高三數(shù)學(xué)理科立體幾何練習(xí)體積表面積

-.z高三數(shù)學(xué)理科立幾練習(xí)(外表積+體積)班級(jí)座號(hào)一、柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3提示：(1)幾何體的側(cè)面積是指各個(gè)側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形．二、多面體的外表積的求法：(1)求解有關(guān)多面體外表積的問(wèn)題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形，棱臺(tái)中的直角梯形，棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長(zhǎng)等幾何元素的橋梁，從而架起側(cè)面積公式中的未知量與條件中幾何元素的聯(lián)系．(2)旋轉(zhuǎn)體的外表積的求法：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將曲面展為平面圖形計(jì)算，而外表積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．三、給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或外表積時(shí)，可以根據(jù)三視圖復(fù)原出實(shí)物，畫(huà)出該幾何體的直觀圖，確定該幾何體的構(gòu)造特征，并利用相應(yīng)的體積公式求出其體積，求體積的方法有直接套用公式法、等體積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法等多種．假設(shè)所給幾何體為不規(guī)則幾何體，常用等體積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法求解．練習(xí)：1．把球的外表積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則體積擴(kuò)大到原來(lái)的()．A．2倍B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍D.eq\r(3,2)倍2．如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后所得多面體的三視圖，則該多面體的體積為()A.eq\f(142,3)B.eq\f(284,3)C.eq\f(280,3)D.eq\f(140,3)3.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則其側(cè)面積與全面積的比為，此圓錐體積為4．點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，給出以下四個(gè)命題：①三棱錐A-D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確的命題序號(hào)是________．5.棱長(zhǎng)為2的正四面體的外表積是，體積是，其外接球體積為。6．如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2cm，高為5cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.7．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的外表積及體積．8.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖．主視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形，左視圖是一個(gè)長(zhǎng)為eq\r(3)，寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的外表積S.9．*幾何體的俯視圖是如右圖所示的矩形，主視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，左視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.10.圓錐的母線長(zhǎng)為20cm，則當(dāng)其體積最大時(shí)，其側(cè)面積為〔〕A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2高三(上)數(shù)學(xué)立幾練習(xí)(體積外表積)班級(jí)座號(hào)一、柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3提示：(1)幾何體的側(cè)面積是指各個(gè)側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形．二、多面體的外表積的求法：(1)求解有關(guān)多面體外表積的問(wèn)題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形，棱臺(tái)中的直角梯形，棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長(zhǎng)等幾何元素的橋梁，從而架起側(cè)面積公式中的未知量與條件中幾何元素的聯(lián)系．(2)旋轉(zhuǎn)體的外表積的求法：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將曲面展為平面圖形計(jì)算，而外表積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．三、給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或外表積時(shí)，可以根據(jù)三視圖復(fù)原出實(shí)物，畫(huà)出該幾何體的直觀圖，確定該幾何體的構(gòu)造特征，并利用相應(yīng)的體積公式求出其體積，求體積的方法有直接套用公式法、等體積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法等多種．假設(shè)所給幾何體為不規(guī)則幾何體，常用等體積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法求解．練習(xí)：1．把球的外表積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則體積擴(kuò)大到原來(lái)的()．答案BA．2倍B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍D.eq\r(3,2)倍2．如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后所得多面體的三視圖，則該多面體的體積為()．答案BA.eq\f(142,3)B.eq\f(284,3)C.eq\f(280,3)D.eq\f(140,3)解析根據(jù)三視圖的知識(shí)及特點(diǎn)，可畫(huà)出多面體的形狀，如下圖．這個(gè)多面體是由長(zhǎng)方體截去一個(gè)正三棱錐而得到的，所以所求多面體的體積V＝V長(zhǎng)方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3).3.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則其側(cè)面積與全面積的比為，2:3此圓錐體積為，，4．點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，給出以下四個(gè)命題：①三棱錐A-D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確的命題序號(hào)是________．解析：連接BD交AC于O，連接DC1交D1C于O1，連接OO1，則OO1∥BC1.∴BC1∥平面AD1C，動(dòng)點(diǎn)P到平面AD1C的距離不變，∴三棱錐P-AD1C的體積不變．又VP-AD1C＝VA-D1PC，∴①正確．∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P?平面A1C1B，∴A1P∥平面ACD1，②正確．由于DB不垂直于BC1，顯然③不正確；由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，∴DB1⊥平面AD1C.DB1?平面PDB1，∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正確．答案：①②④5.棱長(zhǎng)為2的正四面體的外表積是4eq\r(3)，體積是，其外接球體積為。解析：每個(gè)面的面積為：eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∴外表積為4eq\r(3)，體積是外接球直徑，半徑，體積=〔將四面體補(bǔ)成正方體〕6．如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2cm，高為5cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.答案13解析根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個(gè)一樣的三棱柱，然后將其展開(kāi)為如下圖的實(shí)線局部，則可知所求最短路線的長(zhǎng)為eq\r(52＋122)＝13(cm)．7．(2021·模擬)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的外表積及體積．解：由得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S外表＝S圓臺(tái)側(cè)＋S圓臺(tái)下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圓臺(tái)－V圓錐＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.8.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖．主視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形，左視圖是一個(gè)長(zhǎng)為eq\r(3)，寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的外表積S.解析(1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)平行六面體(如圖)，其底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為eq\r(3)，所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形，S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).9．*幾何體的俯視圖是如右圖所示的矩形，主視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，左視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.解析由題設(shè)可知，幾何體是一個(gè)高為4的四棱錐，其底面是長(zhǎng)、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對(duì)側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為8，高為h1的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為6，高為h2的等腰三角形，如右圖所示．(1)幾何體的體積為：V＝eq\f(1,3)·S矩形·h＝eq\f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正側(cè)面及相對(duì)側(cè)面底邊上的高為：h1＝eq\r(42＋32)＝5.左、右側(cè)面的底邊上的高為：h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).故幾何體的側(cè)面面積為：S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×8×5＋\f(1,2)×6×4\r(2)))＝40＋24eq\r(2).10．〔2021秋?期末〕圓錐的母線長(zhǎng)為20cm，則當(dāng)其體積最大時(shí)，其側(cè)面積為〔〕A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【分析】設(shè)底面半徑為r，用r表示出圓錐的體積，利用函數(shù)思想求出體積的極大值點(diǎn)，代入側(cè)面積公式即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則h=，∴圓錐的體積V=πr2h=，令f〔r〕=400r4﹣r6，∴f′〔r〕=1600r3﹣6r5，令f′〔r〕=0，解得r=，當(dāng)0＜r＜時(shí)，f′〔r〕＞0，當(dāng)＜r＜20時(shí)，f′〔r〕＜0．∴當(dāng)r=時(shí)，f〔r〕取得最大值，即圓錐的體積取得最大值．此時(shí)，圓錐的側(cè)面積S=πrl=π××20=．應(yīng)選：B．9.【2021全國(guó)大聯(lián)考1〔課標(biāo)=1\*ROMANI卷〕】直三棱柱中，底面是正三角形，三棱柱的高為，假設(shè)是中心，且三棱柱的體積為，則與平面所成的角大小是〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，則點(diǎn)為底面的中心，故即為與平面所成的角，由于，而，又因?yàn)槿庵捏w積為，由棱柱體積公式得，解得，所以，得，故與平面所成的角大小是，故正確答案為C.(2021·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的外表積為_(kāi)_______．解析：如圖，設(shè)球O的半徑為R，則由AH∶HB＝1∶2得HA＝eq\f(1,3)·2R＝eq\f(2,3)R，∴OH＝eq\f(R,3).∵截面面積為π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，∴R2＝eq\f(1,9)R2＋HM2＝eq\f(1,9)R2＋1，∴R＝eq\f(3\r(2),4).∴S球＝4πR2＝4π·(eq\f(3\r(2),4))2＝eq\f(9,2)π.5.〔2021·高考卷)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為_(kāi)_________．[答案]eq\f(1,6)[解析]三棱錐D1-EDF的體積即為三棱錐F-DD1E的體積．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點(diǎn)，所以在正方體ABCD-A1B1C1D1中△EDD1的面積為定值eq\f(1,2)，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以VF-DD1E＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).二、滾動(dòng)練習(xí)1．設(shè)是虛數(shù)單位，則等于DA．0B．C．D．2.〔2021·高考理科·Ｔ10〕假設(shè)，，均為單位向量，且，〔-〕·〔-〕≤0，則|+-|的最大值為BA．B．1C．D．2【精講精析】由〔-〕·〔-〕≤0，得，又且，，均為單位向量，得，|+-|2=〔+-〕2==，故|+-|的最大值為1.3.函數(shù)f(*)＝，則使函數(shù)f(*)的圖象位于直線y＝1上方的*的取值圍是________．答案