北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)圓的有關(guān)概念及圓的確定-知識點整理及重點題型梳理

北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習(xí)圓的有關(guān)概念及圓的確定一知識講解【學(xué)習(xí)目標】.知識目標：理解圓的描述概念和圓的集合概念；理解半徑、直徑、弧、弦、弦心距、圓心角、同心圓、等圓、等弧的概念；經(jīng)歷探索點與圓的位置關(guān)系的過程，會運用點到圓心的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系；了解不在同一直線上的三點確定一個圓，了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的外接三角形的概念^.能力目標：能應(yīng)用圓半徑、直徑、弧、弦、弦心距的關(guān)系，進行計算或證明；會過不在同一直線上的三點作圓..情感目標：在確定點和圓的三種位置關(guān)系的過程中體會用數(shù)量關(guān)系來確定位置關(guān)系的方法，逐步學(xué)會用變化的觀點及思想去解決問題，養(yǎng)成學(xué)生之間發(fā)現(xiàn)問題、探討問題、解決問題的習(xí)慣^【要點梳理】要點一、圓的定義.圓的描述概念如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點O為圓心的圓，記作O”，讀作“圓O'.要點詮釋：①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。淮_定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；②圓是一條封閉曲線..圓的集合概念圓心為O,半彳5為r的圓是平面內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.平面上的一個圓，把平面上的點分成三類：圓上的點，圓內(nèi)的點和圓外的點^圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的的點的集合；圓的外部可以看成是到圓心的距離大于半徑的點的集合.要點詮釋：①定點為圓心，定長為半徑；②圓指的是圓周，而不是圓面；③強調(diào)“在一個平面內(nèi)”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球面，一個閉合的曲面.要點二、點與圓的位置關(guān)系

點和圓的位置關(guān)系有三種：點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外若。。的半徑為r,點P到圓心O的距離為d,那么：點P在圓內(nèi)udvr；點P在圓上ud=r；點P在圓外ud>r.“u”讀作“等價于”，它表示從左端可以推出右端，從右端也可以推出左端要點詮釋：點在圓上是指點在圓周上，而不是點在圓面上；要點三、與圓有關(guān)的概念1.弦TOC\o"1-5"\h\z弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.要點詮釋：直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑^為什么直徑是圓中最長的弦？如圖，AB是。。的直徑，CD是。。中任意一條弦，求證：AB>CD.CA證明：連ZOGODCA???AB=AO+OB=CO+OCD（當且僅當CD過圓心O時，取“=”號），直徑AB是。O中最長的弦..弧?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作AB,讀作“圓弧AB'或“弧AB'.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓;優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)?。涣踊。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.要點詮釋：①半圓是弧，而弧不一定是半圓；②無特殊說明時，弧指的是劣弧..等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.要點詮釋：①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；②圓中兩平行弦所夾的弧相等..同心圓與等圓圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.要點詮釋：同圓或等圓的半徑相等..圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角.要點詮釋：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，反之也成立要點四、確定圓的條件(1)經(jīng)過一個已知點能作無數(shù)個圓；(2)經(jīng)過兩個已知點A、B能作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上；(3)不在同一直線上的三個點確定一個圓.(4)經(jīng)過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.00是4ABC的外心.外心的性質(zhì)：外心是△ABC三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等要點詮釋：(1)不在同一直線上的三個點確定一個圓.“確定”的含義是“存在性和唯一性”.(2)只有確定了圓心和圓的半徑，這個圓的位置和大小才唯一確定^【典型例題】類型一、圓的定義中▼1.(2014秋？邳州市校級月考)如圖所示，BD,CE是4ABC的高，求證：E,B,C,D四點在同一個圓上.【思路點撥】要證幾個點在同一個圓上，就是證明這幾個點到同一點的距離都相等即可【答案與解析】證明：如圖所示，取BC的中點F,連接DF,EF.??BD,CE是4ABC的高，?.△BCD和4BCE都是直角三角形.DF,EF分別為RtABCD和RtABCE斜邊上的中線，DF=EF=BF=CF.?.E,B,C,D四點在以F點為圓心，1BC為半徑的圓上.【總結(jié)升華】要證幾個點在同一個圓上，只能依據(jù)圓的定義，去說明這些點到平面內(nèi)某一點的距離相等舉一反三：【變式】平行四邊形的四個頂點在同一圓上，則該平行四邊形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.◎▼2.爆破時，導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.9cm,點導(dǎo)火索的人需要跑到離爆破點120m以外的安全區(qū)域.這個導(dǎo)火索的長度為18cm,那么點導(dǎo)火索白^人每秒鐘跑6.5m是否安全？【思路點撥】計算在導(dǎo)火索燃燒完的時間內(nèi)人跑的距離與120m比較.【答案與解析】.?導(dǎo)火索燃燒的時間為-18-=20（s）0.9相同時間內(nèi)，人跑的路程為20X6.5=130（成??人跑的路程為130m>120m,??點導(dǎo)火索的人安全.【總結(jié)升華】爆破時的安全區(qū)域是以爆破點為圓心，以120m為半徑的圓的外部，如圖所示.安全區(qū)域安全區(qū)域類型二、圓的有關(guān)計算

O'3.已知，點P是半徑為5的。。內(nèi)一點，且OP=3在過點P的所有的。O的弦中，弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)為（）A.2B.3C.4D.5【思路點撥】在一個圓中，過一點的最長弦是經(jīng)過這一點的直徑，最短的弦是經(jīng)過這一點與直徑垂直的弦【答案】C.【解析】作圖，過點P作直徑AB,過點p作弦CZHA8,連接OC貝UOC=5CD=2PC由勾股定理，得PC二yj0C2-OP2=檸二?二4,，CD=2PC=8又;AB=10,???過點P的弦長1的取值范圍是8<i<W,DD弦長，的整數(shù)解為8,9,10,根據(jù)圓的對稱性，弦長為9的弦有兩條，所以弦長為整數(shù)的弦共4條.故選C.【總結(jié)升華】利用垂徑定理來確定過點P的弦長的取值范圍.根據(jù)圓的對稱性，弦長為9的弦有兩條，容易漏解.舉一反三:【變式】平面上的一個點到圓的最小距離是4cm,最大距離是9cni則圓的半徑是（）A.2.5cmB.6.5cmC.2.5cm或6.5cmD.5cm或13cm【答案】C.類型三、確定圓的條件的有關(guān)作圖與計算4.已知：不在同一直線上的三點A、4.已知：不在同一直線上的三點A、BC,求作：。。使它經(jīng)過點A、BC.【思路點撥】作圓的關(guān)鍵是找圓心得位置及半徑的大小，經(jīng)過兩點的圓的圓心一定在連接這兩點的線段的垂直平分線上，進而可以作出經(jīng)過不在同一直線上的三點的圓^【解析】作法：1、連結(jié)AB,作線段AB的垂直平分線MN2、連接AC,作線段AC的垂直平分線EF,交MNT點Q3、以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓所以。0就是所求作的圓.【總結(jié)升華】通過這個例題的作圖可以作出銳角三角形的外心（圖一）角三角形的外心（圖三）.探究各自外心的位置.【總結(jié)升華】通過這個例題的作圖可以作出銳角三角形的外心（圖一）角三角形的外心（圖三）.探究各自外心的位置.,直角三角形的外心（圖二），鈍（圖一）（圖二）（圖一）（圖二）【變式】（2015?江干區(qū)二模）給定下列圖形可以確定一個圓的是（）A.已知圓心B.已知半徑C.已知直徑D.不在同一直線上的三個點【答案】D.提示：A、已知圓心只能確定圓的位置不能確定圓的大小，故錯誤；BC、已知圓的半徑和直徑只能確定圓的大小并不能確定圓的位置，故錯誤；D不在同一直線上的三點確定一個圓，故正確，故選D.▼5.如圖，。0的直徑為10,弦AB=&P是弦AB上的一個動點，那么OP的長的取值范圍是^【思路點撥】求出符合條件的0P的最大值與最小值.【答案】3<0巴5.【解析】0P最長邊應(yīng)是半徑長，為5;根據(jù)垂線段最短，可得到當OPLAB時，OPM短.???直徑為10,弦A