論（第四強度理論）－構件危險點的形狀改變比能－形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得7-11、四種常見強度理論目錄89無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元屈服條件強度條件4.畸變能密度理論（第四強度理論）實驗表明：對塑性材料，此理論比第三強度理論更符合試驗結果，在工程中得到了廣泛應用。7-11、四種常見強度理論目錄90屈服條件強度條件4.畸變能密度理論（第四強度理論）實驗表明：強度理論的統(tǒng)一表達式：相當應力7-11、四種常見強度理論目錄91強度理論的統(tǒng)一表達式：相當應力7-11、四種常見強度理論目錄

各種強度理論的適用范圍及其應用1、在三向拉伸應力狀態(tài)下，會脆斷破壞，無論是脆性或塑性材料，均宜采用最大拉應力理論。2、對于塑性材料如低C鋼，除三向拉應力狀態(tài)以外的復雜應力狀態(tài)下，都會發(fā)生屈服現(xiàn)象，可采用第三、第四強度理論。目錄92各種強度理論的適用范圍及其應用1、在三

3、對于脆性材料，在二向拉應力狀態(tài)下，應采用最大拉應力理論。4、在三向壓應力狀態(tài)下，材料均發(fā)生屈服失效，無論是脆性或塑性材料均采用第四強度理論。目錄933、對于脆性材料，在二向拉應力狀態(tài)下，4、在三向壓應

例題7–3

兩端簡支的工字鋼梁承受載荷如圖(a)所示。已知其材料Q235鋼的=170MPa,=100MPa。

試按強度條件選擇工字鋼的號碼。200KN200KNCDAB0.420.421.662.50例題10-3圖（a）單位：m目錄94例題7–3兩端簡支的工字鋼梁承受載荷如圖(a)200KN200KNCDAB0.420.421.662.50解：作鋼梁的內(nèi)力圖。(c)8４kN.mM圖(b)Q圖200kN200kNQc=Qmax=200kNMc=Mmax=84kN.mC,D為危險截面按正應力強度條件選擇截面取C截面計算目錄95200KN200KNCDAB0.420.421.662.50正應力強度條件為選用28a工字鋼，其截面的W=508cm3按剪應力強度條件進行校核

對于28a工字鋼的截面，查表得12213.7126.32808.513.7

126.3目錄96正應力強度條件為選用28a工字鋼，其截面的按剪應最大切應力為選用28a

鋼能滿足切應力的強度要求。目錄97最大切應力為選用28a鋼能滿足切應力的強度要求。目錄97a(e)a點的應力狀態(tài)如圖e所示a點的三個主應力為由于材料是Q235鋼，所以在平面應力狀態(tài)下，應按第四強度理論來進行強度校核。目錄98a(e)a點的應力狀態(tài)如圖e所示a點的三個主應力為由于材第七章應力和應變分析強度理論目錄99第七章目錄1第七章應力狀態(tài)分析

應力狀態(tài)的概念

用解析法分析二向應力狀態(tài)

用圖解法分析二向應力狀態(tài)

三向應力狀態(tài)

廣義胡克定律

三向應力狀態(tài)下的應變能密度

強度理論概述

四種常見的強度理論目錄目錄100第七章應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)的概念目錄目錄2低碳鋼塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵1、問題的提出7—1應力狀態(tài)的概念目錄101低碳鋼塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵1、問脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿45o螺旋面斷開？低碳鋼鑄鐵7—1應力狀態(tài)的概念目錄102脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿45o螺旋面斷開？低碳鋼鑄鐵7—一、應力狀態(tài)的概念及其描述（一）、應力狀態(tài)的概念目錄103一、應力狀態(tài)的概念及其描述（一）、應力狀態(tài)的概念目錄5軸向拉壓同一橫截面上各點應力相等：FF同一點在斜截面上時：目錄104軸向拉壓同一橫截面上各點應力相等：FF同一點在斜截面上時：目此例表明：即使同一點在不同方位截面上，它的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。目錄105此例表明：即使同一點在不同方位截面上，它的應力也是各

橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。目錄106橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明

過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)（StateoftheStressesofaGivenPoint）。應力哪一個面上？

哪一點？哪一點？

哪個方向面？指明目錄107過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這應力狀態(tài)的概念2、受力構件內(nèi)應力特征：（1）構件不同截面上的應力狀況一般是不同的；（2）構件同一截面上不同點處的應力狀況一般是不同的；（3）構件同一點處，在不同方位截面上應力狀況一般是不同的。1、一點處的應力狀態(tài):受力構件內(nèi)一點處不同方位的截面上應力的集合,稱為一點處的應力狀態(tài)。108應力狀態(tài)的概念2、受力構件內(nèi)應力特征：（1）構件不同截面PA(a)abcdA(b)3、單元體法(c)（1）單元體截取方法:圍繞該點取出一個單元體。例如圖9-1a所示矩形截面懸臂梁內(nèi)A點的應力狀態(tài)109PA(a)abcdA(b)3、單元體法（2）單元體特征單元體的尺寸無限小，每個面上應力均勻分布；任意一對平行平面上的應力相等110（2）單元體特征單元體的尺寸無限小，每個面上應力均勻分布；任FF示例一S平面111目錄111FF示例一S平面111目錄131FFS平面1n同一點的應力狀態(tài)可以有各種各樣的描述方式.目錄1121FFS平面1n同一點的應力狀態(tài)可以有各種各樣的描述方式.目FlaS13S平面zMzT4321yx7—1應力狀態(tài)的概念目錄113FlaS13S平面zMzT4321yx7—1應力狀態(tài)yxz單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主平面上的正應力稱為主應力，分別用表示，并且該單元體稱為主應力單元。7—1應力狀態(tài)的概念目錄114yxz單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主平面上的正空間（三向）應力狀態(tài)：三個主應力均不為零平面（二向）應力狀態(tài)：一個主應力為零單向應力狀態(tài)：兩個主應力為零7—1應力狀態(tài)的概念目錄115空間（三向）應力狀態(tài)：三個主應力均不為零平面（二向）應力狀態(tài)7-3二向應力狀態(tài)分析--解析法1167-3二向應力狀態(tài)分析--解析法18xya1.正負號規(guī)則正應力：拉為正；反之為負切應力：使微元順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負。α角：由x軸正向逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時為正；反之為負。αntx7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄117xya1.正負號規(guī)則正應力：拉為正；反之為負切應力：使微元順xya2.斜截面上的應力dAαnt7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄118xya2.斜截面上的應力dAαnt7-2二向應力狀態(tài)分析列平衡方程dAαnt7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄119列平衡方程dAαnt7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄利用三角函數(shù)公式并注意到化簡得7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄120利用三角函數(shù)公式并注意到化簡得7-2二向確定正應力極值設α＝α0

時，上式值為零，即3.

正應力極值和方向即α＝α0

時，切應力為零7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄121確定正應力極值設α＝α0時，上式值為零，即3.正應力極值（2）主平面的位置以1代表max作用面的方位角，2代表min作用面的方位角。}122（2）主平面的位置以1代表max作用面的方位角，2代

若

若{123若若{25試求（1）斜面上的應力；

（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。例題1：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。已知7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄124試求（1）斜面上的應力；例題1：一點處的平面應力狀態(tài)如圖解：（1）斜面上的應力7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄125解：（1）斜面上的應力7-2二向應力狀態(tài)分析--解（2）主應力、主平面7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄126（2）主應力、主平面7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目主平面的方位：代入表達式可知主應力方向：主應力方向：7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄127主平面的方位：代入表達式可知主應力方向：主（3）主應力單元體：7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目錄128（3）主應力單元體：7-2二向應力狀態(tài)分析--解析法目例7-3-1分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原始單元體求極值應力xyCyxMCxyOxy

yx129例7-3-1分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并破壞分析低碳鋼鑄鐵130破壞分析低碳鋼鑄鐵327-3二向應力狀態(tài)分析--圖解法1317-3二向應力狀態(tài)分析--圖解法33這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓7-3二向應力狀態(tài)分析--圖解法目錄132這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓7-3二向應力狀RC1.應力圓：7-3二向應力狀態(tài)分析--圖解法目錄133RC1.應力圓：7-3二向應力狀態(tài)分析--圖解法目錄3建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應力圓的畫法在坐標系內(nèi)畫出點A(x，xy)和B(y，yx)

AB與a軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓；xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)134建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應力圓的三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力(，)應力圓上一點(，)面的法線應力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2；且轉(zhuǎn)向一致。xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)135三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力(，)四、在應力圓上標出極值應力OC

aaA(x,

xy)B(

y,

yx)x2a12a0

1

2

3136四、在應力圓上標出極值應力OCaaA(x,x1.定義三個主應力都不為零的應力狀態(tài)

7-5三向應力狀態(tài)目錄1371.定義三個主應力都不為零的應力狀態(tài)7-5三向應力狀態(tài)目首先研究與其中一個主平面(例如主應力3所在的平面)垂直的斜截面上的應力。138首先研究與其中一個40用截面法，沿求應力的截面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對象。139用截面法，沿求應力的截41與3所在的面垂直的斜截面上的應力可由1,2作出的應力圓上的點來表示。主應力3所在的兩平面上是一對自相平衡的力，因而該斜面上的應力,與3無關,只由主應力1,2決定。140與3所在的面垂直的斜截面上的應力可由主應力3所在的與主應力2所在主平面垂直的斜截面上的應力,可用由1,3作出的應力圓上的點來表示。141與主應力2所在主平面垂直的斜截面上的應力,可用由1與主應力１所在主平面垂直的斜截面上的應力,可用由2,3作出的應力圓上的點來表示。142與主應力１所在主平面垂直的斜截面上的應力,可用由2該截面上應力和對應的D點必位于上述三個應力圓所圍成的陰影內(nèi)。abc截面表示與三個主平面斜交的任意斜截面abc143該截面上應力和對應的D點必位于上述三個應力圓所圍成的結論三個應力圓周上的點及由它們圍成的陰影部分上的點的坐標代表了空間應力狀態(tài)下所有截面上的應力。D144結論三個應力圓周上的D46D145D47該點處的最大正應力(指代數(shù)值)應等于最大應力圓上A點的橫坐標1A（9-8）146A（9-8）48最大剪應力則等于最大的應力圓上B點的縱坐標(圖9-11c)AB（9-9）147最大剪應力則等于最AB（9-9）49AB最大剪應力所在的截面與2所在平面垂直,并與1與3所在的主平面各成45°角。148AB最大剪應力所在的50上述兩

公式同樣適用于平面應力狀態(tài)或單軸應力狀態(tài),

只需將具體問題的主應力求出,并按代數(shù)值123的順序排列?？臻g應力圓畫法149上述兩公式同樣適用于平面應力狀態(tài)或單軸應力狀態(tài),空間應力圓例題9-3單元體的應力如圖a所示

,作應力圓,并求出主應力和最大剪應力值及其作用面方位。150例題9-3單元體的應力如圖a所示,作應力圓,因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力z無關,依據(jù)x截面和y截面上的應力畫出應力圓.

解:

該單元體有一個已知主應力151因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力z無關,依據(jù)oA1A246MP-26MP量得另外兩個主應力為c152oA1A246MP-26MP量得另外兩個主應力為c54該單元體的三個主應力按其代數(shù)值的大小順序排列為oA1A2c153該單元體的三個主應力按其代數(shù)值的大小順序排列為oA1A2ocA1A2B根據(jù)上述主應力，作出三個應力圓。154ocA1A2B根據(jù)上述主應力，作56ocA1B從應力圓上量得A2據(jù)此可確定1所在的主平面方位和主單元體各面間的相互位置.155ocA1B從應力圓上量得A2據(jù)此可確定1所在的57ocA1A2B其中最大剪應力所在截面與2垂直,與1和3所在的主平面各成45夾角。

156ocA1A2B其中最大剪應力所在58max157max59§7–6平面內(nèi)的應變分析一、應變分析解析法158§7–6平面內(nèi)的應變分析一、應變分析解析法602、已知一點A的應變（），畫應變圓二、應變分析圖解法——應變圓（StrainCircle）1、應變圓與應力圓的類比關系建立應變坐標系如圖在坐標系內(nèi)畫出點

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB與a

軸的交點C便是圓心以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應變圓。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)eaga/2ABC1592、已知一點A的應變（），畫應變圓二、應變eaga/2三、方向上的應變與應變圓的對應關系maxmin20D(，/2)2n應力狀態(tài)與應變狀態(tài)方向上的應變(，/2)應變圓上一點(，/2)方向線應變圓的半徑兩方向間夾角兩半徑夾角2；且轉(zhuǎn)向一致。ABC160eaga/2三、方向上的應變與應變圓的對應關系maxm四、主應變數(shù)值及其方位應力狀態(tài)與應變狀態(tài)161四、主應變數(shù)值及其方位應力狀態(tài)與應變狀態(tài)63例5已知一點在某一平面內(nèi)的1、2、3、方向上的應變1、2、3，三個線應變，求該面內(nèi)的主應變。解：由i=1,2,3這三個方程求出x，y，xy；然后在求主應變。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)162例5已知一點在某一平面內(nèi)的1、2、3、方向上的例6

用45°應變花測得一點的三個線應變后，求該點的主應變。xyu45o0max應力狀態(tài)與應變狀態(tài)163例6用45°應變花測得一點的三個線應變后，求該點的主應變1.基本變形時的胡克定律yx1）軸向拉壓胡克定律橫向變形2）純剪切胡克定律

7-8廣義胡克定律目錄1641.基本變形時的胡克定律yx1）軸向拉壓胡克定律橫向變形22、三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法

7-8廣義胡克定律目錄1652、三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法7-8廣義胡克定律

7-8廣義胡克定律目錄1667-8廣義胡克定律目錄683、廣義胡克定律的一般形式

7-8廣義胡克定律目錄1673、廣義胡克定律的一般形式7-8廣義胡克定律目錄697-9復雜應力狀態(tài)的變形比能（2）各向同性材料在空間

應力狀態(tài)下的體積應變（1）概念:構件每單位體積的體積變化,稱為體積應變用表示。

123a1a2a3目錄1687-9復雜應力狀態(tài)的變形比能（2）各向同性材料在空間（17-9

復雜應力狀態(tài)的應變能密度(2)在三個主應力同時存在時,單元體的應變能密度為1、應變能密度的定義：單位體積物體內(nèi)所積蓄的應變能稱為應 變能密度2、應變能密度的計算公式:(1)單向應力狀態(tài)下,物體內(nèi)所積蓄的應變能密度為1697-9復雜應力狀態(tài)的應變能密度(2)將廣義胡克定律代入上式,經(jīng)整理得用表示單元體體積改變相應的那部分應變能密度，稱為

體積改變能密度。用表示與單元體形狀改變相應的那部分應變能密度,稱為形狀改變能密度或畸變能密度應變能密度

等于兩部分之和目錄170將廣義胡克定律代入上式,經(jīng)整理得用表示單元體體積改變相(a)(b)圖9—18由于兩單元體的體積應變相等，所以υv也相等。目錄171(a)(b)圖9—18由于兩單元體的體積應變相等，所以(b)圖b所示單元體的三個主應力相等，因而，變形后的形狀與原來的形狀相似，即只發(fā)生體積改變而無形狀改變。目錄172(b)圖b所示單元體的三個主應力相等，因而，變形后的形狀(a)(b)圖9—18所以，a所示單元體的體積改變能密度υv

為目錄173(a)(b)圖9—18所以，a所示單元體的體積改變能密度(a)a單元體的應變能密度為a所示單元體的體積改變應變能密度υv為目錄174(a)a單元體的應變能密度為a所示單元體的體積改變應變能密度空間應力狀態(tài)下單元體的形狀改變能密度為對于最一般的空間應力狀態(tài)下的單元體,其應變能密度為目錄175空間應力狀態(tài)下單元體的形狀改變能密度為對于最一般的空間應（拉壓）（彎曲）（正應力強度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應力強度條件）1.桿件基本變形下的強度條件7-10、強度理論概述目錄176（拉壓）（彎曲）（正應力強度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應力強滿足是否強度就沒有問題了？7-10、強度理論概述目錄177滿足是否強度就沒有問題了？7-10、強度理論概述目錄79強度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。為了建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關于材料破壞原因的假設及計算方法。7-11、四種常見強度理論目錄178強度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了構件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式(1)脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關于屈服的強度理論：最大切應力理論和形狀改變比能理論(2)塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關于斷裂的強度理論：最大拉應力理論和最大伸長線應變理論7-11、四種常見強度理論目錄179構件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式(1)脆性斷裂：材料1.最大拉應力理論（第一強度理論）材料發(fā)生斷裂的主要因素是最大拉應力達到極限值－構件危險點的最大拉應力－極限拉應力，由單拉實驗測得7-11、四種常見強度理論目錄1801.最大拉應力理論（第一強度理論）材料發(fā)生斷裂的主要因斷裂條件強度條件1.最大拉應力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)7-11、四種常見強度理論目錄181斷裂條件強度條件1.最大拉應力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸2.最大伸長線應變理論（第二強度理論）無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應變（線變形）達到簡單拉伸時的破壞伸長應變數(shù)值。－構