復合材料力學課件

復合材料力學復合材料力學1一復合材料的基本概念1復合材料定義復合材料是由兩種或多種不同性質(zhì)的材料用物理和化學方法在宏觀尺度上組成的具有新性能的材料。從應用性質(zhì)分為功能復合材料和結(jié)構(gòu)復合材料。

2復合材料的基本構(gòu)造形式（1）單層復合材料(又稱單層板)纖維方向稱為縱向，用“1”表示垂直于纖維方向稱為橫向，用“2”表示單層材料厚度方向用“3”表示1，2，3軸稱為材料主軸單層材料一般是各向異性的。

一復合材料的基本概念2單層板中纖維起增強和主要承載作用，基體起支撐纖維、保護纖維，并在纖維間起分配和傳遞載荷作用，通常把單層材料的應力一應變關(guān)系看作是線彈性的。

單層板中纖維起增強和主要承載作用，基體起支撐纖維、保護纖維，3（2）疊層復合材料(又稱層合板)

層合板由多層單層板構(gòu)成，各層單層板的纖維方向一般不同。每層的纖維方向與疊層材料總坐標軸x-y方向不一定相同，我們用θ角(1軸與x軸夾角，由x軸逆時針方向到1軸的夾角為正)表示，如圖2所示。如四層單層材料組成的層合板：（2）疊層復合材料(又稱層合板)4

其他層合板鋪層表不舉例如下：,可表示為，這里s表示對稱，“±”號表示兩層正負角交錯。還可表示為，s表示鋪層上下對稱。

53復合材料的力學分析方法（1）細觀力學它以纖維和基體作為基本單元，把纖維和基體分別看成是各向同性的均勻材料(有的纖維屬橫觀各向同性材料)，根據(jù)材料纖維的幾何形狀和布置形式、纖維和基體的力學性能、纖維和基體之間的相互作用(有時應考慮纖維和基體之間界面的作用)等條件來分析復合材料的宏觀物理力學性能。3復合材料的力學分析方法6（2）宏觀力學它把單層復合材料看成均勻的各向異性材料，不考慮纖維和基體的具體區(qū)別，用其平均力學性能表示單層材料的剛度、強度特性，可以較容易地分析單層和疊層材料的各種力學性質(zhì)，所得結(jié)果較符合實際。宏觀力學的基礎是預知單層材料的宏觀力學性能，如彈性常數(shù)、強度等，這些數(shù)據(jù)來自實驗測定或細觀力學分析。由于實驗測定方法較簡便可靠，工程應用往往采用它。（2）宏觀力學7（3）復合材料結(jié)構(gòu)力學它借助現(xiàn)有均勻各向同性材料結(jié)構(gòu)力學的分析方法，對各種形狀的結(jié)構(gòu)元件如板、殼等進行力學分析，其中有層合板和殼結(jié)構(gòu)的彎曲、屈曲與振動問題以及疲勞、斷裂、損傷、開孔強度等問題。

（3）復合材料結(jié)構(gòu)力學84復合材料的優(yōu)點和缺點復合材料的優(yōu)點(1)比強度高。(2)比模量高。(3)材料具有可設計性。(4)制造工藝簡單，成本較低。(5)某些復合材料熱穩(wěn)定好。(6)高溫性能好。此外，各種復合材料還具有各種不同的優(yōu)良性能，例如抗疲勞性、抗沖擊性、透電磁波性、減振阻尼性和耐腐蝕性等。復合材料的缺點(1)材料各向異性嚴重。(2)材料性能分散度較大，質(zhì)量控制和檢測比較困難。(3)材料成本較高。(4)有些復合材料韌性較差，機械連接較困難。以上缺點除各向異性是固有的外，有些可以設法改進，提高性能，降低成本?？傊?，復合材料的優(yōu)點遠多于缺點，因此具有廣泛的使用領域和巨大的發(fā)展前景。

4復合材料的優(yōu)點和缺點9二、各向異性彈性力學基礎1應力-應變關(guān)系各向異性彈性體的物理方程—應力-應變關(guān)系

(2.1)式中，稱為剛度系數(shù)。

二、各向異性彈性力學基礎10現(xiàn)采用1，2，3軸代替x，y，z軸，并把應力應變分量符號用簡寫符號表示應力應變其中，表示工程剪應變，表示張量剪應變，這樣（2.1）變?yōu)?/p>

現(xiàn)采用1，2，3軸代替x，y，z軸，并把應力應變分量符號用簡11

(2.2)總起來可寫成

或

12矩陣表達形式：(2.1)定義

矩陣表達形式：(2.1)13并注意，即剛度系數(shù)矩陣C有對稱性，只有21個剛度系數(shù)是獨立的，C可表示成并注意，即剛度系數(shù)矩陣C有對稱性，只有21個剛14同樣，用應力分量來表示應變分量，應力-應變關(guān)系為，用矩陣表示

(2.2)其中，為柔度系數(shù)，S為柔度矩陣。是剛度矩陣的逆陣，也是對稱矩陣，可表示為

滿足（2.1）和（2.2）的應力-應變關(guān)系的材料為各向異性材料，應變勢能密度表達式為同樣，用應力分量來表示應變分量，應力-應變關(guān)系為152具有一個彈性對稱平面的材料如果材料有一個性能對稱面（z=0，xoy面），剛度系數(shù)只剩下13個，剛度系數(shù)矩陣C為

2具有一個彈性對稱平面的材料163正交各向異性材料如果材料有三個正交的材料性能對稱平面，稱為正交各向異性材料。剛度系數(shù)只剩下9個，剛度系數(shù)矩陣C為若坐標方向為彈性主方向時，正應力只引起線應變，剪應力只引起剪應變，兩者不耦合。3正交各向異性材料174橫觀各向同性材料若經(jīng)過材料一軸線，在垂直該軸線的平面內(nèi)，各點的彈性性能在各方向上都相同，則此材料稱為橫觀各向同性材料，此平面是各向同性面。剛度系數(shù)只剩下5個，剛度系數(shù)矩陣C為4橫觀各向同性材料185各向同性材料各向同性材料中每一點在任意方向上的彈性特性都相同，獨立的剛度系數(shù)只剩下2個，剛度系數(shù)矩陣C為5各向同性材料196正交各向異性材料工程彈性常數(shù)除了前面表示材料彈性特性的剛度系數(shù)和柔度系數(shù)外，工程上常采用工程彈性常數(shù)來表示材料彈性特性。這些工程彈性常數(shù)是廣義的彈性模量，泊松比和剪切模量，這些常數(shù)可以用簡單的拉伸及純剪實驗來測定。通常實驗是在已知載荷下測量試件的位移或應變，這樣可直接確定柔度矩陣（）。對于正交各向異性材料，用工程彈性常數(shù)表示的柔度矩陣為

=6正交各向異性材料工程彈性常數(shù)20其中，

―分別為材料在1，2，3方向上的彈性模量，其定義為只有一個主方向上有正應力作用時，正應力與該方向線應變的比值： ―為單獨在j方向作用正應力，而無其它應力分量時，i方向應變與j方向應變之比的負值，稱為泊松比，即

―分別為2-3，3-1，1-2平面內(nèi)的剪切模量。對于正交各向異性材料，只有9個獨立的彈性常數(shù)，工程彈性常數(shù)間有以下三個關(guān)系

，但該式常用來檢驗實驗結(jié)果的可靠性或材料是否正交各向異性。

其中，―分別為材料在1，2，3方向上的彈性模量，21四單層復合材料的宏觀力學分析1平面應力下單層復合材料的應力一應變關(guān)系可近似認為，，這就定義了平面應力狀態(tài)，對正交各向異性材料，平面應力狀態(tài)下應力應變關(guān)系為

其中， (3.1)四單層復合材料的宏觀力學分析 (3.1)22將式(3.1)寫成用應變表示應力的關(guān)系式：

其中是二維剛度系數(shù)矩陣,由二維柔度矩陣S求逆得出，，這里用而不用作為剛度系數(shù)矩陣，是因為在平面應力下兩者實際有差別，即，一般有所減少，因此也稱為折減剛度矩陣。

將式(3.1)寫成用應變表示應力的關(guān)系式：232單層材料任意方向的應力一應變關(guān)系（1）應力轉(zhuǎn)軸公式用主方向坐標中應力分量表示x-y坐標中應力分量的轉(zhuǎn)換方程為

圖3-1所示為兩種坐標之間的關(guān)系，θ表示從x軸轉(zhuǎn)向1軸的角度，以逆時針轉(zhuǎn)為正。

(3.2)2單層材料任意方向的應力一應變關(guān)系 (3.2)24將（3.2）寫成

用x-y坐標中應力分量來表示主方向坐標中應力分量如下：

T稱為坐標轉(zhuǎn)換矩陣，T-1是此矩陣的逆陣，它們的展開式分別為

(3.3)將（3.2）寫成 (3.3)25（2）應變轉(zhuǎn)軸公式平面應力狀態(tài)下單層板在x-y坐標中應變分量與主方向應變分量間關(guān)系為

反過來有（2）應變轉(zhuǎn)軸公式26（3）任意方向上的應力一應變關(guān)系在正交各向異性材料巾，平面應力狀態(tài)主方向有下列應力應變關(guān)系式現(xiàn)應用式(3.3)和式(3.4)可得出偏軸向應力-應變關(guān)系：現(xiàn)用表示，則在x-y坐標中應力應變關(guān)系可表示為

(3.4)（3）任意方向上的應力一應變關(guān)系 (3.4)27其中，矩陣表示代表主方向的二維剛度矩陣Q的轉(zhuǎn)換矩陣，它有9個系數(shù)，一般都不為零，并有對稱性，有6個不同系數(shù)。它與Q大不相同，但是由于是正交各向異性單層材料，仍只有4個獨立的材料彈性常數(shù)。在x-y坐標中即使正交各向異性單層材料顯示出一般各向異性性質(zhì)，剪應變和正應力之間以及剪應力和線應變之間存在耦合影響，但是它在材料主方向上具有正交各向異性特性，故稱為廣義正交各向異性單層材料，以與一般各向異性材料區(qū)別。

其中，28現(xiàn)再用應力表示應變，在材料主方向單層材料有下列關(guān)系式：

轉(zhuǎn)換到x-y坐標方向有

其中，現(xiàn)再用應力表示應變，在材料主方向單層材料有下列關(guān)系式：293正交各向異性單層材料的強度概念單向纖維增強復合材料是正交各向異性材料。當外載荷沿材料主方向作用時稱為主方向載荷，其對應的應力稱為主方向應力。如果載荷作用方向與材料主方向不一致，則可通過坐標變換，將載荷作用方向的應力轉(zhuǎn)換為材料主方向的應力。與各向同性材料相比，正交各向異性材料的強度在概念上有下列特點。(1)對于各向同性材料，各強度理論中所指的最大應力和線應變是材料的主應力和主應變；但對于各向異性材料，由于最大作用應力并不一定對應材料的危險狀態(tài)，所以與材料方向無關(guān)的最大值主應力已無意義，而材料主方向的應力是重要的，由于各主方向強度不同，因此最大作用應力不一定是控制設計的應力。

3正交各向異性單層材料的強度概念30(2)若材料在拉伸和壓縮時具有相同的強度，則正交各向異性單層材料的基本強度有三個：

X—軸向或縱向強度(沿材料主方向1)；

Y—橫向強度(沿材料主方向2)；

S—剪切強度(沿1—2平面，見圖3-1)。在確定單層材料強度時可不考慮主應力。如果材料的拉伸和壓縮性能不相同(對于大多數(shù)纖維增強復合材料)，則基本強度有五個：

Xt—縱向拉伸強度；

Xc—縱向壓縮強度；

Yt—橫向拉伸強度；

Yc—橫向壓縮強度；S—剪切強度。它們分別由材料單向受力實驗測定。圖3-1單層復合材料的基本強度(2)若材料在拉伸和壓縮時具有相同的強度，則正交各向異性單層31(3)正交各向異性材料在材料主方向上的拉伸和壓縮強度一般是不同的，但在主方向上的剪切強度(不管剪應力是正還是負)都具有相同的最大值。圖3-3表明，在材料主方向上的正剪應力和負剪應力的應力場是沒有區(qū)別的，兩者彼此鏡面對稱。但是在非材料主方向上剪應力最大值依賴于剪應力的方向(正負)，如圖3-4所示。

圖3-3在材料主方向上的剪應力圖3-4與材料主方向成450角的剪應力

(3)正交各向異性材料在材料主方向上的拉伸和壓縮強度一般是不324正交各向異性單層材料的強度理論大多數(shù)試驗測定的材料強度是建立在單向應力狀態(tài)基礎上的，但實際結(jié)構(gòu)問題常涉及平面應力狀態(tài)或空間應力狀態(tài)。假設材料宏觀上是均勻的，不考慮某些細觀破壞機理(1)最大應力理論在這個理論中，各材料主方向應力必須小于各自方向的強度，否則即發(fā)生破壞。對于拉伸應力有對于壓縮應力有注意這里指材料第1，2主方向的應力，而不是各向同性材料中的主應力。另外與的符號無關(guān)。如上述5個不等式中任一個不滿足，則材料分別以與或相聯(lián)系的破壞機理而破壞。該理論中，各種破壞模式之間沒有相互影響，即實際上是5個分別的不等式。4正交各向異性單層材料的強度理論33在應用最大應力理論時，所考慮材料中的應力必須轉(zhuǎn)換為材料主方向的應力。例如，考慮一個單層復合材料承受與纖維方向成θ角的單向載倚，如圖所示，最大單向應力是下述三個不等式中的最小值：

圖中畫出了單層復合材料單向強度與偏軸角度θ的關(guān)系。拉伸實驗數(shù)據(jù)用·表示，壓縮用■表示，各條曲線分別上表示式，其中最低一條控制強度曲線，強度曲線中的理論尖點在實驗中不存在，該理論與實驗結(jié)果不很一致。

在應用最大應力理論時，所考慮材料中的應力必須轉(zhuǎn)換為材料主方向34（2）最大應變理論最大應變理論與最大應力理論很相似，這里受限制的是應變，對于拉伸和壓縮強度不同的材料，如下不等式

中有任一個不滿足，即認為材料破壞。式中，分別是1方向最大拉伸、最大壓縮線應變；分別是2方向最大拉伸、最大壓縮線應變；是12平面內(nèi)最大剪應變。像剪切強度一樣，最大剪應變不受剪應力方向的影響，在應用此理論前必須將總坐標系中的應變轉(zhuǎn)換為材料主方向的應變。對于承受軸向單向拉伸的單層復合材料，最大應變理論得到的結(jié)果和實驗結(jié)果之間的差別比最大應力理論更加明顯，因此該理論也不大適用

（2）最大應變理論35（3）Hill-蔡(S．W．Tsai)強度理論Hill于1948年對各向異性材料提出了一個屈服準則：式中，為各向異性材料的破壞強度參如以以及代人上式則得其中，為各向同性材料的屈服極限。

(3.5)由此可見，Hill提出的是VonMises理出的各向同性材料屈服準則(Mises準則)，即歪形能理論的推廣，但在正交各向異性材料中，形狀變化和體積變化不能分開，所以式(3.5)不是歪形能。

（3）Hill-蔡(S．W．Tsai)強度理論(3.5)由36

蔡用單層復合材料通常用的破壞強度來表示。如只有作用，其最大值為，則有若只有作用，則有得如只有作用則得如用Z表示3方向的強度，且只有作用，則得聯(lián)立上述三式，可解得如下：

蔡用單層復合材料通常用的破壞強度來表示37對于纖維在1方向的單層材料，在1-2平面內(nèi)，平面應力情況為。根據(jù)幾何特性，纖維在2方向和3方向的分布情況相同，可知，則。由此式(3.5)化為這是由單層復合材料強度表示的基本破壞準則，稱為Hill-蔡強度理論。對于偏軸向受單向載荷的單層復合材料，把應力轉(zhuǎn)軸公式（只有）代入式(3.6)得這是一個統(tǒng)一的強度理論公式，不同于最大應力和最大應變理論(由5個分公式表示)。

(3.6)對于纖維在1方向的單層材料，在1-2平面內(nèi)，平面應力情況為38將此理論結(jié)果和玻璃／環(huán)氧復合材料實驗結(jié)果畫在圖中，兩者吻合較好，該理論可應用于玻璃／環(huán)氧等復合材料。將此理論結(jié)果和玻璃／環(huán)氧復合材料實驗結(jié)果畫在圖中，兩39Hill蔡強度理論有以下優(yōu)點：(1)θ隨方向角目的變化是光滑的，沒有尖點。(2)一般隨θ角增加而連續(xù)減小。(3)該理論與實驗之間吻合較好。(4)Hill-蔡理論中破壞強度之間存在重要的相互聯(lián)系，而其他理論假定三種破壞是單獨發(fā)生的。(5)此理論可進行簡化而得到各向同性材料的結(jié)果。

Hill-蔡理論未考慮拉、壓性能不同的復合材料，這方面Hoffman提出如下新的理論：Hill蔡強度理論有以下優(yōu)點：40五單層板基本力學性能的實驗測定對于拉伸和壓縮性能相同的正交各向異性單層板，其剛度特性有： —l方向彈性模量；—2方向彈性模量；—主泊松比，當，其余；—次泊松比，當，其余； —在1-2平面內(nèi)的剪切模量。上述工程模量中只有4個是獨立的。強度特性有：X—軸向(1方向)強度；Y—橫向(2方向)強度；S—剪切強度(1—2平面內(nèi))。對于拉壓性能不同的單層板彈性常數(shù)分別有兩個和，強度有。腳標t代表拉伸，c代表壓縮。上述基本剛度和強度特性可以通過實驗測定。現(xiàn)在都采用單向薄板試件測量其各項性能，這里分別介紹各種試驗。

五單層板基本力學性能的實驗測定411、拉伸試驗試件形狀如圖所示。拉伸試件形狀示意圖

要求試件兩端用金屬鋁片或玻璃鋼片作加強片加固，加強片厚度l～2mm，采用粘結(jié)劑粘結(jié)，要求在試驗過程中加強片不脫落。1、拉伸試驗42不同纖維方向的試件尺寸是不同的，試件尺寸規(guī)定見表。

試件類別尺寸

L／mmb／mmt／mml／mmd／mm

θ

00

230

12.5±0.5

l～3

100

50

≥150

900

170

25±0.5

2～4

50

50

≥150

00／900

23025±O．5

2～4

80

50

≥150不同纖維方向的試件尺寸是不同的，試件尺寸規(guī)定見表。

尺43(1)00試件，用引伸計或電阻應變計測量，測定，，的計算公式式中，為試件寬度，為厚度，為1方向載荷，為1方向極限載荷，分別為1，2方向的應變。

00(縱向)拉伸試驗

900(橫向)拉伸試驗

(1)00試件，用引伸計或電阻應變計測量，測定，44(2)900試件，測定，及的公式如下：式中，為2方向載荷，為2方向極限載荷。

(2)900試件，測定，及的公式如下：452、壓縮試驗壓縮試驗可測量和等。由于載荷易偏心、試件易失穩(wěn)及端部易破壞，技術(shù)上不易圓滿解決，試件尺寸采取短標距，如圖所示。2、壓縮試驗463、偏軸拉伸法用單層板切割成θ=450偏軸拉伸試件，在作用下，試件處于平面應力狀態(tài)，則有其中用工程彈性常數(shù)和θ的三角函數(shù)表示如下：3、偏軸拉伸法47現(xiàn)θ=450，作用力為，應力，，則有將(4.1)中兩式相加得另外，如已由O0，900方向拉伸實驗測得和，則由式(4.1)中第一式可求得

其中，只需測求得。

(4.1)現(xiàn)θ=450，作用力為，應力，48在作用下450試件剪切破壞，剪切強度S可由下式求得：

由于偏軸拉伸有藕合剪應變，影響測量結(jié)果，故采取±450對稱層合板試件(450/-450/-450/450)。作為拉伸實驗測定和S，由于存在層間應力影響，所測也不很準確，其試件尺寸如圖。

對稱拉伸試件尺寸在作用下450試件剪切破壞，剪切強度S可由下式求得：49六單層復合材料的細觀力學分析1單層復合材料的細觀力學分析目的：第一，用組分材料的彈性常數(shù)來預測復合材料的彈性常數(shù)或剛度、柔度。例如纖維增強復合材料的剛度系數(shù)用纖維和基體的彈性常數(shù)以及它們的相對體積含量來確定：式中：為各向同性纖維的彈性模量，為各向同性纖維的泊松比，為基體彈性模量，為基體的泊松比，和分別為纖維和基體相對體積含量(％)。，為纖維體積，為復合材料總體積，，為基體體積。

六單層復合材料的細觀力學分析50第二、組分材料的強度來預測復合材料的強度。例如纖維增強復合材料的強度用纖維的強度、基體的強度及其相對體積含量來確定：式中，=分別是復合材料軸向拉伸、壓縮，橫向拉、壓和剪切強度，分別是纖維的各強度，分別是基體各強度。第二、組分材料的強度來預測復合材料的強度。512、細觀力學分析中對復合材料有以下基本假設：(1)單層復合材料：線彈性、宏觀均勻性、宏觀正交各向異性、無初應力。(2)纖維：各向同性(或橫觀各向同性)、均勻性、規(guī)則排列、線彈性、完全成直線。(3)基體：均勻性、各向同性、線彈性。此外，在纖維或基體中或它們之問不存在空隙，即纖維和基體間粘結(jié)是完整理想的。2、細觀力學分析中對復合材料有以下基本假設：523、剛度的材料力學分析方法采用的主要簡化假設是：在單向纖維復合材料中，纖維和基體在纖維方向的應變是相等的，如圖11-2所示，即垂直于1軸的截面加載前后保持平面，這是材料力學中最基本的假設。

的確定這是纖維方向(1方向)宏觀彈性模量的混合律表達式。如圖11-3所示，混合律表示，當由O變化到l時宏觀彈性模量從線性變化到。3、剛度的材料力學分析方法53(2)的確定用材料力學分析方法，假定纖維和基體承受相等的橫向應力，如圖所示。

由此得這是的材料力學表達式，此式可無量綱化為

(2)的確定54（3）和的確定這就是的混合律，式中和分別是纖維和基體的泊松比。

至于則由柔度S的對稱性條件得（3）和的確定55（4）的確定單層復合材料平面內(nèi)剪切模量由假設纖維和基體內(nèi)的剪應力相等來確定，受力和變形由圖表示。假設

這里假設剪應力與剪應變呈線性關(guān)系，總剪切變形表示為它近似地由組成，且設化簡（4）的確定56復合材料力學復合材料力學57一復合材料的基本概念1復合材料定義復合材料是由兩種或多種不同性質(zhì)的材料用物理和化學方法在宏觀尺度上組成的具有新性能的材料。從應用性質(zhì)分為功能復合材料和結(jié)構(gòu)復合材料。

2復合材料的基本構(gòu)造形式（1）單層復合材料(又稱單層板)纖維方向稱為縱向，用“1”表示垂直于纖維方向稱為橫向，用“2”表示單層材料厚度方向用“3”表示1，2，3軸稱為材料主軸單層材料一般是各向異性的。

一復合材料的基本概念58單層板中纖維起增強和主要承載作用，基體起支撐纖維、保護纖維，并在纖維間起分配和傳遞載荷作用，通常把單層材料的應力一應變關(guān)系看作是線彈性的。

單層板中纖維起增強和主要承載作用，基體起支撐纖維、保護纖維，59（2）疊層復合材料(又稱層合板)

層合板由多層單層板構(gòu)成，各層單層板的纖維方向一般不同。每層的纖維方向與疊層材料總坐標軸x-y方向不一定相同，我們用θ角(1軸與x軸夾角，由x軸逆時針方向到1軸的夾角為正)表示，如圖2所示。如四層單層材料組成的層合板：（2）疊層復合材料(又稱層合板)60

其他層合板鋪層表不舉例如下：,可表示為，這里s表示對稱，“±”號表示兩層正負角交錯。還可表示為，s表示鋪層上下對稱。

613復合材料的力學分析方法（1）細觀力學它以纖維和基體作為基本單元，把纖維和基體分別看成是各向同性的均勻材料(有的纖維屬橫觀各向同性材料)，根據(jù)材料纖維的幾何形狀和布置形式、纖維和基體的力學性能、纖維和基體之間的相互作用(有時應考慮纖維和基體之間界面的作用)等條件來分析復合材料的宏觀物理力學性能。3復合材料的力學分析方法62（2）宏觀力學它把單層復合材料看成均勻的各向異性材料，不考慮纖維和基體的具體區(qū)別，用其平均力學性能表示單層材料的剛度、強度特性，可以較容易地分析單層和疊層材料的各種力學性質(zhì)，所得結(jié)果較符合實際。宏觀力學的基礎是預知單層材料的宏觀力學性能，如彈性常數(shù)、強度等，這些數(shù)據(jù)來自實驗測定或細觀力學分析。由于實驗測定方法較簡便可靠，工程應用往往采用它。（2）宏觀力學63（3）復合材料結(jié)構(gòu)力學它借助現(xiàn)有均勻各向同性材料結(jié)構(gòu)力學的分析方法，對各種形狀的結(jié)構(gòu)元件如板、殼等進行力學分析，其中有層合板和殼結(jié)構(gòu)的彎曲、屈曲與振動問題以及疲勞、斷裂、損傷、開孔強度等問題。

（3）復合材料結(jié)構(gòu)力學644復合材料的優(yōu)點和缺點復合材料的優(yōu)點(1)比強度高。(2)比模量高。(3)材料具有可設計性。(4)制造工藝簡單，成本較低。(5)某些復合材料熱穩(wěn)定好。(6)高溫性能好。此外，各種復合材料還具有各種不同的優(yōu)良性能，例如抗疲勞性、抗沖擊性、透電磁波性、減振阻尼性和耐腐蝕性等。復合材料的缺點(1)材料各向異性嚴重。(2)材料性能分散度較大，質(zhì)量控制和檢測比較困難。(3)材料成本較高。(4)有些復合材料韌性較差，機械連接較困難。以上缺點除各向異性是固有的外，有些可以設法改進，提高性能，降低成本?？傊?，復合材料的優(yōu)點遠多于缺點，因此具有廣泛的使用領域和巨大的發(fā)展前景。

4復合材料的優(yōu)點和缺點65二、各向異性彈性力學基礎1應力-應變關(guān)系各向異性彈性體的物理方程—應力-應變關(guān)系

(2.1)式中，稱為剛度系數(shù)。

二、各向異性彈性力學基礎66現(xiàn)采用1，2，3軸代替x，y，z軸，并把應力應變分量符號用簡寫符號表示應力應變其中，表示工程剪應變，表示張量剪應變，這樣（2.1）變?yōu)?/p>

現(xiàn)采用1，2，3軸代替x，y，z軸，并把應力應變分量符號用簡67

(2.2)總起來可寫成

或

68矩陣表達形式：(2.1)定義

矩陣表達形式：(2.1)69并注意，即剛度系數(shù)矩陣C有對稱性，只有21個剛度系數(shù)是獨立的，C可表示成并注意，即剛度系數(shù)矩陣C有對稱性，只有21個剛70同樣，用應力分量來表示應變分量，應力-應變關(guān)系為，用矩陣表示

(2.2)其中，為柔度系數(shù)，S為柔度矩陣。是剛度矩陣的逆陣，也是對稱矩陣，可表示為

滿足（2.1）和（2.2）的應力-應變關(guān)系的材料為各向異性材料，應變勢能密度表達式為同樣，用應力分量來表示應變分量，應力-應變關(guān)系為712具有一個彈性對稱平面的材料如果材料有一個性能對稱面（z=0，xoy面），剛度系數(shù)只剩下13個，剛度系數(shù)矩陣C為

2具有一個彈性對稱平面的材料723正交各向異性材料如果材料有三個正交的材料性能對稱平面，稱為正交各向異性材料。剛度系數(shù)只剩下9個，剛度系數(shù)矩陣C為若坐標方向為彈性主方向時，正應力只引起線應變，剪應力只引起剪應變，兩者不耦合。3正交各向異性材料734橫觀各向同性材料若經(jīng)過材料一軸線，在垂直該軸線的平面內(nèi)，各點的彈性性能在各方向上都相同，則此材料稱為橫觀各向同性材料，此平面是各向同性面。剛度系數(shù)只剩下5個，剛度系數(shù)矩陣C為4橫觀各向同性材料745各向同性材料各向同性材料中每一點在任意方向上的彈性特性都相同，獨立的剛度系數(shù)只剩下2個，剛度系數(shù)矩陣C為5各向同性材料756正交各向異性材料工程彈性常數(shù)除了前面表示材料彈性特性的剛度系數(shù)和柔度系數(shù)外，工程上常采用工程彈性常數(shù)來表示材料彈性特性。這些工程彈性常數(shù)是廣義的彈性模量，泊松比和剪切模量，這些常數(shù)可以用簡單的拉伸及純剪實驗來測定。通常實驗是在已知載荷下測量試件的位移或應變，這樣可直接確定柔度矩陣（）。對于正交各向異性材料，用工程彈性常數(shù)表示的柔度矩陣為

=6正交各向異性材料工程彈性常數(shù)76其中，

―分別為材料在1，2，3方向上的彈性模量，其定義為只有一個主方向上有正應力作用時，正應力與該方向線應變的比值： ―為單獨在j方向作用正應力，而無其它應力分量時，i方向應變與j方向應變之比的負值，稱為泊松比，即

―分別為2-3，3-1，1-2平面內(nèi)的剪切模量。對于正交各向異性材料，只有9個獨立的彈性常數(shù)，工程彈性常數(shù)間有以下三個關(guān)系

，但該式常用來檢驗實驗結(jié)果的可靠性或材料是否正交各向異性。

其中，―分別為材料在1，2，3方向上的彈性模量，77四單層復合材料的宏觀力學分析1平面應力下單層復合材料的應力一應變關(guān)系可近似認為，，這就定義了平面應力狀態(tài)，對正交各向異性材料，平面應力狀態(tài)下應力應變關(guān)系為

其中， (3.1)四單層復合材料的宏觀力學分析 (3.1)78將式(3.1)寫成用應變表示應力的關(guān)系式：

其中是二維剛度系數(shù)矩陣,由二維柔度矩陣S求逆得出，，這里用而不用作為剛度系數(shù)矩陣，是因為在平面應力下兩者實際有差別，即，一般有所減少，因此也稱為折減剛度矩陣。

將式(3.1)寫成用應變表示應力的關(guān)系式：792單層材料任意方向的應力一應變關(guān)系（1）應力轉(zhuǎn)軸公式用主方向坐標中應力分量表示x-y坐標中應力分量的轉(zhuǎn)換方程為

圖3-1所示為兩種坐標之間的關(guān)系，θ表示從x軸轉(zhuǎn)向1軸的角度，以逆時針轉(zhuǎn)為正。

(3.2)2單層材料任意方向的應力一應變關(guān)系 (3.2)80將（3.2）寫成

用x-y坐標中應力分量來表示主方向坐標中應力分量如下：

T稱為坐標轉(zhuǎn)換矩陣，T-1是此矩陣的逆陣，它們的展開式分別為

(3.3)將（3.2）寫成 (3.3)81（2）應變轉(zhuǎn)軸公式平面應力狀態(tài)下單層板在x-y坐標中應變分量與主方向應變分量間關(guān)系為

反過來有（2）應變轉(zhuǎn)軸公式82（3）任意方向上的應力一應變關(guān)系在正交各向異性材料巾，平面應力狀態(tài)主方向有下列應力應變關(guān)系式現(xiàn)應用式(3.3)和式(3.4)可得出偏軸向應力-應變關(guān)系：現(xiàn)用表示，則在x-y坐標中應力應變關(guān)系可表示為

(3.4)（3）任意方向上的應力一應變關(guān)系 (3.4)83其中，矩陣表示代表主方向的二維剛度矩陣Q的轉(zhuǎn)換矩陣，它有9個系數(shù)，一般都不為零，并有對稱性，有6個不同系數(shù)。它與Q大不相同，但是由于是正交各向異性單層材料，仍只有4個獨立的材料彈性常數(shù)。在x-y坐標中即使正交各向異性單層材料顯示出一般各向異性性質(zhì)，剪應變和正應力之間以及剪應力和線應變之間存在耦合影響，但是它在材料主方向上具有正交各向異性特性，故稱為廣義正交各向異性單層材料，以與一般各向異性材料區(qū)別。

其中，84現(xiàn)再用應力表示應變，在材料主方向單層材料有下列關(guān)系式：

轉(zhuǎn)換到x-y坐標方向有

其中，現(xiàn)再用應力表示應變，在材料主方向單層材料有下列關(guān)系式：853正交各向異性單層材料的強度概念單向纖維增強復合材料是正交各向異性材料。當外載荷沿材料主方向作用時稱為主方向載荷，其對應的應力稱為主方向應力。如果載荷作用方向與材料主方向不一致，則可通過坐標變換，將載荷作用方向的應力轉(zhuǎn)換為材料主方向的應力。與各向同性材料相比，正交各向異性材料的強度在概念上有下列特點。(1)對于各向同性材料，各強度理論中所指的最大應力和線應變是材料的主應力和主應變；但對于各向異性材料，由于最大作用應力并不一定對應材料的危險狀態(tài)，所以與材料方向無關(guān)的最大值主應力已無意義，而材料主方向的應力是重要的，由于各主方向強度不同，因此最大作用應力不一定是控制設計的應力。

3正交各向異性單層材料的強度概念86(2)若材料在拉伸和壓縮時具有相同的強度，則正交各向異性單層材料的基本強度有三個：

X—軸向或縱向強度(沿材料主方向1)；

Y—橫向強度(沿材料主方向2)；

S—剪切強度(沿1—2平面，見圖3-1)。在確定單層材料強度時可不考慮主應力。如果材料的拉伸和壓縮性能不相同(對于大多數(shù)纖維增強復合材料)，則基本強度有五個：

Xt—縱向拉伸強度；

Xc—縱向壓縮強度；

Yt—橫向拉伸強度；

Yc—橫向壓縮強度；S—剪切強度。它們分別由材料單向受力實驗測定。圖3-1單層復合材料的基本強度(2)若材料在拉伸和壓縮時具有相同的強度，則正交各向異性單層87(3)正交各向異性材料在材料主方向上的拉伸和壓縮強度一般是不同的，但在主方向上的剪切強度(不管剪應力是正還是負)都具有相同的最大值。圖3-3表明，在材料主方向上的正剪應力和負剪應力的應力場是沒有區(qū)別的，兩者彼此鏡面對稱。但是在非材料主方向上剪應力最大值依賴于剪應力的方向(正負)，如圖3-4所示。

圖3-3在材料主方向上的剪應力圖3-4與材料主方向成450角的剪應力

(3)正交各向異性材料在材料主方向上的拉伸和壓縮強度一般是不884正交各向異性單層材料的強度理論大多數(shù)試驗測定的材料強度是建立在單向應力狀態(tài)基礎上的，但實際結(jié)構(gòu)問題常涉及平面應力狀態(tài)或空間應力狀態(tài)。假設材料宏觀上是均勻的，不考慮某些細觀破壞機理(1)最大應力理論在這個理論中，各材料主方向應力必須小于各自方向的強度，否則即發(fā)生破壞。對于拉伸應力有對于壓縮應力有注意這里指材料第1，2主方向的應力，而不是各向同性材料中的主應力。另外與的符號無關(guān)。如上述5個不等式中任一個不滿足，則材料分別以與或相聯(lián)系的破壞機理而破壞。該理論中，各種破壞模式之間沒有相互影響，即實際上是5個分別的不等式。4正交各向異性單層材料的強度理論89在應用最大應力理論時，所考慮材料中的應力必須轉(zhuǎn)換為材料主方向的應力。例如，考慮一個單層復合材料承受與纖維方向成θ角的單向載倚，如圖所示，最大單向應力是下述三個不等式中的最小值：

圖中畫出了單層復合材料單向強度與偏軸角度θ的關(guān)系。拉伸實驗數(shù)據(jù)用·表示，壓縮用■表示，各條曲線分別上表示式，其中最低一條控制強度曲線，強度曲線中的理論尖點在實驗中不存在，該理論與實驗結(jié)果不很一致。

在應用最大應力理論時，所考慮材料中的應力必須轉(zhuǎn)換為材料主方向90（2）最大應變理論最大應變理論與最大應力理論很相似，這里受限制的是應變，對于拉伸和壓縮強度不同的材料，如下不等式

中有任一個不滿足，即認為材料破壞。式中，分別是1方向最大拉伸、最大壓縮線應變；分別是2方向最大拉伸、最大壓縮線應變；是12平面內(nèi)最大剪應變。像剪切強度一樣，最大剪應變不受剪應力方向的影響，在應用此理論前必須將總坐標系中的應變轉(zhuǎn)換為材料主方向的應變。對于承受軸向單向拉伸的單層復合材料，最大應變理論得到的結(jié)果和實驗結(jié)果之間的差別比最大應力理論更加明顯，因此該理論也不大適用

（2）最大應變理論91（3）Hill-蔡(S．W．Tsai)強度理論Hill于1948年對各向異性材料提出了一個屈服準則：式中，為各向異性材料的破壞強度參如以以及代人上式則得其中，為各向同性材料的屈服極限。

(3.5)由此可見，Hill提出的是VonMises理出的各向同性材料屈服準則(Mises準則)，即歪形能理論的推廣，但在正交各向異性材料中，形狀變化和體積變化不能分開，所以式(3.5)不是歪形能。

（3）Hill-蔡(S．W．Tsai)強度理論(3.5)由92

蔡用單層復合材料通常用的破壞強度來表示。如只有作用，其最大值為，則有若只有作用，則有得如只有作用則得如用Z表示3方向的強度，且只有作用，則得聯(lián)立上述三式，可解得如下：

蔡用單層復合材料通常用的破壞強度來表示93對于纖維在1方向的單層材料，在1-2平面內(nèi)，平面應力情況為。根據(jù)幾何特性，纖維在2方向和3方向的分布情況相同，可知，則。由此式(3.5)化為這是由單層復合材料強度表示的基本破壞準則，稱為Hill-蔡強度理論。對于偏軸向受單向載荷的單層復合材料，把應力轉(zhuǎn)軸公式（只有）代入式(3.6)得這是一個統(tǒng)一的強度理論公式，不同于最大應力和最大應變理論(由5個分公式表示)。

(3.6)對于纖維在1方向的單層材料，在1-2平面內(nèi)，平面應力情況為94將此理論結(jié)果和玻璃／環(huán)氧復合材料實驗結(jié)果畫在圖中，兩者吻合較好，該理論可應用于玻璃／環(huán)氧等復合材料。將此理論結(jié)果和玻璃／環(huán)氧復合材料實驗結(jié)果畫在圖中，兩95Hill蔡強度理論有以下優(yōu)點：(1)θ隨方向角目的變化是光滑的，沒有尖點。(2)一般隨θ角增加而連續(xù)減小。(3)該理論與實驗之間吻合較好。(4)Hill-蔡理論中破壞強度之間存在重要的相互聯(lián)系，而其他理論假定三種破壞是單獨發(fā)生的。(5)此理論可進行簡化而得到各向同性材料的結(jié)果。

Hill-蔡理論未考慮拉、壓性能不同的復合材料，這方面Hoffman提出如下新的理論：Hill蔡強度理論有以下優(yōu)點：96五單層板基本力學性能的實驗測定對于拉伸和壓縮性能相同的正交各向異性單層板，其剛度特性有： —l方向彈性模量；—2方向彈性模量；—主泊松比，當，其余；—次泊松比，當，其余； —在1-2平面內(nèi)的剪切模量。上述工程模量中只有4個是獨立的。強度特性有：X—軸向(1方向)強度；Y—橫向(2方向)強度；S—剪切強度(1—2平面內(nèi))。對于拉壓性能不同的單層板彈性常數(shù)分別有兩個和，強度有。腳標t代表拉伸，c代表壓縮。上述基本剛度和強度特性可以通過實驗測定?，F(xiàn)在都采用單向薄板試件測量其各項性能，這里分別介紹各種試驗。

五單層板基本力學性能的實驗測定971、拉伸試驗試件形狀如圖所示。拉伸試件形狀示意圖

要求試件兩端用金屬鋁片或玻璃鋼片作加強片加固，加強片厚度l～2mm，采用粘結(jié)劑粘結(jié)，要求在試驗過程中加強片不脫落。1、拉伸試驗98不同纖維方向的試件尺寸是不同的，試件尺寸規(guī)定見表。

試件類別尺寸

L／mmb／mmt／mml／mmd／mm

θ

00

230

12.5±0.5

l～3

100

50

≥150

900

170

25±0.5

2～4

50

50

≥150

00／900

23025±O．5

2～4

80

50

≥150不同纖維方向的試件尺寸是不同的，試件尺寸規(guī)定見表。

尺99(1)00試件，用引伸計或電阻應變計測量