統(tǒng)計(jì)學(xué)之相關(guān)分析的意義與任務(wù)課件

本資料來源本資料來源第七章相關(guān)分析§1相關(guān)分析的意義和任務(wù)§2簡(jiǎn)單線性相關(guān)§3回歸分析§4估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差第七章相關(guān)分析§1相關(guān)分析的意義和任務(wù)§1相關(guān)分析的意義與任務(wù)一、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系例如：半徑與圓面積的關(guān)系工資水平與社會(huì)商品零售額的關(guān)系良種比重與收獲量的關(guān)系沸點(diǎn)（100度）(a+b)2=a2+2ab+b2磚頭的抗壓強(qiáng)度與抗折強(qiáng)度函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系(因果)相關(guān)關(guān)系(因果)相關(guān)關(guān)系§1相關(guān)分析的意義與任務(wù)函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系一般可以區(qū)分為兩種不同的類型：函數(shù)關(guān)系：當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)變量取一定值時(shí)，另一個(gè)變量有確定值與之相對(duì)應(yīng)，這種關(guān)系稱為確定性的函數(shù)關(guān)系。

[在函數(shù)關(guān)系中，一般把作為影響因素的變量稱為自變量（x）；把發(fā)生對(duì)應(yīng)變化（結(jié)果）的變量稱為因變量（y）。]相關(guān)關(guān)系：當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時(shí)，與之相對(duì)應(yīng)的另一變量的值雖然不確定，但仍按某種規(guī)律在一定的范圍內(nèi)變化。變量間的這種相互關(guān)系，稱為具有不確定性的相關(guān)關(guān)系?，F(xiàn)象之間的關(guān)系一般可以區(qū)分為兩種不同的類型：函數(shù)關(guān)系：當(dāng)一個(gè)函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系是兩種不同類型的關(guān)系，但兩者之間并不存在嚴(yán)格的界限。由于在觀察或?qū)嶒?yàn)中出現(xiàn)的誤差，函數(shù)關(guān)系也就通過相關(guān)關(guān)系反映出來；而當(dāng)對(duì)現(xiàn)象之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性了解得更加清楚的時(shí)候，相關(guān)關(guān)系就可能轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系。在相關(guān)關(guān)系中，通常存在一定的因果關(guān)系。但也應(yīng)該知道，在相關(guān)關(guān)系中，有時(shí)兩個(gè)變量之間只存在相互聯(lián)系而并不存在明顯的因果關(guān)系。函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系是兩種不同類型的關(guān)系，但兩者之間并不存在嚴(yán)二、相關(guān)關(guān)系的種類按相關(guān)的程度劃分為：完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）、不完全相關(guān)和不相關(guān)；按相關(guān)的方向劃分為：正相關(guān)和負(fù)相關(guān)；按相關(guān)的形式劃分為：線性相關(guān)（直線關(guān)系）和非線性相關(guān)；按所研究的變量多少可分為：?jiǎn)蜗嚓P(guān)、復(fù)相關(guān)和偏相關(guān)。二、相關(guān)關(guān)系的種類按相關(guān)的程度劃分為：完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）、按相關(guān)程度劃分為：完全相關(guān)：當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量變化完全由另一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量變化所決定時(shí)，這兩種現(xiàn)象間的關(guān)系就為完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）。如：半徑與圓面積之間的關(guān)系。不相關(guān)：當(dāng)兩個(gè)現(xiàn)象彼此互不影響，其數(shù)量變化各自獨(dú)立時(shí)，這兩種現(xiàn)象間的關(guān)系就為不相關(guān)。如：股票價(jià)格與人的平均壽命之間的關(guān)系。不完全相關(guān)：當(dāng)現(xiàn)象之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間時(shí)，這兩種現(xiàn)象間的關(guān)系就為不完全相關(guān)。如：居民的收入水平與恩格爾系數(shù)之間的關(guān)系。按相關(guān)程度劃分為：完全相關(guān)：當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量變化完全由另一個(gè)按相關(guān)的方向劃分為：正相關(guān)：當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量由小變大，另一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量也相應(yīng)由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)。如：職工的工資水平應(yīng)隨勞動(dòng)生產(chǎn)率的提高而增加。負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量由小變大，而另一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量相反地由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)。如：隨著銷售額的增加，流通費(fèi)用率下降按相關(guān)的方向劃分為：正相關(guān)：當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量由小變大，另一個(gè)按相關(guān)的形式劃分為：線性相關(guān)：當(dāng)兩種相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系大致呈現(xiàn)為線性關(guān)系時(shí)，稱之為線性相關(guān)（直線相關(guān)）。如：人們的消費(fèi)水平與收入水平之間的關(guān)系。非線性相關(guān)：當(dāng)兩種相關(guān)現(xiàn)象之間近似于某種曲線方程的關(guān)系時(shí)，則這種相關(guān)關(guān)系稱為非線性關(guān)系。如：產(chǎn)品的平均成本與產(chǎn)品產(chǎn)量之間的關(guān)系。按相關(guān)的形式劃分為：線性相關(guān)：當(dāng)兩種相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系大致呈按所研究的變量多少劃分為：?jiǎn)蜗嚓P(guān)：兩個(gè)現(xiàn)象的相關(guān)，即一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系。如：投資額與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值之間的關(guān)系。復(fù)相關(guān)：當(dāng)所研究的是一個(gè)變量對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上其他變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，稱為復(fù)相關(guān)。如：某種商品的銷售額與其價(jià)格水平和人們收入水平之間的相關(guān)關(guān)系。偏相關(guān)：在某一現(xiàn)象與多種現(xiàn)象相關(guān)的場(chǎng)合，假定其它變量不變時(shí)，其中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為偏相關(guān)。如：在假定人們的收入水平不變的條件下，某種商品的需求與其價(jià)格水平的關(guān)系就是一種偏相關(guān)。按所研究的變量多少劃分為：?jiǎn)蜗嚓P(guān)：兩個(gè)現(xiàn)象的相關(guān)，即一個(gè)變量三、相關(guān)分析與回歸分析：這是兩種研究現(xiàn)象相關(guān)關(guān)系的基本方法。（一）、相關(guān)分析所謂相關(guān)分析，就是用一個(gè)指標(biāo)來表明現(xiàn)象間相互依存關(guān)系的密切程度。（二）、回歸分析所謂回歸分析，就是根據(jù)相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，來近似地表達(dá)變量間的平均變化關(guān)系。三、相關(guān)分析與回歸分析：這是兩種研究現(xiàn)象相關(guān)關(guān)系的基本方法?；貧w（Regression）：

回歸一詞，最初是英國(guó)生物學(xué)家F.Golton在研究遺傳學(xué)的論文中所采用的詞匯(1877年)。他在研究中發(fā)現(xiàn)，具有較高身軀的雙親，或具有較矮身軀的雙親，其子女的身高均表現(xiàn)出退回（即回歸）到人的平均身高的趨勢(shì)。他在這一研究中所建立的數(shù)學(xué)公式被稱為回歸方程式，其涵義應(yīng)是關(guān)系方程式或估計(jì)方程式，但基于歷史的原因，通常仍沿用回歸方程式這一提法?；貧w（Regression）：回歸一詞（三）、相關(guān)分析與回歸分析的聯(lián)系相關(guān)分析與回歸分析不僅具有共同的研究對(duì)象，而且在具體應(yīng)用時(shí)，常常必須相互補(bǔ)充。相關(guān)分析需要依靠回歸分析來表明現(xiàn)象數(shù)量相關(guān)的具體形式?；貧w分析需要依靠相關(guān)分析來表明現(xiàn)象數(shù)量變化的相關(guān)程度。只有當(dāng)變量之間存在著高度相關(guān)時(shí)，進(jìn)行回歸分析尋求其相關(guān)的具體形式才有意義。因此，相關(guān)分析與回歸分析被合稱為廣義的相關(guān)分析。（三）、相關(guān)分析與回歸分析的聯(lián)系相關(guān)分析與回歸分析不僅具有共（四）、相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別：研究目的不同：相關(guān)分析是研究變量之間相關(guān)的方向、相關(guān)程度和相關(guān)形式。回歸分析是研究變量之間相互關(guān)系的具體形式，即：當(dāng)一個(gè)變量發(fā)生數(shù)量上的變化時(shí)，另一個(gè)變量平均會(huì)發(fā)生什么樣的變化。研究方法不同：相關(guān)分析是通過計(jì)算相關(guān)系數(shù)或相關(guān)指數(shù)來判斷變量之間的相關(guān)關(guān)系?；貧w分析是通過數(shù)學(xué)模型來確定變量之間的具體的數(shù)量關(guān)系。變量的性質(zhì)不同：在相關(guān)分析中，不用確定誰是自變量，誰是因變量，且所有變量都是隨機(jī)變量。在回歸分析中，必須事先確定在具有相關(guān)關(guān)系的變量中，誰是自變量和誰是因變量。一般來說，自變量是給定的非隨機(jī)變量（一般變量），因變量是隨機(jī)變量。（四）、相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別：研究目的不同：相關(guān)分析四、相關(guān)表和相關(guān)圖（一）、居民消費(fèi)和收入的相關(guān)表消費(fèi)支出15203040425360657078可支配收入18254560627588929998單位：百元四、相關(guān)表和相關(guān)圖（一）、居民消費(fèi)和收入的相關(guān)表消費(fèi)支出15可支配收入消費(fèi)支出（二）、消費(fèi)與收入的相關(guān)圖可支配收入消費(fèi)支出（二）、消費(fèi)與收入的相關(guān)圖§2簡(jiǎn)單線性相關(guān)分析相關(guān)系數(shù)：用于判斷線性相關(guān)關(guān)系。用積差法進(jìn)行計(jì)算。相關(guān)指數(shù)：用于判斷所有相關(guān)關(guān)系，包括線性和非線性的相關(guān)關(guān)系。但要用回歸系數(shù)b判別其相關(guān)方向?！?簡(jiǎn)單線性相關(guān)分析相關(guān)系數(shù)：用于判斷線性相關(guān)關(guān)系。用一、相關(guān)系數(shù)（r）：相關(guān)系數(shù)是在直線相關(guān)的條件下，說明兩個(gè)現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)的取值范圍，是在－1和+1之間。計(jì)算結(jié)果r>0為正相關(guān)，r<0為負(fù)相關(guān)。相關(guān)系數(shù)的數(shù)值越接近于1（+1或－1），表示相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)。越接近于0，相關(guān)關(guān)系越弱。如果r=0，則表明兩個(gè)現(xiàn)象之間完全沒有直線相關(guān)關(guān)系。（但并不表明兩個(gè)現(xiàn)象之間沒有非線性相關(guān)）相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值r

在0.3以下是無直線相關(guān)，在0.3—0.5是低度直線相關(guān)，在0.5—0.8是顯著相關(guān)，0.8以上是高度相關(guān)。一、相關(guān)系數(shù)（r）：相關(guān)系數(shù)是在直線相關(guān)的條件下，說明兩個(gè)現(xiàn)計(jì)算相關(guān)系數(shù)的方法（積差法）：·

···········(xy)ⅠⅡⅢⅣ計(jì)算相關(guān)系數(shù)的方法（積差法）：·根據(jù)計(jì)算結(jié)果可以知道：在第一、三象限中，∑(x－x)(y－y)>0，為正值；在第二、四象限中，∑(x－x)(y－y)<0，為負(fù)值；根據(jù)計(jì)算結(jié)果可以知道：在第一、三象限中，

但∑(x－x)(y－y)的大小受變量值個(gè)數(shù)多少的影響，同樣的兩個(gè)現(xiàn)象會(huì)因?yàn)樽兞恐祩€(gè)數(shù)的多少而出現(xiàn)計(jì)算結(jié)果的不一致。因此，需要消除計(jì)算結(jié)果受變量值個(gè)數(shù)多少的影響。方法就是：將計(jì)算結(jié)果除以變量值的個(gè)數(shù)n。但∑(x－x)(y－y)的大小受變量值協(xié)方差的作用：顯示x與y是正相關(guān)，還是負(fù)相關(guān)。相關(guān)系數(shù)的正負(fù)完全取決于協(xié)方差的正負(fù)。顯示x與y相關(guān)程度的大小。協(xié)方差的絕對(duì)值小，表示相關(guān)程度低；協(xié)方差的絕對(duì)值大，表示相關(guān)程度高。協(xié)方差的作用：顯示x與y是正相關(guān)，還是負(fù)相關(guān)。相關(guān)系

但x與y的協(xié)方差是名數(shù)，不同現(xiàn)象的變異情況不同，相關(guān)程度不能直接以協(xié)方差大小加以比較。需要以x與y的標(biāo)準(zhǔn)差加以標(biāo)準(zhǔn)化，使協(xié)方差化為無名數(shù)，使相關(guān)系數(shù)可以比較不同現(xiàn)象相關(guān)程度的高低。而且以x與y的標(biāo)準(zhǔn)差加以標(biāo)準(zhǔn)化以后，使相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值不超過1。但x與y的協(xié)方差是名數(shù)，不同現(xiàn)象的變異情況不統(tǒng)計(jì)學(xué)之相關(guān)分析的意義與任務(wù)舉例說明相關(guān)系數(shù)的計(jì)算：編號(hào)xyxyx2y21541926420381274832659127692287962689725910227101022811106311212331131293414138381515836合計(jì)15164234463216365412311例：觀察收入水平提高對(duì)用于食品支出的影響。設(shè)：收入水平為x，食品支出為y。舉例說明相關(guān)系數(shù)的計(jì)算：編號(hào)xyxyx2y215419264根據(jù)資料做散點(diǎn)圖：收入水平食品支出根據(jù)資料做散點(diǎn)圖：收入水平食品支出

從計(jì)算結(jié)果可以知道，收入水平與用于食品的支出成高度的正相關(guān)。從計(jì)算結(jié)果可以知道，收入水平與用于食品的支出§3一元線性回歸分析在相關(guān)分析中，已知兩個(gè)變量之間有直線相關(guān)關(guān)系。就需要確定一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式反映因變量與自變量之間的關(guān)系。有了這種數(shù)學(xué)表達(dá)式就便于進(jìn)行解析，當(dāng)有了自變量的一定數(shù)值，就可以估計(jì)因變量的數(shù)值平均來說將會(huì)有怎樣的變動(dòng)。這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為回歸方程式。由于變量之間關(guān)系的復(fù)雜性，回歸方程式也有多種類型和形式。一元線性回歸方程式是指一個(gè)自變量且相關(guān)形式為直線。§3一元線性回歸分析在相關(guān)分析中，已知兩個(gè)變量之間有舉例說明其研究方法：編號(hào)xyxyx2yc1541919.722642021.523812724.584832624.945912726.386922826.567962627.288972527.4691022728.36101022828.36111063129.0812123313222141383834.84151583638.44合計(jì)151642344632163654422.88舉例說明其研究方法：編號(hào)xyxyx2yc1541919.72設(shè)：x（自變量）為人均月收入水平，

y（因變量）為人均月食品支出額。從前面的相關(guān)分析中，已經(jīng)看出兩個(gè)變量之間是線性趨勢(shì)，因此，可以通過一個(gè)線性方程式來表達(dá)這種關(guān)系：a、b是回歸方程的待定參數(shù)，其中b稱為回歸系數(shù)。設(shè)：x（自變量）為人均月收入水平，

y（因變對(duì)研究線性關(guān)系來說，回歸方程式應(yīng)當(dāng)滿足這樣的要求：

根據(jù)方程所確定的估計(jì)值應(yīng)能代表所有觀察值y的全體，而按照求出的估計(jì)直線與各觀察點(diǎn)之間應(yīng)達(dá)到最大限度的接近，也就是說，用這條直線來代表y與x的關(guān)系，它和實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差比任何其他直線都小，這樣一來，根據(jù)回歸方程所求的直線就是反映y與x之間的關(guān)系的較為合理的一條直線。對(duì)研究線性關(guān)系來說，回歸方程式應(yīng)當(dāng)滿足這樣的要求：利用最小二乘法估計(jì)待定系數(shù)a和b：

a：是截距，表示當(dāng)x等于0時(shí)，y=a；

b：是斜率，表示x每增加一個(gè)單位時(shí)，y所平均增加的數(shù)值。也是回歸系數(shù)，它與相關(guān)系數(shù)r

的取值方向一致：

b為正值時(shí)，r為正，表示正相關(guān)；

b為負(fù)值時(shí)，r為負(fù)，表示負(fù)相關(guān)。利用最小二乘法估計(jì)待定系數(shù)a和b：a：是截距，表示當(dāng)x等于一元線性回歸方程的具體求法：一元線性回歸方程的具體求法：a=9.99元，表示當(dāng)沒有任何收入時(shí)，人均用于

食品的支出需要9.99元。

b=0.18元，表示每增加一元的收入，人均用于

食品的支出平均會(huì)增加0.18元。b為

正值，表示收入水平與食品支出的

關(guān)系為正相關(guān)。將人均收入水平（x）代入回歸方程式，計(jì)算得到估計(jì)值，將其結(jié)果填入統(tǒng)計(jì)表。我們可以看到因變量（y）的觀察值和估計(jì)值并不一致，存在差異。這個(gè)差異的大小就是衡量直線方程式對(duì)所有觀察點(diǎn)的代表性的標(biāo)準(zhǔn)。a=9.99元，表示當(dāng)沒有任何收入時(shí)，人均用于

§4估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差與相關(guān)指數(shù)

回歸方程反映了因變量與自變量之間的變動(dòng)關(guān)系。但它本身并不能反映擬合程度的好壞，在建立方程之后，需要進(jìn)一步分析估計(jì)直線的代表性，所有觀察點(diǎn)與估計(jì)值之間的離差程度等，這就需要建立一些指標(biāo)來加以測(cè)定?！?估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差與相關(guān)指數(shù)回歸方程一、離差平方和的分解

所有觀察值y是上下波動(dòng)的，y取值的這種波動(dòng)的現(xiàn)象稱為變差。產(chǎn)生變差的原因是：受自變量變動(dòng)的影響，即x取值的不同；其他因素的影響。為了分析這兩個(gè)方面的影響，需要對(duì)總變差進(jìn)行分解，即：一、離差平方和的分解所有觀察值y是上下xy0xy0統(tǒng)計(jì)學(xué)之相關(guān)分析的意義與任務(wù)總變差的分解：

：根據(jù)線性方程，可以把它看作是由于x的變動(dòng)所引起。因此，反映了在y的總變差中由于x與y的線性依存關(guān)系而引起y的變化部分，即總變差的變化中被判明或已經(jīng)解釋了的部分，稱為回歸變差，記作U。

：是每個(gè)觀察點(diǎn)距回歸直線離差的平方和。根據(jù)最小二乘法原理，這個(gè)量是在所有的直線中與觀察點(diǎn)距離平方和最小的一個(gè)，它反映的是除了x對(duì)y的線性關(guān)系影響之外的一切因素對(duì)y的影響部分，稱為剩余變差，或未解釋的變差，記為Q。總變差的分解：：根據(jù)線性方程，可以y0y0二、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：二、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：從定義上看，它是觀察值y與估計(jì)值y的平均離差。在回歸分析中，Sq則反映了所有觀察值y對(duì)估計(jì)值y的平均差異程度。從回歸方程的意義中知道，對(duì)給定的自變量x值，觀察值y并非總在回歸直線上，而是分布在它的周圍，這樣就必然形成一定的離差。從直觀上看，它反映的是觀察值y與估計(jì)值y之間的離差，而在它的背后則是反映由自變量x來估計(jì)因變量y時(shí)所產(chǎn)生的誤差。若是這個(gè)離差的值愈小，即按照給定的x值來估計(jì)y的誤差愈小，因而y的準(zhǔn)確程度愈高；相反，若是這個(gè)離差的值愈大，從直觀上看就是各觀察點(diǎn)離開直線愈遠(yuǎn)，這時(shí)按給定的x值來估計(jì)y值，其誤差就愈大，因而y的準(zhǔn)確程度降低。從這個(gè)意義上說，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)離差通稱為回歸估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。從定義上看，它是觀察值y與估計(jì)值y的平均離差。在回歸分析中，回歸估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算公式：說明：觀察值y與估計(jì)值y的平均差異程度是1.91元?；貧w估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算公式：說明：觀察值y與估計(jì)值y的平均差根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)：趨勢(shì)值（預(yù)測(cè)值）落在下列區(qū)間的概率是：落在y±Sq的區(qū)間內(nèi)約占總次數(shù)的68.27%；落在y±2Sq的區(qū)間內(nèi)約占總次數(shù)的95.45%；落在y±3Sq的區(qū)間內(nèi)約占總次數(shù)的99.73%；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)：趨勢(shì)值（預(yù)測(cè)值）落在下列區(qū)間的概率是：三、判定系數(shù)與相關(guān)系數(shù)回歸變差U，從意義上講，就是在影響總變差的因素當(dāng)中已被查明或已被解釋了的部分，也就是自變量x影響的部分。當(dāng)Q的數(shù)值愈小，而U的數(shù)值愈大，即表明總變差中已被判明或被解釋了的因素（x）占的比率大，在圖形上表現(xiàn)為所有觀察點(diǎn)離回歸直線愈近，因而也就表示x與y的關(guān)系愈密切。如果所有觀察點(diǎn)全在回歸直線上，則y=y，即總變差等于回歸變差，剩余變差等于零。這時(shí)產(chǎn)生的總變差完全是由x的變動(dòng)所引起的，這就是完全相關(guān)。但在一般情況下，對(duì)相關(guān)關(guān)系，除自變量的影響而外，還有其他未判明的因素起作用，其觀察點(diǎn)的分布不是在回歸直線上，而是分布在它的周圍，并表現(xiàn)出上下波動(dòng)的狀況。三、判定系數(shù)與相關(guān)系數(shù)回歸變差U，從意義上講，就是在影響總變?cè)谶@種情況下，關(guān)系的密切程度主要根據(jù)U對(duì)總變差的比率大小而異：若U對(duì)總變差的比率逐漸增大，則相關(guān)關(guān)系隨之增加，并逐漸趨于完全相關(guān)；若U對(duì)總變差的比率逐漸減少，則相關(guān)關(guān)系隨之減小，并逐漸趨近于零相關(guān)。由此可見，通過比較U與總變差的關(guān)系及其比率的變動(dòng)，可以反映已判明因素在總變差中所占比率的大小，反映x與y之間的密切程度。現(xiàn)在以總變差為基數(shù)，計(jì)算U對(duì)總變差的比率，并以R2表示。在這種情況下，關(guān)系的密切程度主要根據(jù)U對(duì)總變差的比率大小而判定系數(shù)（相關(guān)指數(shù)、可決系數(shù)）（R）判定系數(shù)是反映相關(guān)關(guān)系密切程度的重要指標(biāo)，不論是線性相關(guān)或非線性相關(guān)都可以運(yùn)用。在非線性中常用R表示，以與線性相關(guān)系數(shù)r相區(qū)別。判定系數(shù)R只能取正值，判別相關(guān)方向要靠回歸系數(shù)b。判定系數(shù)（相關(guān)指數(shù)、可決系數(shù)）（R）判定系數(shù)是反映相關(guān)關(guān)系密本資料來源本資料來源第七章相關(guān)分析§1相關(guān)分析的意義和任務(wù)§2簡(jiǎn)單線性相關(guān)§3回歸分析§4估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差第七章相關(guān)分析§1相關(guān)分析的意義和任務(wù)§1相關(guān)分析的意義與任務(wù)一、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系例如：半徑與圓面積的關(guān)系工資水平與社會(huì)商品零售額的關(guān)系良種比重與收獲量的關(guān)系沸點(diǎn)（100度）(a+b)2=a2+2ab+b2磚頭的抗壓強(qiáng)度與抗折強(qiáng)度函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系(因果)相關(guān)關(guān)系(因果)相關(guān)關(guān)系§1相關(guān)分析的意義與任務(wù)函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系一般可以區(qū)分為兩種不同的類型：函數(shù)關(guān)系：當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)變量取一定值時(shí)，另一個(gè)變量有確定值與之相對(duì)應(yīng)，這種關(guān)系稱為確定性的函數(shù)關(guān)系。

[在函數(shù)關(guān)系中，一般把作為影響因素的變量稱為自變量（x）；把發(fā)生對(duì)應(yīng)變化（結(jié)果）的變量稱為因變量（y）。]相關(guān)關(guān)系：當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時(shí)，與之相對(duì)應(yīng)的另一變量的值雖然不確定，但仍按某種規(guī)律在一定的范圍內(nèi)變化。變量間的這種相互關(guān)系，稱為具有不確定性的相關(guān)關(guān)系。現(xiàn)象之間的關(guān)系一般可以區(qū)分為兩種不同的類型：函數(shù)關(guān)系：當(dāng)一個(gè)函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系是兩種不同類型的關(guān)系，但兩者之間并不存在嚴(yán)格的界限。由于在觀察或?qū)嶒?yàn)中出現(xiàn)的誤差，函數(shù)關(guān)系也就通過相關(guān)關(guān)系反映出來；而當(dāng)對(duì)現(xiàn)象之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性了解得更加清楚的時(shí)候，相關(guān)關(guān)系就可能轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系。在相關(guān)關(guān)系中，通常存在一定的因果關(guān)系。但也應(yīng)該知道，在相關(guān)關(guān)系中，有時(shí)兩個(gè)變量之間只存在相互聯(lián)系而并不存在明顯的因果關(guān)系。函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系是兩種不同類型的關(guān)系，但兩者之間并不存在嚴(yán)二、相關(guān)關(guān)系的種類按相關(guān)的程度劃分為：完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）、不完全相關(guān)和不相關(guān)；按相關(guān)的方向劃分為：正相關(guān)和負(fù)相關(guān)；按相關(guān)的形式劃分為：線性相關(guān)（直線關(guān)系）和非線性相關(guān)；按所研究的變量多少可分為：?jiǎn)蜗嚓P(guān)、復(fù)相關(guān)和偏相關(guān)。二、相關(guān)關(guān)系的種類按相關(guān)的程度劃分為：完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）、按相關(guān)程度劃分為：完全相關(guān)：當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量變化完全由另一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量變化所決定時(shí)，這兩種現(xiàn)象間的關(guān)系就為完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）。如：半徑與圓面積之間的關(guān)系。不相關(guān)：當(dāng)兩個(gè)現(xiàn)象彼此互不影響，其數(shù)量變化各自獨(dú)立時(shí)，這兩種現(xiàn)象間的關(guān)系就為不相關(guān)。如：股票價(jià)格與人的平均壽命之間的關(guān)系。不完全相關(guān)：當(dāng)現(xiàn)象之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間時(shí)，這兩種現(xiàn)象間的關(guān)系就為不完全相關(guān)。如：居民的收入水平與恩格爾系數(shù)之間的關(guān)系。按相關(guān)程度劃分為：完全相關(guān)：當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量變化完全由另一個(gè)按相關(guān)的方向劃分為：正相關(guān)：當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量由小變大，另一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量也相應(yīng)由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)。如：職工的工資水平應(yīng)隨勞動(dòng)生產(chǎn)率的提高而增加。負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量由小變大，而另一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量相反地由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)。如：隨著銷售額的增加，流通費(fèi)用率下降按相關(guān)的方向劃分為：正相關(guān)：當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量由小變大，另一個(gè)按相關(guān)的形式劃分為：線性相關(guān)：當(dāng)兩種相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系大致呈現(xiàn)為線性關(guān)系時(shí)，稱之為線性相關(guān)（直線相關(guān)）。如：人們的消費(fèi)水平與收入水平之間的關(guān)系。非線性相關(guān)：當(dāng)兩種相關(guān)現(xiàn)象之間近似于某種曲線方程的關(guān)系時(shí)，則這種相關(guān)關(guān)系稱為非線性關(guān)系。如：產(chǎn)品的平均成本與產(chǎn)品產(chǎn)量之間的關(guān)系。按相關(guān)的形式劃分為：線性相關(guān)：當(dāng)兩種相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系大致呈按所研究的變量多少劃分為：?jiǎn)蜗嚓P(guān)：兩個(gè)現(xiàn)象的相關(guān)，即一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系。如：投資額與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值之間的關(guān)系。復(fù)相關(guān)：當(dāng)所研究的是一個(gè)變量對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上其他變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，稱為復(fù)相關(guān)。如：某種商品的銷售額與其價(jià)格水平和人們收入水平之間的相關(guān)關(guān)系。偏相關(guān)：在某一現(xiàn)象與多種現(xiàn)象相關(guān)的場(chǎng)合，假定其它變量不變時(shí)，其中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為偏相關(guān)。如：在假定人們的收入水平不變的條件下，某種商品的需求與其價(jià)格水平的關(guān)系就是一種偏相關(guān)。按所研究的變量多少劃分為：?jiǎn)蜗嚓P(guān)：兩個(gè)現(xiàn)象的相關(guān)，即一個(gè)變量三、相關(guān)分析與回歸分析：這是兩種研究現(xiàn)象相關(guān)關(guān)系的基本方法。（一）、相關(guān)分析所謂相關(guān)分析，就是用一個(gè)指標(biāo)來表明現(xiàn)象間相互依存關(guān)系的密切程度。（二）、回歸分析所謂回歸分析，就是根據(jù)相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，來近似地表達(dá)變量間的平均變化關(guān)系。三、相關(guān)分析與回歸分析：這是兩種研究現(xiàn)象相關(guān)關(guān)系的基本方法。回歸（Regression）：

回歸一詞，最初是英國(guó)生物學(xué)家F.Golton在研究遺傳學(xué)的論文中所采用的詞匯(1877年)。他在研究中發(fā)現(xiàn)，具有較高身軀的雙親，或具有較矮身軀的雙親，其子女的身高均表現(xiàn)出退回（即回歸）到人的平均身高的趨勢(shì)。他在這一研究中所建立的數(shù)學(xué)公式被稱為回歸方程式，其涵義應(yīng)是關(guān)系方程式或估計(jì)方程式，但基于歷史的原因，通常仍沿用回歸方程式這一提法?；貧w（Regression）：回歸一詞（三）、相關(guān)分析與回歸分析的聯(lián)系相關(guān)分析與回歸分析不僅具有共同的研究對(duì)象，而且在具體應(yīng)用時(shí)，常常必須相互補(bǔ)充。相關(guān)分析需要依靠回歸分析來表明現(xiàn)象數(shù)量相關(guān)的具體形式。回歸分析需要依靠相關(guān)分析來表明現(xiàn)象數(shù)量變化的相關(guān)程度。只有當(dāng)變量之間存在著高度相關(guān)時(shí)，進(jìn)行回歸分析尋求其相關(guān)的具體形式才有意義。因此，相關(guān)分析與回歸分析被合稱為廣義的相關(guān)分析。（三）、相關(guān)分析與回歸分析的聯(lián)系相關(guān)分析與回歸分析不僅具有共（四）、相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別：研究目的不同：相關(guān)分析是研究變量之間相關(guān)的方向、相關(guān)程度和相關(guān)形式?；貧w分析是研究變量之間相互關(guān)系的具體形式，即：當(dāng)一個(gè)變量發(fā)生數(shù)量上的變化時(shí)，另一個(gè)變量平均會(huì)發(fā)生什么樣的變化。研究方法不同：相關(guān)分析是通過計(jì)算相關(guān)系數(shù)或相關(guān)指數(shù)來判斷變量之間的相關(guān)關(guān)系?；貧w分析是通過數(shù)學(xué)模型來確定變量之間的具體的數(shù)量關(guān)系。變量的性質(zhì)不同：在相關(guān)分析中，不用確定誰是自變量，誰是因變量，且所有變量都是隨機(jī)變量。在回歸分析中，必須事先確定在具有相關(guān)關(guān)系的變量中，誰是自變量和誰是因變量。一般來說，自變量是給定的非隨機(jī)變量（一般變量），因變量是隨機(jī)變量。（四）、相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別：研究目的不同：相關(guān)分析四、相關(guān)表和相關(guān)圖（一）、居民消費(fèi)和收入的相關(guān)表消費(fèi)支出15203040425360657078可支配收入18254560627588929998單位：百元四、相關(guān)表和相關(guān)圖（一）、居民消費(fèi)和收入的相關(guān)表消費(fèi)支出15可支配收入消費(fèi)支出（二）、消費(fèi)與收入的相關(guān)圖可支配收入消費(fèi)支出（二）、消費(fèi)與收入的相關(guān)圖§2簡(jiǎn)單線性相關(guān)分析相關(guān)系數(shù)：用于判斷線性相關(guān)關(guān)系。用積差法進(jìn)行計(jì)算。相關(guān)指數(shù)：用于判斷所有相關(guān)關(guān)系，包括線性和非線性的相關(guān)關(guān)系。但要用回歸系數(shù)b判別其相關(guān)方向?！?簡(jiǎn)單線性相關(guān)分析相關(guān)系數(shù)：用于判斷線性相關(guān)關(guān)系。用一、相關(guān)系數(shù)（r）：相關(guān)系數(shù)是在直線相關(guān)的條件下，說明兩個(gè)現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)的取值范圍，是在－1和+1之間。計(jì)算結(jié)果r>0為正相關(guān)，r<0為負(fù)相關(guān)。相關(guān)系數(shù)的數(shù)值越接近于1（+1或－1），表示相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)。越接近于0，相關(guān)關(guān)系越弱。如果r=0，則表明兩個(gè)現(xiàn)象之間完全沒有直線相關(guān)關(guān)系。（但并不表明兩個(gè)現(xiàn)象之間沒有非線性相關(guān)）相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值r

在0.3以下是無直線相關(guān)，在0.3—0.5是低度直線相關(guān)，在0.5—0.8是顯著相關(guān)，0.8以上是高度相關(guān)。一、相關(guān)系數(shù)（r）：相關(guān)系數(shù)是在直線相關(guān)的條件下，說明兩個(gè)現(xiàn)計(jì)算相關(guān)系數(shù)的方法（積差法）：·

···········(xy)ⅠⅡⅢⅣ計(jì)算相關(guān)系數(shù)的方法（積差法）：·根據(jù)計(jì)算結(jié)果可以知道：在第一、三象限中，∑(x－x)(y－y)>0，為正值；在第二、四象限中，∑(x－x)(y－y)<0，為負(fù)值；根據(jù)計(jì)算結(jié)果可以知道：在第一、三象限中，

但∑(x－x)(y－y)的大小受變量值個(gè)數(shù)多少的影響，同樣的兩個(gè)現(xiàn)象會(huì)因?yàn)樽兞恐祩€(gè)數(shù)的多少而出現(xiàn)計(jì)算結(jié)果的不一致。因此，需要消除計(jì)算結(jié)果受變量值個(gè)數(shù)多少的影響。方法就是：將計(jì)算結(jié)果除以變量值的個(gè)數(shù)n。但∑(x－x)(y－y)的大小受變量值協(xié)方差的作用：顯示x與y是正相關(guān)，還是負(fù)相關(guān)。相關(guān)系數(shù)的正負(fù)完全取決于協(xié)方差的正負(fù)。顯示x與y相關(guān)程度的大小。協(xié)方差的絕對(duì)值小，表示相關(guān)程度低；協(xié)方差的絕對(duì)值大，表示相關(guān)程度高。協(xié)方差的作用：顯示x與y是正相關(guān)，還是負(fù)相關(guān)。相關(guān)系

但x與y的協(xié)方差是名數(shù)，不同現(xiàn)象的變異情況不同，相關(guān)程度不能直接以協(xié)方差大小加以比較。需要以x與y的標(biāo)準(zhǔn)差加以標(biāo)準(zhǔn)化，使協(xié)方差化為無名數(shù)，使相關(guān)系數(shù)可以比較不同現(xiàn)象相關(guān)程度的高低。而且以x與y的標(biāo)準(zhǔn)差加以標(biāo)準(zhǔn)化以后，使相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值不超過1。但x與y的協(xié)方差是名數(shù)，不同現(xiàn)象的變異情況不統(tǒng)計(jì)學(xué)之相關(guān)分析的意義與任務(wù)舉例說明相關(guān)系數(shù)的計(jì)算：編號(hào)xyxyx2y21541926420381274832659127692287962689725910227101022811106311212331131293414138381515836合計(jì)15164234463216365412311例：觀察收入水平提高對(duì)用于食品支出的影響。設(shè)：收入水平為x，食品支出為y。舉例說明相關(guān)系數(shù)的計(jì)算：編號(hào)xyxyx2y215419264根據(jù)資料做散點(diǎn)圖：收入水平食品支出根據(jù)資料做散點(diǎn)圖：收入水平食品支出

從計(jì)算結(jié)果可以知道，收入水平與用于食品的支出成高度的正相關(guān)。從計(jì)算結(jié)果可以知道，收入水平與用于食品的支出§3一元線性回歸分析在相關(guān)分析中，已知兩個(gè)變量之間有直線相關(guān)關(guān)系。就需要確定一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式反映因變量與自變量之間的關(guān)系。有了這種數(shù)學(xué)表達(dá)式就便于進(jìn)行解析，當(dāng)有了自變量的一定數(shù)值，就可以估計(jì)因變量的數(shù)值平均來說將會(huì)有怎樣的變動(dòng)。這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為回歸方程式。由于變量之間關(guān)系的復(fù)雜性，回歸方程式也有多種類型和形式。一元線性回歸方程式是指一個(gè)自變量且相關(guān)形式為直線。§3一元線性回歸分析在相關(guān)分析中，已知兩個(gè)變量之間有舉例說明其研究方法：編號(hào)xyxyx2yc1541919.722642021.523812724.584832624.945912726.386922826.567962627.288972527.4691022728.36101022828.36111063129.0812123313222141383834.84151583638.44合計(jì)151642344632163654422.88舉例說明其研究方法：編號(hào)xyxyx2yc1541919.72設(shè)：x（自變量）為人均月收入水平，

y（因變量）為人均月食品支出額。從前面的相關(guān)分析中，已經(jīng)看出兩個(gè)變量之間是線性趨勢(shì)，因此，可以通過一個(gè)線性方程式來表達(dá)這種關(guān)系：a、b是回歸方程的待定參數(shù)，其中b稱為回歸系數(shù)。設(shè)：x（自變量）為人均月收入水平，

y（因變對(duì)研究線性關(guān)系來說，回歸方程式應(yīng)當(dāng)滿足這樣的要求：

根據(jù)方程所確定的估計(jì)值應(yīng)能代表所有觀察值y的全體，而按照求出的估計(jì)直線與各觀察點(diǎn)之間應(yīng)達(dá)到最大限度的接近，也就是說，用這條直線來代表y與x的關(guān)系，它和實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差比任何其他直線都小，這樣一來，根據(jù)回歸方程所求的直線就是反映y與x之間的關(guān)系的較為合理的一條直線。對(duì)研究線性關(guān)系來說，回歸方程式應(yīng)當(dāng)滿足這樣的要求：利用最小二乘法估計(jì)待定系數(shù)a和b：

a：是截距，表示當(dāng)x等于0時(shí)，y=a；

b：是斜率，表示x每增加一個(gè)單位時(shí)，y所平均增加的數(shù)值。也是回歸系數(shù)，它與相關(guān)系數(shù)r

的取值方向一致：

b為正值時(shí)，r為正，表示正相關(guān)；

b為負(fù)值時(shí)，r為負(fù)，表示負(fù)相關(guān)。利用最小二乘法估計(jì)待定系數(shù)a和b：a：是截距，表示當(dāng)x等于一元線性回歸方程的具體求法：一元線性回歸方程的具體求法：a=9.99元，表示當(dāng)沒有任何收入時(shí)，人均用于

食品的支出需要9.99元。

b=0.18元，表示每增加一元的收入，人均用于

食品的支出平均會(huì)增加0.18元。b為

正值，表示收入水平與食品支出的

關(guān)系為正相關(guān)。將人均收入水平（x）代入回歸方程式，計(jì)算得到估計(jì)值，將其結(jié)果填入統(tǒng)計(jì)表。我們可以看到因變量（y）的觀察值和估計(jì)值并不一致，存在差異。這個(gè)差異的大小就是衡量直線方程式對(duì)所有觀察點(diǎn)的代表性的標(biāo)準(zhǔn)。a=9.99元，表示當(dāng)沒有任何收入時(shí)，人均用于

§4估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差與相關(guān)指數(shù)

回歸方程反映了因變量與自變量之間的變動(dòng)關(guān)系。但它本身并不能反映擬合程度的好壞，在建立方程之后，需要進(jìn)一步分析估計(jì)直線的代表性，所有觀察點(diǎn)與估計(jì)值之間的離差程度等，這就需要建立一些指標(biāo)來加以測(cè)定?！?估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差與相關(guān)指數(shù)回歸方程一、離差平方和的分解

所有觀察值y是上下波動(dòng)的，y取值的這種波動(dòng)的現(xiàn)象稱為變差。產(chǎn)生變差的原因是：受自變量變動(dòng)的影響，即x取值的不同；其他因素的影響。為了分析這兩個(gè)方面的影響，需要對(duì)總變差進(jìn)行分解，即：一、離差平方和的分解所有觀察值y是上下xy0xy0統(tǒng)計(jì)學(xué)之相關(guān)分析的意義與任務(wù)總變差的分解：

：根據(jù)線性方程，可以把它看作是由于x的變動(dòng)所引起。因此，