展開成傅立葉級(jí)數(shù)

9.6.3函數(shù)f(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù)函數(shù)f(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù)收斂定理(狄里克萊(Dirichlet)充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［-兀,兀］滿足如下條件：連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，或具有有限個(gè)極值點(diǎn)，則f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)在［一兀,兀］上收斂。且當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于f(x)；當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于f(x-0)+f(x+0).；2當(dāng)x=土兀時(shí)，級(jí)數(shù)f(x)收斂于f(-丸+0)+f(丸-0)。2收斂定理并沒有要求f(x)是周期函數(shù)，只要求函數(shù)f(x)在區(qū)間［-兀,兀］上滿足收斂定理的條件，則這個(gè)函數(shù)就能在這個(gè)區(qū)間上展為收斂的傅立葉級(jí)數(shù)。當(dāng)f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)在［-兀,兀］上收斂時(shí)，由于它的各項(xiàng)都以2兀為周期，所以對(duì)任何實(shí)數(shù)該級(jí)數(shù)也收斂、因該級(jí)數(shù)的和函數(shù)是以2兀為周期的周期函數(shù).一般說來，在區(qū)間［-兀，兀］以外，該級(jí)數(shù)與函數(shù)f(x)就沒有關(guān)系了，因此不能把級(jí)數(shù)的和函數(shù)的圖形與函數(shù)f(x)的圖形混為一談.如果f(x)是(-8,8)上，以2兀為周期的函數(shù)，且滿足收斂定理?xiàng)l件，則它的傅立葉級(jí)數(shù)就在數(shù)軸上收斂；在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處，級(jí)數(shù)收斂于f(x)；如果f(x)在(-8,8)上，是以2兀為周期的連續(xù)函數(shù)，則它的傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)就是f(x)。根據(jù)上述討論，可以按下列步驟把函數(shù)f(x)展開為傅立葉級(jí)數(shù).驗(yàn)證f(x)滿足收斂定理的條件。求出f(x)的傅立葉系數(shù)。寫出f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)，并根據(jù)收斂定理討論這個(gè)級(jí)數(shù)在[-兀,兀]的收斂情況。畫出傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)在(-8,8)上的圖形。例1展開函數(shù)f(x)=；-1-K-x<0為傅立葉級(jí)數(shù)。[00<x<K解這個(gè)函數(shù)滿足收斂定理的條件,x=0是第一類間斷點(diǎn)，先求它的傅里葉系數(shù)。a=上卜f(x)dx-—[J0(-1)dx+卜1-dx]=1{[—x]0+[x]—J0—-—0f(x)cosnxdx=—[j0(-1)cosnxdx+j"1-cosnxdx]11「1?10「1?1—=—5——sinnx+—sinnx》兀_n__n_、-—0=0n=1,2,3…b=1j兀f(x)sinnxdx=1[j0(-1)sinnxdx+b=1j兀f(x)sinnxdx='「110「11—〈一cosnx+一一cosnx"Ln一ln一-—0J1——[1-(-1)n]n=1,2,3n—n=1,3,5,n—0n=2,4,6,...所以函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為f(x)=-^^—^-sin(2n—1)x2n—14二1.°1.八.=一[sinx+sin3x++sin(2n—1)x+—]32n+1函數(shù)f(x)滿足收斂定理提出的條件，它在k=k—(k=0,±1,±2,±3,…)，處有第一類間斷點(diǎn)，在其他點(diǎn)處連續(xù).因此f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x=k—k=0,±1,±2,±3,…級(jí)數(shù)收斂到4—W=0或2i=0在其它點(diǎn)處級(jí)數(shù)收斂到f(k=k—2級(jí)數(shù)和函數(shù)的圖形如圖所示111,'ll?；X1必f口如果把例1中的函數(shù)f(x)理解為描寫矩形波的函數(shù)(周期T=2兀，幅值E=1,時(shí)間用變量x表示)，則上面所得到的展開式表明：矩形波是由一系列不同頻率的正弦波疊加而成，這些正弦波的頻率依次為基波頻率的奇數(shù)倍.例2設(shè)f⑴是周期為2兀的周期函數(shù)，它在區(qū)間［一兀,兀］上的表達(dá)式為Ix-K<x<0

f(x)=|00<x京試將函數(shù)f⑴展開成它的傅里葉級(jí)數(shù)。a=L卜f(x)dx=—[J0xdx+卜0-dx]=—[—]00兀-兀兀-兀o兀2一兀a=1J兀f(x)cosnxdx=】[J0(x)cosnxdx+卜0-cosnxdx]:x?_-—sinnx_n_0+」cosn；_n2_0J—冗一兀J—[1-(-1)局兀n21兀

冗兀-兀x一一cosnxnb=上卜f(x)sinnxdx=—[J°xsinnxdx冗兀-兀x一一cosnxn1——sinnxn2一兀(-1)〃

n所以函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為…兀/.、1.日/2°1.c、f(x)=-—+(一cosx+sinx)-—sin2x+(cos3x+—sin3x)4兀232兀31../2廣1.L、——sin4x+(cos5x+—sin5x)452兀5函數(shù)f(x)滿足收斂定理提出的條件，它在x=(2k+1)兀(k=0,±1,±x=(2k+1)兀在其他點(diǎn)處連續(xù)。因此f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x=(2k+1)—(k=0