北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)實(shí)變函數(shù)期末試題07000303,MTH17069

2007級實(shí)變函數(shù)試題B卷一、判斷是非(將答案寫在答題紙上，正確的劃，錯(cuò)誤的劃“X”，每題2分)/cd\O0.設(shè)f:XtY是映射，Ak￡X,k=1,2,…，則fAk=nf(A)。k.集合A為無限集合的充分必要條件是A和它的某一個(gè)真子集對等。.歐式空間中點(diǎn)集E是零測集當(dāng)且僅當(dāng)它是可數(shù)集合。.設(shè)｛FJ是in中非空有界閉集列，且Fl=F2m…三Fk3一，則nFk#0。k1.設(shè)E是可測集合，則E上的任意有界可測函數(shù)都是Lebesgue可積函數(shù)。.設(shè)AUB是不可數(shù)集合，則A,B中至少有一個(gè)是不可數(shù)集合。.設(shè)E是歐式空間中點(diǎn)集，若m(E)=0,則E不含內(nèi)點(diǎn)。.設(shè)E是歐式空間中可測點(diǎn)集，則E上單調(diào)函數(shù)必是Lebesgue可測函數(shù)。二、選擇題(將答案寫在答題紙上，每題3分).代數(shù)數(shù)全體構(gòu)成一個(gè)A.可數(shù)集合B.有限集合C.不可數(shù)集合D.測度大于0的可測集合.設(shè)E￡Rn是有限集，則E為A.開集B.閉集C.既是開集又是閉集D.既不是開集又不是閉集.設(shè)f(X)為可測集E上可測函數(shù)，則E(f=8)是A.空集B.不可測集C.可測集D.零測度集合.設(shè)｛fn(X是可測集E上的一列可測函數(shù)，則隨fn(X)是nmA.可積函數(shù)B.不可測函數(shù)C.連續(xù)函數(shù)D.可測函數(shù).以下集合中，是不可數(shù)集合的是A.無理數(shù)集合B.系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式全體C.單調(diào)函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)全體D.直線上互不相交開區(qū)間全體.Dirichlet函數(shù)為A.Riemann可積函數(shù)B.Lebesgue可積函數(shù)C.幾乎處處連續(xù)函數(shù)D.振幅幾乎處處為0的函數(shù).設(shè)｛En｝是一列單調(diào)遞增可測集合，則A.mIEA.mIEnlimmEnn‘n廠mnEn>limm(En)In￡JB.m「comUEn1nh1mmEn.下面關(guān)于Cantor集的論述不正確的是A.Cantor集為完備集B.Cantor集無內(nèi)點(diǎn)C.Cantor集的測度為1D.Cantor集和10,1］存在——對應(yīng)三、簡答和計(jì)算(共4小題，每題5分).設(shè)f(X)f1(X),，，，,fk(X)，，，是可測集E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，給出函數(shù)列幾乎處處收斂與依測度收斂的關(guān)系。.設(shè)f(X隹hb］上有界函數(shù)，給出f在［a,b］上Riemann可積的充分必要條件。,....一,一―「一，1】一…“.設(shè)f(X用實(shí)值函數(shù)，A={xuif(X岸0},An=XUif(X)A——用An表不A。〔nJJ.設(shè)f(x)=，x3,X^(R-i)nb，11計(jì)算ff(xdxoX2009,X-：10,110,1]四、(10分)設(shè)E是可測集，f(X)為E上非負(fù)可測函數(shù)，若f(X)可積，證明：f(X)幾乎處處有限，即f(x)<aa.e.E。1,xEf_0五、(10分)設(shè)f(X)為可測集E上可積函數(shù)，g(x)=《。證明：-1,xEf：：0(1)g(x)是可測函數(shù)；(2)f(x)=0ae當(dāng)且僅當(dāng)對任意有界可測函數(shù)平(x),fxf：［xdx=0E六、(10分)設(shè)f是可測集E上可積函數(shù)，證明：V&>0,36>0,對于E中子集A,只要m(A,就有Jf(xdx<&。A七、(10分)設(shè)f(x淀10,1】上幾乎處處有限可測函數(shù)，令E=&wb,1】f(x)wzL證明：limJcos(冗f(xdx=m(E)。T0：12009級實(shí)變函數(shù)試題A卷一、判斷是非(將答案寫在答題紙上，正確的劃，錯(cuò)誤的劃“X”，每題2分)/oO>oO.設(shè)f:XTY是映射，Ak￡Y,k=1,2,…，則f,luAk=Uf)。gkk」oO.設(shè)｛Fk｝是in中非空有界開集列，且F13F23…二Fk3…，則nFk是單點(diǎn)集合。k1.設(shè)E是可測集合，則E上的任意有界可測函數(shù)必然是Lebesgue可積函數(shù)。.設(shè)f(X■可測集合E上函數(shù)，則f(X用可積函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)是可積函數(shù)。.設(shè)f(X層有界區(qū)間la,b】上的有界變差函數(shù)，則f(X)是Ia,b］上的Riemann可積函數(shù)。一2?一一._.設(shè)E是可測集，若fwL(E),則fwL(E)。.設(shè)E是可測集，則E上連續(xù)函數(shù)必然是Lebesgue可測的。.設(shè)f(X角實(shí)軸上的連續(xù)函數(shù)，則對于任意開集G,G的像f(G)必為開集。二、選擇題(將答案寫在答題紙上，每題2分).以下集合中，不可數(shù)集合為A.超越數(shù)全體B.整系數(shù)多項(xiàng)式全體C.有界變差函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)全體D.直線上互不相交開區(qū)間全體.以下斷言正確的是A.閉集必然含有聚點(diǎn)B.若可測集E與10,1】對等，則m(E)=1C.零測度集合的閉包也是零測度集D.內(nèi)點(diǎn)必為聚點(diǎn).設(shè)f(X)為可測集E上可測函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)t,E(fAt)是A.可測集B.不可測集C.零測度集合D.開集.設(shè)｛fn(X是一列可測函數(shù)，則inffn(X)是n=1nA.可測函數(shù)B.不可測函數(shù)C.連續(xù)函數(shù)D.無法判定.設(shè)｛日｝是一列單調(diào)遞增可測集合，則A.mlUEn>limm(En)B.mlUEn=limm(En)n,n—^C'nrInn—^C'nfn1.ndC.m!AEnalimm(En)D.m.。En=limm(En)「Ji「JT一1m一br..i以下說法不成立的是.設(shè)f(x戶＜一，x=—，m,n互質(zhì)，其中xw01],nn以下說法不成立的是0,x=0A.f(x)=0a.eB.fLebesgue可積C.f處處不連續(xù)D.fRiemann可積TOC\o"1-5"\h\z、一口一」,…f’1〕….設(shè)f(x發(fā)R上實(shí)值函數(shù)，A={x=jf(x)M0},An=Wxuif(x)M—b,則InJoOoOQOoOccA.A=AnB.A=AnC.A=AnD.A=Ann=4n1n1n=4三、簡答和計(jì)算(共4小題，每題5分).求出有理數(shù)集合的Lebesgue測度。.設(shè)f(x)f〔(x)，…,fx)一是可測集E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，給出函數(shù)列幾乎處處收斂與依測度收斂的關(guān)系。.設(shè)f(x謖b,b］上有界函數(shù)，分別給出f在la,b］±Riemann可積和滿足Newton-Leibniz公式的充分必要條件。.設(shè)f(x)=卜3，x『R-i川1,2］計(jì)算Jf(xdx。x2011,x-：1,211,21四、(10分)設(shè)fnWL(E),n=1,2,…，且ffn(x)dx<M<,證明若{fn(x，依測度E收斂于f(x),則f(x)是可積函數(shù)。五、(10分)設(shè)E是可測集，f(x)為E上非負(fù)可測函數(shù)，則』f(xdx=0的充分必要條件E是f(x)幾乎處處為0。六、(10分)給定可測集合E上非負(fù)可測函數(shù)f(x),g(x),若對于任意常數(shù)a,m(E(f之a(chǎn)))=m(E(g之a(chǎn))),證明Jf(xdx=Jg(xdx。EE七、(10分)設(shè)E是可測集，f(x),fn(x)是E上可積函數(shù)，證明：若1吧」|fn(xf(x)dx=0,則fn(x)依測度U^斂于f(x)。.E八、(10分)設(shè)f是10,1】上非負(fù)可測函數(shù)，且存在兒，對于任意自然數(shù)n,ffn(x)dx=九。0,d證明存在可測集合F10,11,使得fx=Fxa.e01L

2011級實(shí)變函數(shù)試題A卷一、不定項(xiàng)選擇題（每題3分，錯(cuò)選得0分，少選得1分，選對得3分）.R中超越數(shù)全體構(gòu)成一個(gè)A.不可數(shù)集B.可數(shù)集C.可測集D.開集E.閉集.以下斷言正確的是A.內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)B.閉集中任意一點(diǎn)為聚點(diǎn)C.可測集若包含內(nèi)點(diǎn)，則測度一定大于0D.若可測集Ei10,1］,則m（E）=1E.零測集的閉包是零測集.設(shè)f,g為可測集E上可測函數(shù)，則E（f之g）是A.可測集B.不可測集C.閉集D.開集E.Borel集.設(shè)｛fn｝油是fa,b］上可測函數(shù)列，則limfn是一nJ二A.Lebesgue可積的B.Riemann可積的C.可測的D.不可測的E.連續(xù)的.下列集合一定不可數(shù)的是A.Cantor集B.整系數(shù)多項(xiàng)式全體C.直線上開區(qū)間全體D.單調(diào)函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)全體E.可測集Qxwi一i1m一一...r■，一6.設(shè)f(x)=<—,x=—,m,n互質(zhì)，其中xw0,1],則下列說法不正確的是nn0,x=0A.f處處不連續(xù)B.f幾乎處處連續(xù)C.f不Riemann可積D.fRiemann可積E.f幾乎處處為0.設(shè)｛En｝是單調(diào)遞減可測集合列，m（E1）<s,則AoOAB.mAoOAB.mUEn1nm[im：mEnC.mnimEnqmmEnA.m1En=limm(En)<n^)n'D.mfD.mfOOE.mUEn1n1limmEnn—,,.關(guān)于Cantor集，下列論述正確的是A.Cantor集為閉集B.Cantor集為開集C.Cantor集與任意非空開集一一對應(yīng)D.Cantor集的測度為1E.Cantor集為不可數(shù)集二、簡答與計(jì)算（每題6分）22fx,y二x一y2在0,1|0,1］上是否可積，并說明理由。x2y2.設(shè)f,f1,■■■,fk,■■是可測集E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，給出函數(shù)列幾乎處處收斂，幾乎一致收斂和依測度收斂三者之間的關(guān)系O.設(shè)f（x慮b,b］上有界函數(shù)，分別給出f在［a,b］上Riemann可積和滿足Newton-Leibniz公式的充分必要條件。ZL..2,計(jì)算[f(xW。1,21三、(8分).設(shè)f(,計(jì)算[f(xW。1,21ecosx,x-；[1,21四、（10分）設(shè)f是可測集E上非負(fù)可測函數(shù)，證明：若f可積，f在E上幾乎處處有限。五、(10分)設(shè)fnwL(E),n=1,2，…，且[|fn(x，dxM1,證明：(1)若fn-^Tf,

E則fWL(E);(2)若fn-Jf,則fwL(E)。六、（10分）設(shè)六、（10分）設(shè)f是10,1】上幾乎處處不為0的可積函數(shù)，證明limn工二f(x，ndx=10,1]1七、（10分）給定可測集E上函數(shù)f,若干名>0,存在E上可積函數(shù)g,h,滿足g<f<h,使得fh（x）—g（x）Hx<w,證明：f在E上Lebesgue可積。E1,xEf_0八、（10分）設(shè)f為可測集E上可積函數(shù)，g（x）=?'。證明：（1）g是可-1,xEf<0測函數(shù)；（2）f=0a.e.〔E］當(dāng)且僅當(dāng)對任意有界可測函數(shù)中，Jf（x/（x）dx=0。2013級實(shí)變函數(shù)試題A卷一、判斷是非(將答案寫在答題紙上，正確的劃，錯(cuò)誤的劃“X”，每題2分，共計(jì)16分)/oO、Q0_…___--一一1..一一一1一.設(shè)f:XTY是映射，Ak￡Y,k=1,2,，，，，則fUAk=Uf(AJ。\k二Jk」oO.設(shè)｛Fk｝是in中非空有界閉集列，且F13F2二…3Fk3…，則nFk是單點(diǎn)集合。k1.設(shè)E是可測集合，則E上的任意有界可測函數(shù)必然是Lebesgue可積函數(shù)。.設(shè)f(x謾可測集E上幾乎處處有限可測函數(shù)，則f(x)是Lebesgue可積函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(xj是Lebesgue可積函數(shù)。.設(shè)f(x謖有界區(qū)間Ia,b］上的單調(diào)函數(shù)，則f在［a,b］上Riemann可積，f在l.a,bl±Lebesgue可積，且兩積分值相等。.設(shè)f(x層可測集E上幾乎處處有限可測函數(shù)，若f2wL(E),則fwL(E)。.設(shè)E為一開區(qū)間，則E上連續(xù)函數(shù)必然是Lebesgue可測的。.設(shè)f(x溟歐式空間上的連續(xù)函數(shù)，則對于任意開集G,G的原像f,(G)必為開集。二、選擇題(將答案寫在答題紙上，每題2分，共計(jì)14分).以下集合中，不可數(shù)集合為A.超越數(shù)全體B.整系數(shù)多項(xiàng)式全體C.單調(diào)函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)全體D.直線上互不相交開區(qū)間全體.以下斷言正確的是A.閉集一定含有聚點(diǎn)B.若可測集E與10,1］對等，則m(E)>0C.零測度集合的閉包也是零測度集合D.內(nèi)點(diǎn)必為聚點(diǎn).設(shè)f(x)為可測集E上幾乎處處有限可測函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)t,E(fAt)是A.可測集B.不可測集C.零測度集合D.開集.設(shè)｛fn(x>:是R上一列連續(xù)函數(shù)，則inffn(x)一定是nfnA.可測函數(shù)B.不可測函數(shù)C.連續(xù)函數(shù)D.無法判定.設(shè)｛巳｝是一列單調(diào)遞增可測集合，則A.mlUEn>limm(En)B.mlUEn=limm(En)kJiSJT(cd)/oO、C.m1EnIalimm(En)D.m1En=limm(En)In—5gn；

Qxwi—i1m以下說法不成立的是.設(shè)f(x戶<一，x=—，m,n互質(zhì)，其中xw01],nn以下說法不成立的是0,x=0A.f(x)=0a.eB.fLebesgue可積C.f處處不連續(xù)D.fRiemann可積11.設(shè)f(x發(fā)R上實(shí)函數(shù)，A={x=jf(x)M0},An=Wxuif(x)M—b,則InJTOC\o"1-5"\h\zoOoOQOoOccA.A=AnB.A=AnC.A=AnD.A=Ann=4n1n1n=4三、簡答和計(jì)算(共5小題，每題6分).求R上單點(diǎn)集和有理數(shù)集合的Lebesgue測度。.設(shè)f(x)f〔(x)，…,fx)一是可測集E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，給出函數(shù)列幾乎處處收斂與依測度收斂的關(guān)系。(不需要證明).給出仃-代數(shù)的定義。.設(shè)f(x)=碗x,問f在10,-He)上是否Lebesgue可積？并說明理由。x.設(shè)f(x)是[0,1]上處處有限可測函數(shù)，令E=kw10,1]f(x)wZ｝,求：limfcosf(x)jdxT0J四、(10分)設(shè)fnwL(E),n=1,2，…，且。fn(xdx前,證明：若｛fn｝幾乎處處E收斂于f,則fLebesgue可積。五、(10分)設(shè)E是可測集，f(x)為E上非負(fù)可測函數(shù)，則]f(xdx=0的充分必要條件E是f(x)幾乎處處為0。六、(10分)設(shè)E是可測集，f(x),%(乂)是￡上可積函數(shù),證明：若lim[n—>C*fn(x)—f(證明：若lim[n—>C*七、(10分)設(shè)f七、(10分)設(shè)f(x)為可測集E上可積函數(shù),1,xEf-0股11,xEf，0o證明:(1)g(x)是可測函數(shù)；(2)f(x)=0ae當(dāng)且僅當(dāng)對任意有界可測函數(shù)平(x),jf(x/(xdx=0。2014級實(shí)變函數(shù)試題B卷一、判斷是非(將答案寫在答題紙上，正確的劃，錯(cuò)誤的劃“X”，每題2分)/cd\O0.設(shè)f:XtY是映射，Ak￡X,k=1,2,…，則fAk=nf(A)。k.任意多個(gè)開集的并集還是開集。O0.設(shè)｛F"是in中非空有界閉集列，且F1二F23■■■^Fk^…，則口F"0。k1.設(shè)｛Ek｝是單調(diào)遞增的可測集合列，則m(limEk)=mIUEk|=limm(Ek)。.設(shè)f是可測集合E上的函數(shù)，若f2可測，則f可測。.集合A為無限集合的充分必要條件是A的某一個(gè)真子集與自然數(shù)集存在一一對應(yīng)關(guān)系。.設(shè)E是可測集合，且m(E)<2,則E上的任意有界可測函數(shù)必然是Lebesgue可積函數(shù)。.f為可測集E上可測函數(shù)的充分必要條件是對任意有理數(shù)t,E(f>t)是可測集。二、選擇題(將答案寫在答題紙上，每題3分).代數(shù)數(shù)全體構(gòu)成一個(gè)A.可數(shù)集合B.有限集合C.不可數(shù)集合D.測度大于0的可測集合.設(shè)E￡Rn是有限集，則E為A.開集B.閉集C.既是開集又是閉集D.既不是開集又不是閉集.設(shè)f為可測集E上可測函數(shù)，則E(f=比)是A.空集B.不可測集C.可測集D.零測度集合.設(shè)｛fn｝二是可測集E上的一列Lebesgue可積函數(shù)，則limfn是n手二A.可積函數(shù)B.不可測函數(shù)C.連續(xù)函數(shù)D.可測函數(shù).匕,1】上的Dirichlet函數(shù)為A.Riemann可積函數(shù)B.Lebesgue可積函數(shù)C.幾乎處處連續(xù)函數(shù)D.振幅幾乎處處為0的函數(shù).設(shè)｛En｝是單調(diào)遞增可測集合列，則A.m|UEn>limm(En)B.mEn=limm(En)n..nn.^nnTOC\o"1-5"\h\zln3Ji(n+)T/oOyfoO、HYPERLINK\l"bo