【全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)】八年級：第20講 類比與聯(lián)想

第二十講類比與聯(lián)想類比就是根據(jù)兩種事物一部分類似的性質(zhì)，推測這兩種事物其他類似性質(zhì)的推理方法．例如，由分?jǐn)?shù)的性質(zhì)類似地推測分式的性質(zhì)；由直線與圓的位置關(guān)系推測圓與圓的位置關(guān)系；由一次函數(shù)、一次方程、一次不等式的某些性質(zhì)和解法，推測二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的某些類似的性質(zhì)與解法等．聯(lián)想是由某種事物而想到其他相關(guān)事物的思維活動．當(dāng)我們遇到一個數(shù)學(xué)問題時，常常想起與它類似的問題、類似的解法，從而有利于新問題的解決．利用類比與聯(lián)想，常常可以發(fā)現(xiàn)新命題和擴展解題思路．1．類比與發(fā)現(xiàn)例1已知：AABC中，ZC二90°,AC=BC=1,BD是AC邊上的中線，E點在AB邊上，且ED丄BD-求厶DEA的面積（圖2-113）.解引CF丄BA于F,由于BC=AC，所以CF是底邊AB上的中線.因為HABC的重心，所以S工耳FHCS工耳FHC3譏EDC1=126'因為ZC=ZBDE=90°，所以ZADE=ZCBH.又由ZA=ZBCH=45°，可知△ADEs^cbh.所以類比如果保留例1中等腰三角形諸條件，去掉直角這一特殊性，那么是否會產(chǎn)生類似的命題呢？由此想到例2.例2如圖2-114.已知△ABC中，ZC=4ZB=4ZA,BD是AC邊上的中線，E點在AB上，且ZAED=ZC,S=1,求S.△ABC△AED解類似例1的解法，引CF丄AB于F,交BD于H,顯然AADE不相似于厶CBH.但由已知條件ZC=4ZB=4ZA,則ZA=ZB=30°,ZC=120°.由于CF平分ZC,所以ZACF=60°.又因為ZAED=ZACB,ZA=ZA,所以△ADEs^ABC,所以由于△AFC中ZAFC=90°,ZA=30°，所以若設(shè)CF=x，則注意卷％磁=才=12X2"24!與例1結(jié)論相同

類比如果保留例1中的直角等條件，去掉等腰三角形這一特殊性，可以類似地得到例3．例3已知△ABC中ZC=90°,AC=2BC=2,BD是AC邊上的中線，CF丄AB于F,交BD于H（圖2-115）.求S.△CBH解本題直接求S有些困難，聯(lián)想例1、例2中的△ADE，不妨引輔△CBH助線DE丄BD父AB于E.由于AC=2BC=2,D是AC的中點，且ZC=ZBDE=90°,所以ZCBH=ZADE=45°.因為CF丄AB于F,所以ZBCH=ZA.由于BC=AD=1,所以△CBH^^ADE,所以S=S△CBH△ADE因此只要求出S即可，為此，設(shè)DE=x，則△ADE所以即所以所以注意英例沖，若令肚=2BC=1,則SAAEC=---,SiAED那么=匯沁=￡,也與例1有相同結(jié)論.（2）例3由例1類比而來，最自然的想法是求S，為增加難度與變換方式獲得新命題，故例3反求S．△ADE△CBH我們知道一個三角形的三邊如果是a,b,c,那么就有|b-c|VaVb+c,①即三角形任意一邊小于其余兩邊之和,大于其余兩邊之差．我們對①類比：是否有|-./b-+屁②存在呢？如果②存在，那么就發(fā)現(xiàn)了如下命題（例4）.例4已知線段包，b,c：組成了一個三甬形；求證］忌7b,血也能組成一個三角形.證由已知條件，可設(shè)Ib~c|蘭亂€b+u,由a＜b+匚得宵＜b+c＜（拓+龐所以品?屆十品所以屈屈屁也能組成一個三甬酸2.聯(lián)想與解題例5a,b為兩個不相等且都不為零的數(shù)，同時有a2+pa+q=0,b2+pb+q=0,求2十2的值.分析與解由已知條件，聯(lián)想到方程根的定義，a,b是方程X2+px+q=0的兩個根，由a，b不為零，有這樣，7+為方程衣+p篡+1=0的兩個根，那么，根據(jù)根?與系數(shù)跑關(guān)系，就璋到1+1=-Labq例6如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求證：x+z=2y．分析與解(1)展開原式有z2-2xz+x2-4(xy-y2-xz+yz)=0，合并、配方得(x+z)2-4y(x+z)+4y2=0，即(x+z-2y)2=0，所以x+z=2y.(2)如果看已知條件：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，很像二次方程根的判別式b2-4ac的形式，因此，可聯(lián)想到方程(x-y)t?+(z-x)t+(y-z)=0(x-yH0)有二相等實根.由(x-y)+(z-x)+(y-z)=0可知1是以上方程的根，再由根與系數(shù)關(guān)系知x-y所以x+z=2y.當(dāng)x=y=0，即x=y時，有x=y=z，所以x+z=2y．例7化簡x2-x-2+(x-iyj/_4x2+z--2+鑼_1)J/-4分析與解這是一個根式的化簡問題，分子、分母大同小異，自然聯(lián)想到應(yīng)用因式分解，使分子、分母具有公因式，化簡就很容易了．仗+!)儀-2)+(—1)J仗+可侄-2)我(X-l)(x+-Z)+(x+1)+2)(x-2)._(x+1)(2+(x-+2j^-2)一伐一1)仏斤遼『+|>+1)』0+辺(>有■^/x-2[(x+1)@?-妄-+(z-1)點+2]?-妣+.：2[(籃徑■+2+(x+l)-x/x-S,]血_2-4\fx+2x+2例8圖2-116是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理的“弦圖”，其中“弦實”是弦平方的面積，“弦圖”以弦為邊作正方形(如正方形ABCD)，然后在“弦圖”內(nèi)部作四個直角三角形(如△AHB,△BEC,△CDF,△DAG).設(shè)a，b，c為四個直角三角形的勾、股、弦，則根據(jù)“出入相補原理”就有c2=4'Wab+(b-a)2,:：c?'■=2ab+b2-2ab+a2,■c2=a2+b2：即c2=2ab+b2-2ab+a2,即c2=a2+b2.

這是中國古代數(shù)學(xué)家獨立于西方畢達哥拉斯和歐幾里得發(fā)明的證法．后人沿用“出入相補原理”，也就是割補原理解決了許多數(shù)學(xué)問題，也創(chuàng)造了“勾股定理”的許多新證法．事實上每位初中同學(xué)，學(xué)了勾股定理，只要用心思考，一定會用割補法想出更新的證明勾股定理的方法．下面的幾例，便是同學(xué)們提出的割補圖．設(shè)a，b，(1)在圖c分別為直角三角形的勾、股、弦．35(1)在圖c分別為直角三角形的勾、股、弦．3512445123=2S+S+S=c.(2)在圖2(2)在圖2-118中，有a2+b2=(S+S)+(S+S)3412=S+S+S+S＇+S=c=S+S+S+S＇+S=c在圖2-119中，有a2+b2—(S+S)+(S+S+S)

25134=S+S+S+S+S—c123452在圖2-120中，有

25134=（S＇+S）+（S+S+S）24135

=S+S+S+S=c.12352練習(xí)二十1?在直角厶ABC中，ZC=90°.（1）如果以此直角三角形三邊為邊，分別作三個正三角形（如圖2-121），那么面積S,S,S之間有什么關(guān)系？123（2）如果以此直角三角形三邊為直徑，分別作三個半圓，那么面積S,S，S之間有什么關(guān)系（如圖2-122）？232.比較（行-J叵與-./12-VH的大?。ㄌ崾荆郝?lián)想同分?jǐn)?shù)，分母大的反而小，變比較分?jǐn)?shù)的大小為比較倒數(shù)