2021年廣東省深圳市寶安區(qū)高考數(shù)學押題試卷(5月份)

2021年廣東省深圳市寶安區(qū)富源學校高考數(shù)學押題試卷（5月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（5分）設集合A={『| 集合B={xly=/g（x2+2r-3）},則AH（RS）=（）A.（…，-3）B.（-1,+8）C.[-3,1]D.[-3,-1）TOC\o"1-5"\h\z（5分）設復數(shù)z滿足lz-2il=l,在復平面內z對應的點到原點距離的最大值是（ ）A.1 B.避 C.i D.3（5分）已知向量0=（2,2jg）,若（a+3b）-L 則b在心的投影是（ ）3 3 4 4A.— B. C.— D. 4 4 3 3（5分）清明節(jié)前夕，某校團委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”主題滿講比賽，經(jīng)過初賽，共有10人進入決賽，其中高一年級3人，高二年級3人，高三年級4人，現(xiàn)采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二年級3人相鄰的前提下，高一年級3人不相鄰的概率為（ ）TOC\o"1-5"\h\z5 7 9 5A. B. C. D. 12 12 14 14（5分）已知函數(shù)/G）=x2?log2lxl,其圖象可能是（ ）

（5分）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，講的是關于整除的問題.現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2021這2021個正整數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列｛（｝,則數(shù)列｛4｝各項的和為（ ）A.137835 B.137836 C.135809 D.135810（5分）水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隨而盛于唐，距今已有1000多年的歷史是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點A（3.—3遮；出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時120秒.經(jīng)過t秒后，水斗旋轉到P點、，設點P的坐標為（x,y）,其縱坐標滿足Xy=/（t）=-??sin（a）I-|-（p）（t>0,a）>0,|（P|<一:,則下列敘述正確的是XA.g= 6B.當作［0,60］時，函數(shù)y=f（f）單調遞增C.當，=100時，IB4I=6D.當代［0,60］,\f（r）I的最大值為34（5分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且碉=2,a”+i=S”，若（0,2020）,則稱項TOC\o"1-5"\h\z%為“和諧項”，則數(shù)列｛（｝的所有“和諧項”的平方和為（ ）I-"_i_81sz△114 1 .io,8 1 .124A.X4~r—B.—X4 C.—X4十—D.—X4 3 33 3 3 33 3二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分.（多選）9.（5分）已知0<a<b<lVc,則下列不等式一定成立的是（ ）A.ac<b（ B,c0<cbC.logoc>logfoc D.sinc>sina（多選）10.（5分）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究、應用與推廣，發(fā)明了“三系法”釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食安全、農業(yè)科學發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻；某雜交水稻種植研究所調查某地水稻的株高，得出株高（單位：a”）服從正態(tài)分布，其密度曲線, （?-W—函數(shù)為，（旬=———e200 , 則下列說法正確的是ioysx（）A.該地水稻的平均株高為100c,”B.該地水稻株高的方差為10C.隨機測量一株水稻，其株高在120c機以上的概率比株高在70cm以下的概率大

D.隨機測量一株水稻，其株高在（80,90）和在（100,110）（單位：c/n）的概率一樣（多選）11.（5分）在菱形ABCO中，AB=2,N48c=60°,將菱形48。沿對角線AC折成大小為。（0G（0°,180°））的二面角B-AC-。，四面體A8CZ）內接于球。，下列說法正確的是（ ）A.四面體ABC。的體積的最大值是1B.無論。為何值，都有A8_L￡）CC.四面體48C。的表面積的最大值是4+24D.當D.當8=60°時，球。的體積為52，j歌

81（多選）12.（5分）已知函數(shù)/（2）=25?—1。81X,且實數(shù)a,b,cCa>b>c>0）滿足T/（a）f（b）/（c）<0.若實數(shù)a是函數(shù)y=f（x）的一個零點，那么下列不等式中可能成立的是（ ）A.N）V〃 B.x0>a C.x0</? D.x0<c三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.1（5分）己如直線/的斜率為一，且和坐標軸圍成的三角形的面積為3,則直線/的方程6為.（5分）若3+L）（a?H■—L；的展開式中x2的系數(shù)為224,則正實數(shù)。的值為.（5分）請寫出一個函數(shù)/（X）=,使之同時具有如下性質：①VxeR,f（x）=f（4-x）,②Vx6R,f（x+4）=f（x）.（5分）在棱長為1的正方體ABCO-A|B|GOi中，M'N分別是Ag,4向的中點，點P在其表面上運動，使MP與BN垂直，則線段BP的最大值是.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。廠bcqsB+1-（10分）在①^=—- ,②2bsinA=atanB,③（a-c）sinA+csin（A+B）=ay3sinA戾inB這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.己知△ABC的內角4,B,C所對的邊分別是a,b,c,若.(1)求角8；(2)若a+c=4,求△ABC周長的最小值，并求出此時AABC的面積.(12分)已知遞增等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為5”，且與=2,$3=7.(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；(2)令粼="%,求數(shù)列｛.｝的前〃項和，；(3)記C.二3°一2，(- 是否存在實數(shù)人使得對任意的〃6N*,恒有c?+1>cn?若存在，求出入的取值范圍；若不存在，說明理由?(12分)在四棱錐尸-48CO中，平面A8COJ_平面PCO,底面A8CO為梯形，AB//CD,AD1DC,且AB=1,4O=OC=OP=2,ZPDC=120".(I)求證：AD±PC；(ID求二面角P-AB-C的余弦值：(III)若M是樓布的中點，求證：對于極BC上任意一點凡M尸與尸C都不平行.(12分)某電器企業(yè)統(tǒng)計了近10年的年利潤額y(千萬元)與投入的年廣告費用x(十萬元)的相關數(shù)據(jù)，散點圖如圖，對數(shù)據(jù)作出如下處理：令勺=阮中％.=/〃》,得到相關數(shù)據(jù)如表所示：10Zuivi10j=110SV,i=l10￡uri=l30.5151546.5

年利潤額/千萬元2；d一2：Ag力二啟1'61’820為24之6力下「廣告費用/十萬元(1)從①y=bx+a；?y=m*xk(/n>0,4>0)；三個函數(shù)中選擇一個作為年廣告費用x和年利潤額y的回歸類型，判斷哪個類型符合，不必說明理由；(2)根據(jù)(1)中選擇的回歸類型，求出y與x的回歸方程；(3)預計要使年利潤額突破1億，下一年應至少投入多少廣告費用？(結果保留到萬元)10參考數(shù)據(jù)：—~3.6788,3.6788~49.787.T參考公式：回歸方程￥=口+卜/中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=n.X儲一刀(兀7)，q=y~bt-21.(21.(12分)已知橢圓C：y—=1(a>6>0)的離心率-直線a-y十修=0與橢圓C有且只有一個公共點.(I)求橢圓C的標準方程(II)設點A(—，T，0)，5(73,o；，P為橢圓c上一點，且直線力與尸8的斜率2乘積為 ，點M,N是橢圓C上不同于A,8的兩點，且滿足AP〃OM,BP//ON,3求證：△OMN的面積為定值.22.(12分)已知函數(shù)f(x)=ev-e~x-asinx,a>0,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當x>0,f(x)>0,求a的取值范圍；(2)當x>l時，求證:-x+— >sinx-sinUnx).2021年廣東省深圳市寶安區(qū)富源學校高考數(shù)學押題試卷（5月

份）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.?1（5分）設集合,={工|2<^},集合B={xly=/g（N+Zr-3）},貝ijAC（CRB）=（）A.（-8,-3）B.（-1,+8）C.[-3,1] D.[-3,-1）【分析】由已知先求出集合A,B,以及集合8的補集，進而可以求解.【解答】解：由已知可得集合4={X氏<-1},令x2+2x-3>0,解得x>l或xV-3,所以集合8={xlx>1或x<-3）,則Cr8={xI-30W1}，所以4。（CrB）=[-3,-1）,故選：D.【點評】本題考查了集合的運算關系，涉及到指數(shù)不等式以及一元二次不等式的求解，考查了學生的運算求解能力，屬于基礎題.（5分）設復數(shù)z滿足lz-2il=l,在復平面內z對應的點到原點距離的最大值是（ ）A.1 B.避 C.述 D.3【分析】先利用模的幾何意義得到復數(shù)z對應的點Z的軌跡，然后由圓上的點與圓外的點的距離的最值求解即可.【解答】解：因為lz-2il=l,故復數(shù)z對應的點Z的軌跡是以C（0,2）為圓心，1為半徑的圓，又OC=2,所以在復平面內z對應的點到原點距離的最大值是2+1=3.故選：D.【點評】本題考查了復數(shù)模的幾何意義的理解和應用，圓上點的最值問題的求解，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.TOC\o"1-5"\h\z（5分）已知向量3=（2,2百），若（之+3芯）±Q,則另在之上的投影是（ ）S 3 4 4A.— B. C.— D. 4 4 3 3【分析】可求出|%|=4,根據(jù)G+3%）_L1即可得出區(qū)+3石），%=0，進行數(shù)量—F16積的運算即可求出Q?b= ,然后根據(jù)投影的計算公式即可求出投影的值.3【解答】解：=4,值+0），￡（a+3b）?o=a+3a，H=16+3a，b=0，—f--f_ a 4...b在。上的投影是_>-=——.Ia| 3故選：D.【點評】本題考查了根據(jù)向量的坐標求向量長度的方法，向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運算，投影的計算公式，考查了計算能力，屬于基礎題.（5分）清明節(jié)前夕，某校團委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”主題滿講比賽，經(jīng)過初賽，共有10人進入決賽，其中高一年級3人，高二年級3人，高三年級4人，現(xiàn)采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二年級3人相鄰的前提下，高一年級3人不相鄰的概率為（ ）TOC\o"1-5"\h\z5 7 9 5A. B. C. D. 12 12 14 14【分析】基本事件總數(shù)h=a!a!.其中高一3人不相鄰包含的基本事件個數(shù)m=3 0由此能求出高一年級3人不相鄰的概率.【解答】解：共有10人進入決賽，其中高一年級3人，高二年級3人，高三年級4人，采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，高二年級3人相鄰，基本事件總數(shù)"=A：A241920,3 03 5 3其中高一3人不相鄰包含的基本事件個數(shù)m=A；A；A1=86400,0Ou

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"m86400 5.??高一年級3人不相鄰的概率P=—— ——\o"CurrentDocument"n241920 14故選：D.【點評】本題考查概率的運算，涉及到古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.5.(5分)已知函數(shù)/己)5.(5分)已知函數(shù)/己)=x2*log2M>其圖象可能是( )趨勢，排除即可得答案.先分析函數(shù)的奇偶性，排除BC,再分析函數(shù)的變化【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=x2*log2lrl,其定義域為{xk聲0},則f(-x)=x2,log2W=/(jc),即函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，排除BC,當x-+8時，f(x)為增函數(shù)且增加得越來越快，排除

故選：A.【點評】本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的定義域、奇偶性以即函數(shù)值符號的分析,屬于基礎題.（5分）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，講的是關于整除的問題.現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2021這2021個正整數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列｛冊｝,則數(shù)列｛%｝各項的和為（ ）A.137835 B.137836 C.135809 D.135810【分析】首先利用數(shù)列的數(shù)據(jù)關系求出數(shù)列的通項公式，進一步利用等差數(shù)列的前〃項和公式求出數(shù)列的和.【解答】解：由于數(shù)列中的數(shù)能被3除余1且被5除余1的數(shù)，故為=15〃-14,當“=135時，an5=15X135-14=2011,所以5儂=所以5儂=135XQ+2011)2=135810.故選：D.【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法，等差數(shù)列的求和，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題.（5分）水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隨而盛于唐，距今已有1000多年的歷史是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點A（3,—3毒；出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時120秒.經(jīng)過t秒后，水斗旋轉到P點，設點P的坐標為（x,y）,其縱坐標滿足Xy=/(t)=Rsi+(p)(t之0,3>0,|中|V—:,則下列敘述正確的是XA.Q= 6B.當正[0,60]時，函數(shù)y=f(f)單調遞增C.當1=100時，IB4I=6D.當代[0,60],\f(r)I的最大值為34【分析】求出圓的半徑R，利用周期求出3,通過三角函數(shù)的解析式求出初相，再利用正弦函數(shù)的性質判斷求解即可.【解答】解：由題意，R=J3’+(-3通)2=6,T=120，2HX所以3= =—;T60又點從(3?—3，密代入f(x)可得一3，W=6sin(p，73解得(p=---；2TOC\o"1-5"\h\zJ X又|甲|V—,所以(p= -故A錯誤；\o"CurrentDocument"2 3八，」又 兀、 冗兀 2工,所以/(i)=6s】n(t ,,當/g[0,60]時,-t G[ > ],所以\o"CurrentDocument"60 3 60 3 6 3函數(shù)/(x)先增后減，故8錯誤；K.X4K當，=100時，1 = 9P的縱坐標為y=一34，橫坐標為x=-3,60 3 3所以方=1-3-31=6,故C正確.r6[0,60]時，點P到x軸的距離的最大值為6,故。錯誤；故選：C.【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質，考查學生的運算能力，屬于中檔題.（5分）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，且勺=2,%+i=5“，若冊6（0,2020）,則稱項品為“和諧項”，則數(shù)列｛%,｝的所有“和諧項”的平方和為（ ）11 8 1..?11 4 1io.8 1...124A.—X4~| B.—X4 C.—X4H D.—X4 3 3 3 3 3 3 3 3a+i【分析】根據(jù)a”+i=S”得出a,=Sn）（n>2）,然后兩式相減，得出——=2,再an12rl然后根據(jù)為=2得出a2=2以及= 最后根據(jù)“和諧項”的定義得n[2,n=l出通過等比數(shù)列前n項和公式求和即可得出結果.【解答】解：因為4+[=5〃，所以4=5〃I(〃》2),則an+1-a,=5?-s?即an+l_an=an'an+\=2an'G+i所以 =2(n>2；,因為白]=2,所以°2=5]=。1=2,TOC\o"1-5"\h\zQ -n故a=｛ ,[2、n=l因為anE(0,2020),所以1/W11,于是數(shù)列｛4｝的所有"和諧項”的平方和為：Q；+/+…+°；+。：=4+4+42+…+4/=4+4?一:)=4+41412 io11 1-4 3故選：A.【點評】本題考查數(shù)列的前n項和的求法，考查等比數(shù)列的定義以及數(shù)列通項公式的求法，能否正確理解”和諧項”是解決本題的關鍵，考查計算能力，是中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9.（5分）已知OVaVbVIVc,則下列不等式一定成立的是（ ）A.ac<b< B.d<cbC.logac>logfoc D.sinc>sina第13頁（共32頁）【分析】根據(jù)已知條件，結合函數(shù)的單調性，即可求解.【解答】解：對于A,哥函數(shù)y=下在（0,1）上是增函數(shù)，".'0<a<b<1<c,.,.acV*,故4正確，對于8,指數(shù)函數(shù)y=c1r在（0,1）上是增函數(shù)，'：0<a<b<\<c,：.c0<cb,故8正確，11對于C,Vlogcfl<logri<0,fogc= ,logc= ,log’Q logblog,/>logw,故C正確，兀對于。，令c=n,a=—,滿足0caCbCIVc,但sinc<sina,故。錯誤.4故選：ABC.【點評】本題主要考查不等式的性質，掌握函數(shù)的單調性是解本題的關鍵，屬于基礎題.（多選）10.（5分）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究、應用與推廣，發(fā)明了“三系法”釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食安全、農業(yè)科學發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻；某雜交水稻種植研究所調查某地水稻的株高，得出株高（單位：c/n）服從正態(tài)分布，其密度曲線, （?-W—函數(shù)為，（T）= --e 200 , +8），則下列說法正確的是ioyzx（）A.該地水稻的平均株高為lOOcwB.該地水稻株高的方差為10C.隨機測量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.隨機測量一株水稻，其株高在（80,90）和在（100,110）（單位：cm）的概率一樣【分析】由已知可得=100,?=10.由此判斷4正確，B錯誤：然后再由。、2。、3。原則求解概率判斷C與。.【解答】解：由正態(tài)分布密度曲線函數(shù)為, （af-100}1- - f（x）=— e200 ?3；￡（-8,+8）,10A得=100,O=10.

...該地水稻的平均株高為E（X）=100cw,故A正確；該地水稻株高的標準差。=10,方差為100,故8錯誤；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1'：P（X>120）=[1-P（-2o<X<+2o）]=——（1-0.9544）=0.0228,\o"CurrentDocument"2\o"CurrentDocument"1 1P(X<70)=—[1-P(-3。<X<+3。)]=一(1-0.9974)=0.0013,\o"CurrentDocument"2 2隨機測量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cvn以下的概率大，故C正確；P(80<X<90)=[P(-2o<X<+2o)-P(-o<X<+o)]1=(0.9544-0.6826)=0.1359,2P(100<X<110)=一[P(-0<x<+0)]=一X0.6826=0.3413.2 2隨機測量一株水稻，其株高在（80.90）和在（100,110）（單位：cm）的概率不一樣大，故。錯誤.故選：AC.【點評】本題考查正態(tài)分布密度曲線函數(shù)，考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量和。的應用，考查曲線的對稱性，屬于基礎題.（多選）11.（5分）在菱形A8CO中，AB=2,NABC=60°,將菱形A8C。沿對角線AC折成大小為。（06（0°,180°））的二面角8-4C-0,四面體A8C。內接于球。，下列說法正確的是（ ）A.四面體ABC。的體積的最大值是1B.無論。為何值，都有A8_LOCC.四面體48co的表面積的最大值是4+2/D.當D.當3=60°時，球。的體積為52/1歌

81【分析】對于A,設二面角8-4。-。的平面角為。=/8瓦）,貝lj4）mbc=國血忘1,進而可作出判斷；對于8,假設AB_LCO,可得O8=D4,而OB,D4不一定相等，由此可判斷；對于C,由于SaCBD=5白= z^BAD=2sinZBAD<2,由此可得四面體abco表面積的最大值；對于。，分析可知球。的半徑為滅='”，進而求得3體積.【解答】解：對于A選項，；AC=45=2,NA8C=60°,則△ABC為等邊三角形，取AC的中點E,則BELAC,同理可知，從。。為等邊三角形，1TOC\o"1-5"\h\z故oe_LAC,且BE=DE=2sinS00=/，SKas=—AC-BE=Jl，\r laRv<2^ ?設二面角B-AC-D的平面角為e=N8EC,設點D到平面ABC的距離為d,\o"CurrentDocument"則 d=DEsin9=y3sin6 ，\o"CurrentDocument"1 IyD-ABc=VSAABG'd=VXvZ3xVZ3sin6=sin^^L當且僅當。=90°時，等號成立，即當。=90°時，四面體ABCO的體積的最大值是1,故A正確；對于8選項，取A8中點尸，連接CF,若ABLCD,因為A8_LCF,CDCCF=C,所以A8_L平面CO凡從而A8_LO尸，DB=DA,而。8,04不一定相等，故8錯誤；對于C選項，S…“=S△,療=J§，△ACDdXBCVs"：AB=AD=BC=CD,BD=BD,:AABD9MBD,1所以，S=S =—AB-ADsinZBAD=2sinXBAD<2,&C3D^AED2因此，四面體ABC。的表面積的最大值是2X/W+2X2=4+2?g，C選項正確；第16頁（共32頁）j3對于。選項，設M、N分別為ZVIBC、△ACC的外心，則EN=EM=—BE=-一3 3在平面BDE內過點M作BE的垂線與過點N作DE的垂線交于點O,,：BELAC,DELAC,BECDE=E,，ACJ_平面BDE,；OMu平面BDE,：.OM±AC,\'OM±BE,BEDAC=E,平面ABC,同理可得ONJ_平面4C￡),則。為四面體ABCD的外接球球心，連接OE,,:EM=EN,OE=OE,NOME=NONE=90°,9a:.AOMEmAONE,所以，/OEM=—=30,cos30a3VAC±￥ffiBDE,OEu平面B￡)E,：.OELAC,TOC\o"1-5"\h\z。A*OE+AE=-一，即球。的半徑為R=-一,3 34c52/li 、《“因此，球o的體積為V=—兀R= X,。選項正確.\o"CurrentDocument"3 81【點評】本小題考查平面圖形的翻折問題，空間多面體的體積、表面積的最值問題、外接球的體積的求法以及直線的位置關系的判定，考查空間想象能力及讀圖能力，考查直第17頁(共32頁)觀想象、運算核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、應用性和綜合性，屬于較難題目.(多選)12.(5分)已知函數(shù)人露=2■一！Og1猿，且實數(shù)a,b,c(a>b>c>0)滿足Tf(a)f(b)f(c)<0.若實數(shù)％是函數(shù)y=/(x)的一個零點，那么下列不等式中可能成立的是( )A.x0<a B.x0>a C.x0<b D.x0<c【分析】根據(jù)題意，分析函數(shù)的定義域和單調性，由a、6、c的大小關系可得f(a),f(b),/(c)可能都小于0或有1個小于0,2個大于0,據(jù)此分析可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)汽田)=2"-log1B=2x+log/,其定義域為(0,+8),函數(shù)丫=21和y=log2X都在(0,+°°)為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，因為實數(shù)a,b,c(a>ft>c>0)滿足/(a)f(b)f(c)<0,則/(a),八b),/(<-)可能都小于0或有1個小于0,2個大于0,如圖.則A,B,C可能成立，x()>c,。不可能成立.9故選：ABC.【點評】本題考查函數(shù)的單調性的性質以及應用，涉及函數(shù)的零點，屬于綜合題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.113.(5分)已如直線/的斜率為一，且和坐標軸圍成的三角形的面積為3,則直線/的方程6為x-6:+6=()或x-6了-6=().a?y 1 b 1【分析】設直線/的方程為一i一=1,根據(jù)題意可得Tabl=3,且=——，從而求ab 2 a 6出a與b的值即可得到直線方程.xy【解答】解：根據(jù)題意，設直線/的方程為一二=1,abb1 fa=-6fa=6a6 g=l [b=-l所以直線/的方程為 Fy=1或--y=1＞即x-6y+6=0或x-6y-6=0.—6- 6故答案為：x-6y+6=0^,x-6y-6=0.【點評】本題考查直線方程的截距式的應用，考查學生的直觀想象和運算求解的能力，屬于基礎題.（5分）若（t+D3H■—的展開式中"的系數(shù)為224,則正實數(shù)a的值為2.a【分析】求出a+——）6的展開式的通項公式，分別令X的指數(shù)為2和-2,求出對應a的r的值，從而可得（①+ ；的展開式中x2的系數(shù)，列方程可求得正實數(shù)a的值.a r --【解答】解：（X+—-）6的展開式的通項公式為7；+]=C；/-"（631,所以r=3時，得到x2的系數(shù)為C：a3=20a3,0r=6時，得到x-2的系數(shù)為C：“6=a6,a從而（r+1）（reH ；的展開式中x2的系數(shù)為.6+20a3=224,解得a3=8或a3=-28,所以正實數(shù)a的值為2.故答案為：2.【點評】本題主要考查二項式定理的應用，考查二項展開式的通項公式，考查方程思想與運算求解能力，屬于中檔題.K . _(5分)請寫出一個函數(shù)/(x)=cos—x,使之同時具有如下性質：①VxCR,f(x)2-=f(4-x),②VxCR,/(x+4)=f(x).【分析】由性質①確定函數(shù)的對稱性，由性質②確定函數(shù)的周期性，結合所學過的函數(shù)進行分析求解即可.【解答】解：性質①：VaGR,f(x)=/(4-x),故函數(shù)f(x)關于直線x=2對稱，性質②：V.rGR,f(x+4)=f(x),故函數(shù)f(x)的周期為4,考慮同時具有對稱性和周期性的函數(shù)，常見的是三角函數(shù)，K故/(x)=cos-X(答案不唯一).2X故答案為：cos—X.2【點評】本題考查了抽象函數(shù)的應用，涉及了函數(shù)的勸稱性以及周期性的理解和應用,考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.(5分)在棱長為1的正方體A8C￡)-4|81G0中，〃，N分別是4仇，人聲］的中點,點P在其表面上運動，使與8N垂直，則線段8P的最大值是——.~4~【分析】分別取8當，CC|的中點E,F,連接AE,EF,FD,結合條件確定尸點軌跡進而可求線段BP的最大值.【解答】解：如圖所示，分別取8打，CG的中點。F,連接AE,EF,FD,則8N1.平面AEFD,過點M作平面a,使a〃平面4EFQ,則平面a與正方體表面的交線即為點P的軌跡，該軌跡為矩形,其周長與矩形AEED的周長相等，故8尸的最大值為【一,故答案為： 【點評】本題考查了空間中距離的最值問題，找到P的運動軌跡是解題關鍵，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(10分)在?—= ,②2bsinA=atanB,③(a-c)sinA+csin(A+8)=aySsinA戾inB這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.已知AABC的內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若.(1)求角8；(2)若a+c=4,求△ABC周長的最小值，并求出此時ZVIBC的面積.【分析】若選①：K(1)由正弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式化簡已知等式，結合sinAWO,可得sin(8——)6x: x5x=一,可求范圍8——G（——，——■）,進而可求8的值.6 6 6(2)由余弦定理，基本不等式可求622,進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.若選②：1(1)由正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式化簡已知等式，結合siMW0,可求cosB=—,2結合范圍se(0,n),可求8的值.(2)由余弦定理，基本不等式可求622,進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.若選③：(1)由兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理化簡已知等式，整理可得：°2+c2-b2=ac,由余弦定理可得cos8=一,結合范圍B6(0,TT).可求8的值.(2)由余弦定理，基本不等式可求622,進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.第21頁(共32頁)【解答】解：若選①:TOC\o"1-5"\h\zt>cosB+1 「(1)因為二二 ,由正弦定理可得：/jsinBsinA=sinAcosB+sinA,aJ3sinA因為4為三角形內角，sinAWO,$in8=cosB+l,可得：2sin(B )=1,即sin(B )=一6 6 2兀 定 5兀 元 發(fā)因為86(0,n)(可得8-C( ， ),可得8--=—\o"CurrentDocument"6 6 6 6 6所以可得8=一3(2) b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac—16-3ac,即3ac=16-b2,d~\~C；.16-b2W3( )2,解得b22,當且僅當a=c=2時，取等號，2：.bmin=2,ZXABC周長的最小值為6,此時，AA8C的面積5=—2出8=通.若選②：V2fesinA=atanB,asinB sinB...2bsinA= ,由正弦定理可得2sinBsinA=sinA? cosB cosBVsinA^O,1??可"(導cosB1j2VBG(0,tt),：.B=3Vfe2=a2+C2-2accosB=(a+c)2-3加=16-3ac,即3ac=16-62,a+c，16-b2W3( )2,解得b22,當且僅當a=c=2時，取等號，2.??%加=2,ZXABC周長的最小值為6,此時，OBC的面積5=行火，8=通.若選③：(1)因為(a-c)sinA+csin(A+B)=bsinB,所以(a-c)sioA+csinC=bsinB,由正弦定理可得：(a-c)a+c2=/;2,整理可得：a2+c2-b2=ac,2,2,2 ,a+c—bacL由余弦定理可得cosB= = =——.2ac2ac2因為Be(0,n),JC所以B——.3Vfe2=a2+C2-2accosB=(a+c)2-3ac=16-3ac,即3ac=16-b2,d+C.?.16-b2W3( )2,解得當且僅當a=c=2時，取等號，21 L加=2,△ABC周長的最小值為6,此時，"BC的面積S=—acsinB=q.【點評】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，余弦定理，基本不等式,三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.18.(12分)已知遞增等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且與=2,53=7.(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式；(2)令與=”冊，求數(shù)列｛.｝的前"項和7；；(3)記％=3"—2，(一1)13。￥0)，是否存在實數(shù)人使得對任意的“eN*,恒有c?+1>cn?若存在，求出入的取值范圍；若不存在，說明理由?【分析】(1)設等比數(shù)列｛4｝的公比為4,由已知條件可知q>0.由已知利用通項公式即可得出.(2)由(1)得：b=n-2n-1.利用錯位相減法即可得出n n(3)利用％+]>7,對〃分類討論，即可得出入的取值范圍.【解答】解：(1)設等比數(shù)列｛冊｝的公比為4，由已知條件可知q>0.a=aQ=2由已知條件可得彳S=a(H-g+?)=7,q>0, m=4a=1 ,解得或(1,h=2U=y若ai=l,<7=2,則(2。=(2(2"1=2r"1,此時，數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，合乎題意；若“1=4,q=—,則Gn=tiqn1=4-(—)"-1.此時，數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，不合乎題意.n~1綜上所述，0=2 .n(2)由(1)得：b=n-2n-1.n則7“=1?2。+2?21+3?22+…①27口=1?2+2?2+???+(n-1)?2 +n,2,②由 ②- ① 得：Tn=n-2n-(l+2+2-F...+2，，-1)=n-2n--^-=(n-1)-20+1.(3)Vcn=3n-2-(-l)nAffln=an-(-l)nX-2n>.-cn+1=3n+1H-(-l)n.A-2n+1.又?*cn+l>cn,，3〃+1+(-1)〃入2+1>3〃-(-1)〃入2〃，即3〃?1+(-1)〃入2-1>0.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 1 3當〃為偶數(shù)時，3"1+A2?>>0,則入,AA> ；\o"CurrentDocument"2 23當"為奇數(shù)時，3"1-X2?1>0,則入<(—「一，，入VI.23綜上： <A<1,且入#0.23故人的取值范圍是(—，o)u(0,1).2【點評】本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及求和公式、錯位相減法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.19.(12分)在四棱錐P-48CD中，平面ABC。_L平面PCD,底面ABC。為梯形，AB//CD,ADLDC,S.AB=\,AD=DC=DP=2,ZPDC=120°.(I)求證：ADLPC；(II)求二面角PAB-C的余弦值；(III)若M是棱外的中點，求證：對于棱BC上任意一點凡M尸與尸C都不平行.【分析】(I)利用面面垂直的性質定理證明平面PCD,即可證明結論；(II)建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面以8的法向量，由向量的夾角公式求解即可；(III)假設8c上存在點F,使得MF〃尸C,設示=入前，入曰0,1],求出點的坐標以及向量的坐標，利用向量的坐標表示，列出方程組，求解即可得到答案.【解答】(I)證明：\?平面A8C￡>_L平面PC。，平面ABCOC平面PC￡)=CO,4Ou平ifABCD,ADLDC,.*.AO_L平面PCD,,.,PCu平面PCD,：.ADLPCx(II)解：在平面尸CO內過點。作￡W_L￡>C,交PC于H,由(I)知，AO_L平面P￡)C,DHu平面PDC,：.AD±DH,：.AD,CD,OH兩兩垂直，以。為原點，DA,DC,。”所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則。(0,0,0),P(0,-1,g,X(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),平面48C。，平面A8CO的一個法向量為7=(0,0,1),乂PA=(2,1,—P&=(2, —設平面布8的一個法向量為椅=(x,y,z),[m-YA=2x-\-y-J3z=0由《一一? L，|m-PB=2x-]-2y-v/3z=0取z=2,則機=(^/3,0,2)，由題意可知，二面角P-48-C為銳角，2〃TOC\o"1-5"\h\z二面角P-AB-C的余弦值為 ；7（III）證明：假設8c上存在點凡使得M尸〃PC,設瓦F=入就，入曰0,1],依題意可知，M（1, ,——）,\o"CurrentDocument"2 2則前=（-2,1,0）,~BF=（-2A,入，0）,所以尸（2-2人，1+入，0）, . 3 .故MF=（1-2A, |~入， ）,PC=（。，3,—/q）\o"CurrentDocument"2 2 丫rl-2X=O士十人=3則，2 ,此方程組無解，故假設不成立，一-~=~^^對于棱BC上任意一點凡M尸與PC都不平行.【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面垂直的性質和面面垂直的性質定理的應用，空間向量共線定理的理解與應用，二面角的求解，在求解有關空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進行研究,屬于中檔題.20.（12分）某電器企業(yè)統(tǒng)計了近10年的年利潤額y（千萬元）與投入的年廣告費用x（十萬元）的相關數(shù)據(jù)，散點圖如圖，對數(shù)據(jù)作出如下處理：令%=配中得到相關數(shù)據(jù)如表所示：10Zuivi10z/j=110SV,i=l10Suri=l30.5151546.5■年利潤額/千萬元10,??6- ? ?4.■2；5一2iig二二/“1'82’0二:。。而二廣告責用/十萬元（1）從①y=bx+a； （m>0,jt>0）；③y=c、2+公+e三個函數(shù)中選擇一個作為年廣告費用x和年利潤額y的回歸類型，判斷哪個類型符合，不必說明理由；（2）根據(jù)（1）中選擇的回歸類型，求出y與x的回歸方程；（3）預計要使年利潤額突破1億，下一年應至少投入多少廣告費用？（結果保留到萬元）10參考數(shù)據(jù)：——?3,6788,3.6788~49.787.e—>參考公式：回歸方程?:^^十卜，中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=

X凡一力（兀-y）i=l ?_二~ ，a=y-bt-i=l【分析】（1）由散點圖知，年廣告費用x和年利潤額y的回歸類型并不是直線型的，而是曲線型的，得到選擇回歸類型.（2）對〉="/兩邊取對數(shù)，得lny=lntn+klnx,BPu=lnm+ku,求出回歸直線方程的系數(shù)，然后求解回歸方程即可.11（3）推出y=?-a?3,通過y=e?a?⑶>]0,說明下一年應至少投入廣告費用.【解答】解：（1）由散點圖知，年廣告費用X和年利潤額），的回歸類型并不是直線型的，而是曲線型的，所以選擇回歸類型y="/更好.（3分）（2）對 兩邊取對數(shù)，Wlny=lnm+klnxt即u=/〃m+版，（4分）10,10,_?=1由表中數(shù)據(jù)得，K—mZ?.—10ui=130.5-10X1.5X1.5_146.5-10X1.5XI.5~~3,代分）所以tnm=u—ku=1.5 X1.5=1,所以（7分）31所以年廣告費用X和年利潤額y的回歸方程為y （8分）1（3）由（2）,知>=??13,— 4"io—令,=小工*>10,得—,得a*>3,6788,（10分）e所以x>3.67883249.787,（11分）所以刀弋49.8（十萬元）=498（萬元）.故下一年應至少投入498萬元廣告費用.（12分）【點評】本題考查回歸直線方程的應用，散點圖的應用，考查分析問題解決問題的能力,是中檔題.x,y, —一/ 「21.（12分）已知橢圓C：H--=1（a>b>0）的離心率為 ，直線J；—y十與橢圓C有且只有一個公共點.（I）求橢圓C的標準方程（II）設點A（—0）.5（73,0；，P為橢圓C上一點，且直線以與P8的斜率2乘積為 ，點M,