統(tǒng)計(jì)4 假設(shè)檢驗(yàn)課件

設(shè)總體X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn為一組樣本，1:σ2已知,求μ的置信度為1-α置信區(qū)間：

(1)選擇包含μ的分布已知的函數(shù):(2)構(gòu)造U的一個(gè)1-α區(qū)間:(3)變形得到μ的1-α置信區(qū)間:置信區(qū)間求解步驟：(4)帶入數(shù)值,得到具體的區(qū)間.2:σ2未知,求μ的置信度為1-α置信區(qū)間：

(1)選擇包含μ的分布已知函數(shù):(2)構(gòu)造T的一個(gè)1-α區(qū)間:(3)得到μ的1-α置信區(qū)間:(4)帶入數(shù)值,得到具體的區(qū)間.3:求σ2置信度為1-α的置信區(qū)間：

(1)選擇包含σ2的分布已知函數(shù):(2)構(gòu)造的一個(gè)1-α區(qū)間:(3)變形得到σ2的1-α置信區(qū)間:(4)帶入數(shù)值,得到具體的區(qū)間.一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理此時(shí)常常作出適當(dāng)?shù)募僭O(shè),然后進(jìn)行試驗(yàn)或觀測,得到統(tǒng)計(jì)樣本,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行判斷,以在實(shí)際工作中常會遇到這樣的問題：（1）某藥物在改進(jìn)工藝后的療效是否有提高？（2）假定總體服從某種分布是否成立？如何通過抽檢的樣本對上述問題做出判斷？決定是否接受這個(gè)假設(shè).假設(shè)檢驗(yàn)就是這樣一種統(tǒng)計(jì)推斷方法，根據(jù)樣本提供的信息對所提出的假設(shè)作出判斷:是接受,還是拒絕.假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)總體分布已知，檢驗(yàn)關(guān)于未知參數(shù)的某個(gè)假設(shè)總體分布未知時(shí)的假設(shè)檢驗(yàn)問題且只考慮正態(tài)總體期望方差的檢驗(yàn).我們討論對參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),請看下面的例子生產(chǎn)流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運(yùn).怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？罐裝可樂的容量服從正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)容量為350毫升,標(biāo)準(zhǔn)差為2.通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查.它的對立假設(shè)是：稱H0為原假設(shè)（或基本假設(shè)或零假設(shè)）；稱H1為備選假設(shè)（或?qū)α⒓僭O(shè)）.在實(shí)際工作中，往往把著重考察且便于處理的假設(shè)作為原假設(shè).H0：（

=350)H1：由抽樣，我們可以認(rèn)為X1,…,X5是取自正態(tài)總體

的樣本，現(xiàn)在要檢驗(yàn)的假設(shè)是：問題歸結(jié)為對差異作定量的分析，以確定其性質(zhì).差異可能是由抽樣的隨機(jī)性引起的，稱為“抽樣誤差”或隨機(jī)誤差它反映了偶然、非本質(zhì)的因素所引起的隨機(jī)波動.然而，這種隨機(jī)性的波動是有一定限度的，如果差異超過了這個(gè)限度，則我們就不能用抽樣的隨機(jī)性來解釋了.必須認(rèn)為這個(gè)差異反映了事物的本質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常.這種差異稱作“系統(tǒng)誤差”如何給出這個(gè)量的界限？這里用到人們在實(shí)踐中普遍采用的一個(gè)原則：小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會發(fā)生.現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂的例中：在提出原假設(shè)H0后，如何作出接受和拒絕H0的結(jié)論呢？在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們稱這個(gè)小概率為顯著性水平，用表示.常取的選擇要根據(jù)實(shí)際情況而定。罐裝可樂的標(biāo)準(zhǔn)容量為350毫升,標(biāo)準(zhǔn)差為2,一批可樂出廠前應(yīng)進(jìn)行抽樣檢查，現(xiàn)抽查了n罐，測得容量為X1,X2,…,Xn，問這一批可樂的容量是否合格？提出假設(shè)選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量~N(0,1)H0：

H1：≠350由于已知，它能衡量差異大小且分布已知.對給定的顯著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位點(diǎn)的值，使故我們可以取拒絕域(否定域)為:也就是說,“”是一個(gè)小概率事件.W：如果由樣本值算得該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入?yún)^(qū)域W，則拒絕H0；否則，不能拒絕H0.稱為臨界值.不否定H0并不是肯定H0一定對，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達(dá)到足以否定H0的程度.所以假設(shè)檢驗(yàn)又叫“顯著性檢驗(yàn)”在上面的例子的敘述中，我們已經(jīng)初步介紹了假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法.下面，我們再結(jié)合另一個(gè)例子，進(jìn)一步說明假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟.二、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟提出原假設(shè)和備擇假設(shè)第一步：已知

X~未知.第二步：能衡量差異大小且分布已知取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布第三步：即“

”是一個(gè)小概率事件.小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會發(fā)生.對給定的顯著性水平=0.01，查表確定臨界值,使得否定域W:|t|>4.0322假設(shè)檢驗(yàn)會不會犯錯誤呢？由于作出結(jié)論的依據(jù)是下述小概率原理小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會發(fā)生.不是一定不發(fā)生三、假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯誤如果H0成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入否定域，從而作出否定H0的結(jié)論，那就犯了“以真為假”的錯誤.

如果H0不成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值未落入否定域，從而沒有作出否定H0的結(jié)論，即接受了錯誤的H0，那就犯了“以假為真”的錯誤.請看下表

假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯誤H0為真實(shí)際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯誤正確正確第二類錯誤P{拒絕H0|H0為真}=,P{接受H0|H0不真}=.犯兩類錯誤的概率:顯著性水平為犯第一類錯誤的概率.1.方差已知,對期望值的檢驗(yàn)步驟(u檢驗(yàn))(1)提出待檢假設(shè)H0:m=m0(已知);(2)選取樣本(X1,...,Xn)的統(tǒng)計(jì)量,如H0成立,則四、一個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)(3)根據(jù)檢驗(yàn)水平a,查表確定臨界值,使 P(|U|>

)=a,即F

(

)=1-a/2；(4)根據(jù)樣本觀察值,計(jì)算統(tǒng)計(jì)量U的值u并與臨界值比較；(5)若|u|>,則否定H0,否則接收H0。例3根據(jù)長期經(jīng)驗(yàn)和資料的分析,某磚瓦廠生產(chǎn)磚的“抗斷強(qiáng)度”x服從正態(tài)分布,方差s2=1.21.從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6塊,測得抗斷強(qiáng)度如下(單位:kg/cm2):32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03;檢驗(yàn)這批磚的平均抗斷強(qiáng)度為32.50kg/cm2是否成立(a=0.05)?對給定的a=0.05,要使P(|U|>

)=a,即F

(

)=1-a/2;查表得

=1.96.計(jì)算出樣本值U為：拒絕原假設(shè)！解：設(shè)H0:m=32.50.若H0正確,則樣本(X1,...,X6)來自正態(tài)總體N(32.50,1.12),令即這批磚的平均抗斷強(qiáng)度為32.50不成立。2.方差σ2未知,對期望μ的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）(1)提出待檢假設(shè)H0:m=m0(未知);

(2)選取樣本(X1,...,Xn)的統(tǒng)計(jì)量,如H0成立,則(3)根據(jù)檢驗(yàn)水平a,查表確定臨界值ta,使 P(|T|>ta)=a;(4)根據(jù)樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的值t并與臨界值ta比較;(5)若|t|>ta則否定H0,否則接收H0。例4從1975年的新生兒中隨機(jī)地抽取20個(gè),測得其平均體重為3160克,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為300克.而根據(jù)過去統(tǒng)計(jì)資料,新生兒平均體重為3140克.問現(xiàn)在與過去的新生兒體重有無顯著差異(假設(shè)新生兒體重服從正態(tài)分布)?(a=0.01)故接受原假設(shè)：體重?zé)o差異。如果H0成立,則解：假設(shè)H0:m=3140.

3.關(guān)于方差σ2的檢驗(yàn)(檢驗(yàn))(1)建立待檢假設(shè)H0:s2=s02;(2)如H0成立,則(3)由給定的檢驗(yàn)水平a查表求ca2,cb2滿足:(4)計(jì)算c2的值與ca2,cb2比較;(5)若c2>cb2或c2<ca2拒絕H0否則接收H0.例5某煉鐵廠的鐵水含碳量x在正常情況下服從正態(tài)分布.現(xiàn)對操作工藝進(jìn)行了改進(jìn),從中抽取5爐鐵水測得含碳量數(shù)據(jù)如下:4.412,4.052,4.357,4.287,4.683

據(jù)此是否可以認(rèn)為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082(a=0.05).對給定的a=0.05,可查表得c