汽車結(jié)構(gòu)有限元-單元類型及單元

第三講單元類型及單元分析平面問題的有限元分析說明了有限元方法的基本方法和分析步驟，利用有限元方法來分析諸如空間問題、桿梁結(jié)構(gòu)問題、板殼結(jié)構(gòu)等問題時，也象分析平面問題一樣，要對彈性體進行離散，形成有限元離散體，構(gòu)建不同問題類型的單元模式，或是說建立不同類型的單元以分別適應(yīng)空間問題、桿系問題、板殼等不同類型結(jié)構(gòu)問題，而這也正是有限元理論本身的核心問題，即構(gòu)建不同類型的單元。這其中設(shè)定單元位移模式，利用虛功原理建立單元節(jié)點力與節(jié)點位移關(guān)系并組建單元剛度矩陣的過程，我們將其稱為單元分析。

為了使有限元法的解在單元尺寸逐步趨小時能夠收斂于精確解，所構(gòu)造的單元位移函數(shù)必須滿足以下三方面的條件：1）位移模式中必須包括反映剛體位移的項；2）位移模式中必須包括反映常應(yīng)變的線性位移項；3）位移模式中必須能保證單元之間的連續(xù)性。滿足條件1）和2）的單元叫做完備單元，滿足條件3）的單元叫做協(xié)調(diào)單元，同時滿足以上三個條件的單元稱為完備協(xié)調(diào)單元。

對于不同物理性質(zhì)、不同單元類型的問題，有限元法求解的基本步驟是相同的，只是具體公式推導(dǎo)和求解運算不同。僅說明單元分析。就單元應(yīng)用而言，要了解單元屬性。

單元屬性包括單元材料特性和單元幾何特性。單元材料特性說明了構(gòu)成單元的材料力學特性與物理特性，如彈性模量、泊松比、密度等。單元幾何特性則說明了單元的截面幾何尺寸、單元厚度及空間位置特性等。大型通用軟件都形成了單元庫，供用戶選用，而且可以添加新的單元類型。部分結(jié)構(gòu)單元簡圖概覽

本講內(nèi)容如下：1.一維單元分析；2.二維單元分析；3.三維單元分析；4.板殼單元；5.其它各種單元介紹；6.單元選用；1.一維單元分析主要有：桿單元、梁單元、管單元等。1.1桿單元---最簡單的兩節(jié)點一維單元，用于桿件承受軸向力分析。設(shè)桿單元橫截面積為Ａ，長度為l，軸向分布載荷為。單元2個節(jié)點的位移向量為：單元位移模式可設(shè)為：待定常數(shù)可由節(jié)點位移條件確定:

拉壓直桿單元僅有軸向應(yīng)變:相應(yīng)：用應(yīng)變矩陣可寫為：由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：單元剛度矩陣可由一般形式推出：桿單元的特征是不能傳遞力矩，與能夠傳遞力矩的梁單元的特性不同。用來處理桿構(gòu)件的建模問題。需要輸入的單元特性參數(shù)主要有材料性質(zhì)、截面面積A，極慣性矩等。

1.2梁單元---最簡單的等截面2節(jié)點梁單元，節(jié)點位移為撓度和轉(zhuǎn)角，節(jié)點力為剪力和彎矩。

單元每個節(jié)點有兩個自由度，單元形狀函數(shù)應(yīng)是三次多項式：由單元兩端點的條件：；，可解出四個待定系數(shù)，將位移模式寫成標準形函數(shù)形式，則有：

按梁單元的受力狀態(tài)，其節(jié)點力向量為：節(jié)點位移向量為：式中Ｑ為剪力，Ｍ為彎矩，為轉(zhuǎn)角，，為撓度。按照梁的平面彎曲公式：單元彎曲應(yīng)變和應(yīng)力：單元剛度矩陣為：

目前使用的的梁單元除除一次梁單單元外，還還有二次梁梁單元、曲曲梁單元和和錐梁單元元等。二次次梁單元是是由三個節(jié)節(jié)點確定的的拋物線，，曲梁單元元是由兩個個節(jié)點決定定的、具有有曲率半徑徑的圓弧，，而錐梁單單元則是采采用兩個節(jié)節(jié)點處截面面積不等的的線性梁。。上述在局部部坐標系中中得出的桿桿單元或梁梁單元剛度度矩陣，由由于整體結(jié)結(jié)構(gòu)中各桿桿梁位置不不同、傾角角不同，有有限元模型型要求一個個單元在整整體坐標系系中能夠任任意定位，，這就需要要建立兩種種坐標系下下的轉(zhuǎn)換關(guān)關(guān)系。對平平面桁架、、空間桁架架、平面剛剛架與空間間剛架，都都需要建立立這種坐標標變換關(guān)系系。對平面桁架架，根據(jù)坐坐標旋轉(zhuǎn)公公式即可。整體坐標系系與局部坐坐標系下的的單元剛度度矩陣的形形式：對于空間等等參梁單元元主要有2節(jié)點直梁梁單元，3節(jié)點曲梁梁單元?？湛臻g梁單元元的每個節(jié)節(jié)點有六個個自由度，，兩個節(jié)點點共由十二二個位移分分量組成?？臻g梁單元元節(jié)點力列列矩陣也由由十二個力力的分量組組成，即軸軸向拉壓、、扭轉(zhuǎn)以及及在xy、、xz兩平平面內(nèi)的剪剪切和彎曲曲?？臻g梁梁單元采用用了平截面面假設(shè)，既既變形前垂垂直于梁中中性軸的截截面，變形形后仍保持持平面，但但不一定垂垂直中性軸軸。這種假假設(shè)包含了了剪切變形形影響，這這種梁單元元可以處理理大變形小小應(yīng)變的幾幾何非線性性問題和材材料非線性性問題。需要強調(diào)指指出的是，，由于單元元剛度矩陣陣等都是在在局部坐標標中生成的的，而單元元總裝是在在整體坐標標中進行的的，因此在在總裝之前前，這些矩矩陣還要經(jīng)經(jīng)過一次方方向變換，，而方向余余弦值則由由局部坐標標與整體坐坐標之間的的關(guān)系決定定。空間梁單元元定位對于空間梁梁單元，其其局部坐標標需要通過過梁的兩個個節(jié)點i、、j，再加加上梁主慣慣性平面中中的任一參參考點k，，才可確定定。這樣空間梁梁單元就由由3個節(jié)點點組成，點點必須須在一個平平面內(nèi)，但但不能共線線。i節(jié)點點到j(luò)節(jié)點點為單元坐坐標系的x軸，y軸軸(或z軸軸)在節(jié)點點i、j和和k構(gòu)成的的平面上且且與x軸垂垂直，應(yīng)用用右手定則則可以確定定另一坐標標z軸(或或y軸)。。三三點確定定后，單元元坐標系即即確定，梁梁單元的截截面方位也也就完全確確定下來。。所增加的的一個用于于定向的參參考點k，，也是構(gòu)建建空間剛架架有限元模模型的內(nèi)容容，不能忽忽略。需要要輸輸入入的的單單元元特特性性參參數(shù)數(shù)有有材材料料性性質(zhì)質(zhì)參參數(shù)數(shù)、、截截面面面面積積A、、截截面面慣慣性性矩矩I，，截截面面極極慣慣性性矩矩等等。?；蛘咧敝苯虞斴斎肓毫航孛婷娉叽绱?，如如長寬寬高等等，工工程上上多采采用型型材，，可查查表獲獲得。。2.二二維單單元分分析平面問問題的的有限限元分分析中中，目目前通通用程程序中中主要要采用用三角角形三三節(jié)點點、三三角形形六節(jié)節(jié)點、、四邊邊形四四節(jié)點點和四四邊形形八節(jié)節(jié)點單單元。。三角形形六節(jié)節(jié)點單單元形狀函函數(shù)為為完全全二次次多項項式矩形四四節(jié)點點單元元：八節(jié)點點的曲曲邊等等參元元：平面高高階單單元特特性分分析，，可以以建立立單元元應(yīng)變變矩陣陣、應(yīng)應(yīng)力矩矩陣、、剛度度矩陣陣和節(jié)節(jié)點力力向量量等計計算公公式。。由于被被積函函數(shù)非非常復(fù)復(fù)雜，，剛度度矩陣陣[k]已已不可可能寫寫成顯顯式積積分，，需要要用數(shù)數(shù)值積積分計計算。。通常常的方方法是是在單單元內(nèi)內(nèi)選出出某些些積分分點，，算出出被積積函數(shù)數(shù)在這這些積積分點點的值值，然然后用用一些些加權(quán)權(quán)系數(shù)數(shù)乘上上這些些函數(shù)數(shù)值，，再求求出總總和作作為近近似的的積分分值。。數(shù)值值積分分將積積分問問題化化為求求和問問題處處理。。數(shù)值值積分分有多多種方方法，，而高高斯積積分法法是數(shù)數(shù)值積積分法法中具具有較較高精精度的的方法法，所所以在在有限限元法法中都都采用用高斯斯積分分法，，由于采采用高高斯積積分，，相應(yīng)應(yīng)截面面上的的應(yīng)力力等量量值也也是在在積分分點上上獲得得的，，再由由積分分點外外推到到節(jié)點點，在在查看看計算算結(jié)果果輸出出時要要注意意輸出出點的的位置置。3.三維單單元分分析利用有有限單單元法法來分分析空空間問問題時時，也也像分分析平平面問問題時時一樣樣，要要將彈彈性體體進行行離散散，形形成有有限元元離散散體。?？臻g間問題題時彈彈性體體的離離散可可用多多種不不同單單元，，如四四節(jié)點點四面面體單單元、、八節(jié)節(jié)點六六面體體單元元、20節(jié)節(jié)點六六面體體單元元及各各種等等參單單元。。其中中四節(jié)節(jié)點單單元是是最簡簡單的的空間間單元元，它它是一一種常常應(yīng)變變單元元。3.1四節(jié)點四面面體單元四面體單元元不象六面面體單元只只適用于幾幾何形狀規(guī)規(guī)則的單元元，它對結(jié)結(jié)構(gòu)的劃分分有良好的的適應(yīng)性。。每個節(jié)點點有三個方方向的位移移自由度，，四個個節(jié)點共有有12個位位移分量。。單元位移函函數(shù)為：3.2八節(jié)點六面面體單元幾何形狀規(guī)規(guī)則的結(jié)構(gòu)構(gòu)三維分析析時，可選選用六面體體單元，它它有八個節(jié)節(jié)點，節(jié)點點參數(shù)為三三個坐標軸軸方向的位位移分量。。邊長分別別為的平行行六面體單單元，也稱稱為磚形單單元。每個節(jié)點的形形狀函數(shù)為：：3.320節(jié)點六面面體等參元提高解的精度度，要從設(shè)計計新的單元和和新的位移模模式著手。線線性位移模式式單元是實際際位移分布的的最低級逼近近形式，精度度是受到局限限的。而對具具有曲線邊界界的問題，采采用直線邊界界單元，則存存在著用折線線代替曲線所所帶來的誤差差，而這種誤誤差不能用提提高單元位移移模式的精度度來補償，因因此需要構(gòu)造造一些曲邊高高精度單元，，以便在給定定的精度下用用較少數(shù)目的的單元去解決決實際問題。。等參單元既能能適應(yīng)復(fù)雜結(jié)結(jié)構(gòu)的曲面邊邊界，又便于于構(gòu)造高階單單元，20節(jié)節(jié)點六面體等等參元就是其其中一種?？臻g20節(jié)點點等參元是由由邊長為2的的立方體單元元經(jīng)過坐標變變換得到的。。為插值表示示出曲面的單單元形狀，每每個邊至少應(yīng)應(yīng)有3個節(jié)點點。在單元內(nèi)內(nèi)建立曲線坐坐標系，將此此曲面六面體體單元變換映映射成一個20節(jié)點正方方體單元。形函數(shù)的構(gòu)成成要分成八個個角點的形函函數(shù)和各棱邊邊中節(jié)點的形形函數(shù)兩種情情況表述。其其表達式如下下：由空間彈性力力學幾何方程程，得應(yīng)變表表達式：由空間彈性力力學物理方程程，單元內(nèi)的的應(yīng)力可以表表示成：單元剛度矩陣陣為：實體單元可以以直接利用三三維CAD所做好的實體體模型，所以以非常容易理理解。實體單單元能夠適用用于所有的結(jié)結(jié)構(gòu)，但其節(jié)節(jié)點數(shù)或單元元數(shù)可能非常常之多。雖然然板梁結(jié)構(gòu)都都可以采用實實體單元建模模，但對于符符合板或梁形形式的結(jié)構(gòu)還還是采用梁單單元或板殼單單元為佳，其其精度完全滿滿足工程結(jié)構(gòu)構(gòu)設(shè)計要求。。采用實體單單元分析所花花費時間一般般較采用梁單單元與板單元元為多，另外外三維網(wǎng)格調(diào)調(diào)整是比較困困難的，用板板梁單元建立立的模型，截截面內(nèi)力容易易判斷，在初初期設(shè)計階段段，更易于評評價計算結(jié)果果。實體單元無須須輸入除材料料性質(zhì)參數(shù)以以外的任何單單元特性參數(shù)數(shù)。4板殼單元1.薄板矩形單元元薄板彎曲只研研究中面的變變形，矩形板板單元也只研研究其一個矩矩形平面。每每個節(jié)點有三三個位移分量量，即撓度w及繞x、y軸的轉(zhuǎn)角、、，取四四個角點i、、j、m、p為四個節(jié)點點，撓度以沿沿z軸正向為正，，轉(zhuǎn)角則按右右手法則標出出矢量，沿坐坐標軸正向為為正。節(jié)點i的的三個位移分分量可表示為為：位移模式矩形單元有12個自由度，僅僅取撓度為獨獨立位移變量量，其位移模模式可取為下下列多項式：：上式中的前三三項反映了單單元的剛體位位移；3個二二次項反映了了單元中面變變形的常應(yīng)變變形式；完全全的三次多項項式和不完全全的四次多項項式，使得撓撓度函數(shù)具有有三次多項式式的精度，可可以保證單元元間撓度的連連續(xù)性，但是是不能保證相相鄰單元在公公共邊界上轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角的連續(xù)性性。這種單元元位移模式是是完備的，但但是一個不完完全協(xié)調(diào)單元元。這種單元元能夠通過分分片試驗，相相應(yīng)計算精度度還是較好的的。2.薄板三角形單單元圖示三節(jié)點三三角形薄板單單元，單元的的節(jié)點位移仍仍為節(jié)點處的的撓度w和繞繞x、y軸的的轉(zhuǎn)角、，，單元位移模模式應(yīng)包含9個參數(shù)，因此此所取的位移移函數(shù)應(yīng)包括括9項，但一個完完整的三次多多項式包含10項：所以必須從上上式中刪去1項，式中前前3項代表剛剛體位移，次次3項反映常常量應(yīng)變，都都必須保留，，以滿足收斂斂的必要條件件。為了減少少一個獨立項項，只能從后后面的4個三三次項中刪去去一項，但任任意刪去一項項，則位移模模式將不再關(guān)關(guān)于x,y對對稱，引起計計算上的很大大不便。采用面積坐標標，單元位移函數(shù)數(shù)可假設(shè)為：：矩形平板殼單單元三角形平板殼殼單元以薄板彎曲單單元推演出的的殼體單元，，是將薄板彎彎曲單元和平平面應(yīng)力單元元簡單地疊加加在一起，因因而單元形狀狀是平面的。。對于更復(fù)雜雜的曲面，需需要采用曲面面單元來描述述殼體的真正正幾何形狀，，不但可以用用較少的單元元來代替復(fù)雜雜形狀的殼體體，還能得到到具有相當精精度的結(jié)果。。這方面有四四節(jié)點的曲面面殼體單元和和八節(jié)點的等等參單元等。。板殼殼單單元元需需要要輸輸入入的的單單元元特特性性參參數(shù)數(shù)有有材材料料性性質(zhì)質(zhì)參參數(shù)數(shù)、、板板厚厚等等。實例例5.其它它各各種種單單元元介介紹紹1.質(zhì)量單單元質(zhì)量單單元只只有一一個節(jié)節(jié)點，，用以以表示示在該該節(jié)點點處存存在一一個集集中質(zhì)質(zhì)量。。質(zhì)量量單元元是最最多具具有6個自由由度的的點單單元，，即沿沿節(jié)點點坐標標系方方向的的平動動和繞繞軸的的轉(zhuǎn)動動，也也可以以僅具具有3個平動動自由由度。。質(zhì)量量單元元可以以承受受節(jié)點點力、、節(jié)點點力矩矩及各各種體體積力力作用用，單單元物物理屬屬性包包括單單元質(zhì)質(zhì)量和和轉(zhuǎn)動動慣量量，可可以輸輸出位位移和和反作作用力力。一一般用用來處處理那那些不不參與與分析析的部部件，，將它它們按按集中中載荷荷處理理。例例如在在分析析車架架結(jié)構(gòu)構(gòu)問題題時，，經(jīng)常常采用用質(zhì)量量單元元來處處理如如發(fā)動動機、、水箱箱、油油箱等等附件件載荷荷。所需輸輸入的的單元元特性性參數(shù)數(shù)就是是質(zhì)量量。2.彈簧單單元彈簧單單元有有兩個個節(jié)點點，——般位位于模模型內(nèi)內(nèi)部。?？煞址譃槔瓑簭棌椈稍团づまD(zhuǎn)彈彈簧元元兩種種類型型。拉拉壓彈彈簧元元的每每個節(jié)節(jié)點具具有三三個移移動自自由度度，因因此可可以承承受節(jié)節(jié)點力力的作作用；；扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)彈簧簧元節(jié)節(jié)點具具有三三個旋旋轉(zhuǎn)自自由度度，故故可承承受節(jié)節(jié)點力力矩的的作用用。彈彈簧元元的物物理特特性是是三個個方向向的拉拉伸或或扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)剛度度值，，如果果其中中兩個個為零零，則則彈簧簧元只只能在在某——個方方向上上提供供彈性性力。。彈簧簧元可可以輸輸出位位移、、單元元力或或約束束反力力，它它不具具有質(zhì)質(zhì)量。。在劃劃分網(wǎng)網(wǎng)格時時必須須控制制線上上的單單元份份數(shù)，，一般般將線線控制制為一一份單單元，，一條條線劃劃分成成兩個個單元元則相相當于于兩個個彈簧簧串聯(lián)聯(lián)。在在有限限元建建模中中，彈彈簧單單元可可用于于模擬擬結(jié)構(gòu)構(gòu)的某某種約約束。。3.剛性單元剛性單元與與普通結(jié)構(gòu)構(gòu)單元有所所不同，其其單元形狀狀表現(xiàn)為在在各節(jié)點之之間定義剛剛體連接。。剛性連接接確定了各各節(jié)點的主主從關(guān)系，，在獨立自自由度和從從屬自由度度之間用剛剛體方程式式連接，相相互之間沒沒有變形。。而在程序序中從屬自自由度從整整個方程式式中除去。。無須輸入任任何單元特特性參數(shù)。。剛性單元有有兩種用法法，一是剛剛性梁，有有6個自由度，，能夠同時時傳遞力和和力矩，具具有剛性梁梁連接作用用；另一