課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2020高考數(shù)學(xué)專題六數(shù)列3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和試題理

課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2020高考數(shù)學(xué)專題六數(shù)列3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和試題理課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2020高考數(shù)學(xué)專題六數(shù)列3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和試題理PAGEPAGE17課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2020高考數(shù)學(xué)專題六數(shù)列3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和試題理等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式①理解等比數(shù)列的概念.②掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式。③能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.④了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。2018課標(biāo)Ⅲ,17,12分等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式指數(shù)的運(yùn)算★★★2017課標(biāo)Ⅱ,3，5分等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式數(shù)學(xué)文化為背景的應(yīng)用問題2016課標(biāo)Ⅰ,15,5分等比數(shù)列的通項(xiàng)公式最值問題2.等比數(shù)列的性質(zhì)2016課標(biāo)Ⅲ，17,12分等比數(shù)列的判定由an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式2015課標(biāo)Ⅱ,4，5分等比數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的概念及其表示分析解讀本節(jié)是高考的考查熱點(diǎn)，主要考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算和性質(zhì),等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,尤其要注意以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列題,題型既有選擇題、填空題,也有解答題?？疾閷W(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力以及學(xué)生對函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸和分類討論思想的應(yīng)用。破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式1.（2018河南開封一模,5）已知等比數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且9S3=S6，a2=1，則a1=(）A.12B。22C.答案A2。（2018陜西延安黃陵中學(xué)（重點(diǎn)班)第一次大檢測,10）已知公比不為1的等比數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2，2a5,3a8成等差數(shù)列,則3SA.134B.1312C.9答案C3(2018天津?yàn)I海新區(qū)七所重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考，11)等比數(shù)列{an｝中,各項(xiàng)都是正數(shù),且a1,12a3，2a2成等差數(shù)列,則a13+答案2—1考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)1。（2018安徽馬鞍山第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測，5)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=1，a3·a5=4(a4—1)，則a7的值為(）A。2B.4C。92答案B2。(2017福建4月模擬，6）已知遞增的等比數(shù)列{an｝的公比為q,其前n項(xiàng)和Sn〈0，則（)A。a1〈0,0〈q〈1B。a1<0,q〉1C。a1>0,0〈q<1D.a1>0，q>1答案A3。設(shè)等比數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S6S3A.2B.73C。8答案B 煉技法【方法集訓(xùn)】方法等比數(shù)列的判定與證明1.下列結(jié)論正確的是（）A.若數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和Sn=n2+n+1，則{an}為等差數(shù)列B。若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-2，則{an｝為等比數(shù)列C。非零實(shí)數(shù)a,b，c不全相等，若a,b,c成等差數(shù)列,則1a,1b,D.非零實(shí)數(shù)a,b,c不全相等,若a,b，c成等比數(shù)列,則1a，1b,答案D2.(2018河南信陽模擬，17)已知數(shù)列｛an}滿足a1=1,an+1=2an+λ(λ為常數(shù)）。（1)試探究數(shù)列{an+λ｝是不是等比數(shù)列,并求an；（2）當(dāng)λ=1時,求數(shù)列{n（an+λ）}的前n項(xiàng)和Tn。解析(1)因?yàn)閍n+1=2an+λ,所以an+1+λ=2（an+λ)。又a1=1，所以當(dāng)λ=—1時,a1+λ=0,數(shù)列｛an+λ}不是等比數(shù)列，此時an+λ=an-1=0，即an=1;當(dāng)λ≠—1時,a1+λ≠0,所以an+λ≠0,所以數(shù)列{an+λ}是以1+λ為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,此時an+λ=（1+λ)2n-1,即an=（1+λ)2n-1-λ.(2）由(1)知an=2n-1,所以n(an+1）=n×2n，Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n①，2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1②,①-②得：—Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2所以Tn=(n—1）2n+1+2。過專題【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點(diǎn)一等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式1.(2017課標(biāo)Ⅱ，3,5分）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(）A。1盞B.3盞C.5盞D.9盞答案B2。（2015課標(biāo)Ⅱ，4，5分)已知等比數(shù)列{an｝滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=（)A。21B.42C.63D.84答案B3.（2018課標(biāo)Ⅲ，17，12分）等比數(shù)列{an｝中,a1=1,a5=4a3.(1）求｛an}的通項(xiàng)公式；(2）記Sn為｛an}的前n項(xiàng)和.若Sm=63，求m.解析(1)設(shè)｛an}的公比為q，由題設(shè)得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=—2或q=2.故an=(—2）n—1或an=2n—1.（2)若an=(-2）n—1，則Sn=1-(-由Sm=63得(—2）m=-188.此方程沒有正整數(shù)解.若an=2n—1,則Sn=2n-1。由Sm=63得2m=64,解得m=6.綜上,m=6?？键c(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)（2016課標(biāo)Ⅰ,15，5分)設(shè)等比數(shù)列{an｝滿足a1+a3=10,a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為.

答案64B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式1。（2018北京,4，5分）“十二平均律"是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122A。32fB.322fC.12答案D2.（2017江蘇,9,5分）等比數(shù)列｛an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=74,S6=634，則a8=答案32考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)1。（2016天津,5，5分)設(shè)｛an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n—1+a2n〈0”的()A。充要條件B。充分而不必要條件C。必要而不充分條件D。既不充分也不必要條件答案C2.(2014廣東，13,5分）若等比數(shù)列{an｝的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5，則lna1+lna2+…+lna20=。

答案50C組教師專用題組考點(diǎn)一等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式1.（2014重慶,2，5分）對任意等比數(shù)列｛an｝,下列說法一定正確的是()A.a1，a3，a9成等比數(shù)列B.a2，a3,a6成等比數(shù)列C。a2，a4,a8成等比數(shù)列D。a3,a6，a9成等比數(shù)列答案D2。(2013課標(biāo)Ⅱ，3，5分，0。859)等比數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=（)A.13B。-13C.1答案C3。（2012課標(biāo)Ⅰ，5,5分）已知｛an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=—8，則a1+a10=(）A.7B。5C.—5D.—7答案D4.(2017北京，10,5分）若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn｝滿足a1=b1=-1，a4=b4=8,則a2b2答案15。(2015湖南，14，5分)設(shè)Sn為等比數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和。若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=。

答案3n-16。(2014天津,11，5分)設(shè)｛an｝是首項(xiàng)為a1，公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1，S2,S4成等比數(shù)列，則a1的值為。

答案-17.（2014安徽，12,5分）數(shù)列｛an}是等差數(shù)列，若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q=。

答案18.（2016四川，19，12分)已知數(shù)列{an｝的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1，其中q>0,n∈N*。(1）若2a2，a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式;（2)設(shè)雙曲線x2—y2an2=1的離心率為en，且e2=53,證明:e1+e2解析（1)由已知，Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1，兩式相減得到an+2=qan+1,n≥1。又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan對所有n≥1都成立.所以,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列.從而an=qn-1.由2a2,a3，a2+2成等差數(shù)列,可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2,則（2q+1)（q-2）=0，由已知,q〉0，故q=2.所以an=2n—1（n∈N＊)。（2)證明:由（1)可知，an=qn—1。所以雙曲線x2-y2an2=1的離心率en=由e2=1+q2=53因?yàn)?+q2（k—1)〉q2（k—1），所以1+q2(k-于是e1+e2+…+en〉1+q+…+qn-1=qn故e1+e2+…+en>4n9.(2015江蘇，20,16分)設(shè)a1,a2,a3,a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(d≠0）的等差數(shù)列。(1）證明：2a1，2a2,(2）是否存在a1，d,使得a1，a22，a3(3)是否存在a1,d及正整數(shù)n，k,使得a1n，a2n+解析（1）證明：因?yàn)?an+12an=2an+1-a（2）令a1+d=a，則a1，a2,a3，a4分別為a—d，a，a+d，a+2d（a〉d，a>-2d,d≠0）.假設(shè)存在a1,d,使得a1,a22，a3則a4=（a-d）(a+d)3，且(a+d）6=a2（a+2d)4。令t=da，則1=（1—t)（1+t）3且(1+t)6=（1+2t）4-1化簡得t3+2t2-2=0(＊),且t2=t+1.將t2=t+1代入(*)式，得t（t+1）+2（t+1）—2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，則t=-14顯然t=-14不是方程t2因此不存在a1，d,使得a1，a22,a3（3）假設(shè)存在a1,d及正整數(shù)n，k，使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列,則a1n（a1+2d)n+2k=（a分別在兩個等式的兩邊同除以a12(并令t=da則(1+2t）n+2k=（1+t)2(n+k),且（1+t）n+k（1+3t)n+3k=（1+2t)2（n+2k）.將上述兩個等式兩邊取對數(shù),得（n+2k)ln(1+2t）=2(n+k）·ln（1+t）,且（n+k)ln(1+t）+(n+3k）ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).化簡得2k［ln（1+2t）—ln（1+t）]=n［2ln（1+t)—ln（1+2t）],且3k[ln（1+3t）—ln（1+t)]=n［3ln(1+t）-ln(1+3t）]。再將這兩式相除，化簡得ln(1+3t）ln(1+2t)+3ln（1+2t）ln(1+t)=4ln（1+3t)ln（1+t)（＊*)。令g（t）=4ln(1+3t)ln（1+t)-ln（1+3t)ln（1+2t）-3ln(1+2t）·ln(1+t),則g’(t）=2[(令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t）—3（1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t）2·ln（1+t）,則φ’（t)=6[(1+3t）ln（1+3t)—2（1+2t）ln（1+2t）+(1+t）·ln（1+t）]。令φ1(t)=φ'(t)，則φ’1（t）=6［3ln（1+3t)—4ln(1+2t）+ln（1+t）］。令φ2（t)=φ'1（t）,則φ’2（t)=12(由g(0）=φ(0）=φ1（0)=φ2(0）=0,φ'2(t）>0,知φ2（t）,φ1（t)，φ(t）,g(t）在-1故g(t）只有唯一零點(diǎn)t=0，即方程（*＊）只有唯一解t=0，故假設(shè)不成立.所以不存在a1，d及正整數(shù)n,k，使得a1n,a2n+評析本題考查等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的運(yùn)算和綜合應(yīng)用，考查演繹推理、直接證明、間接證明等邏輯思維能力.10。(2015山東，18，12分）設(shè)數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn。已知2Sn=3n+3。(1）求｛an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an,求｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn。解析（1)因?yàn)?Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,當(dāng)n〉1時，2Sn-1=3n—1+3,此時2an=2Sn-2Sn—1=3n—3n—1=2×3n-1，即an=3n—1,所以an=3（2)因?yàn)閍nbn=log3an,所以b1=13當(dāng)n〉1時，bn=31—nlog33n—1=（n-1)·31-n.所以T1=b1=13當(dāng)n〉1時,Tn=b1+b2+b3+…+bn=13+［1×3-1+2×3-2+…+(n—1）×31—n所以3Tn=1+［1×30+2×3-1+…+（n-1)×32—n],兩式相減,得2Tn=23+(30+3-1+3-2+…+32-n）-(n-1）×3=23+1-31-n1所以Tn=1312—6經(jīng)檢驗(yàn)，n=1時也適合。綜上可得Tn=1312-6n+311.(2014課標(biāo)Ⅱ，17，12分,0.299)已知數(shù)列{an｝滿足a1=1,an+1=3an+1。（1)證明an+1(2)證明1a1+1a2+…+解析（1)由an+1=3an+1得an+1+12=3a又a1+12=3所以an+1an+12=3n2,因此｛an}的通項(xiàng)公式為an（2）由(1)知1an=因?yàn)楫?dāng)n≥1時,3n-1≥2×3n—1，所以13n-于是1a1+1a2+…+1an≤1+13所以1a1+1a2+…+評析本題考查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問題，放縮法求和是本題的難點(diǎn).考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)1。（2018浙江,10，4分）已知a1,a2，a3,a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3).若a1>1,則（)A。a1〈a3,a2〈a4B.a1〉a3，a2<a4C。a1<a3，a2>a4D。a1>a3,a2>a4答案B2.（2014大綱全國,10,5分）等比數(shù)列｛an｝中，a4=2,a5=5，則數(shù)列｛lgan}的前8項(xiàng)和等于()A。6B.5C.4D.3答案C3。（2015安徽,14,5分）已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1+a4=9,a2a3=8，則數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和等于。

答案2n—14。（2014江蘇，7，5分)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an}中，若a2=1,a8=a6+2a4，則a6的值是.

答案4【三年模擬】一、選擇題(每小題5分，共35分）1。(2019屆山東濟(jì)南第一中學(xué)高三期中考試，7)在等比數(shù)列{an｝中，若a3，a7是方程x2+4x+2=0的兩根,則a5的值是（)A.-2B?！?C.±2D.2答案B2。（2019屆安徽黃山11月“八校聯(lián)考”,7）設(shè)Sn是等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和,S4=5S2，則a5A.±12B?！?C?！?或—1D.±1答案D3.(2018河南新鄉(xiāng)二模，6）在公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列{an｝中,a4=4，則當(dāng)2a2+a6取得最小值時，log2q=(）A。14B。-14C.1答案A4。(2018福建廈門模擬，8）設(shè)等比數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2n+1+λ,則λ=（)A.-2B。-1C。1D.2答案A5。（2018山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷測試，7）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰：“我羊食半馬。”馬主曰:“我馬食半牛。”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟。羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)償還a升，b升,c升，1斗為10升,則下列判斷正確的是(）A。a，b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且a=50B.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列，且c=50C.a,b，c依次成公比為12的等比數(shù)列,且a=D.a，b,c依次成公比為12的等比數(shù)列，且c=答案D6。(2017湖北六校聯(lián)合體4月模擬,10)在數(shù)列｛an｝中，a1=1,an+1=2an,則Sn=a12—a22+a32—A.13(2n—1）B.15(1—2C.13（4n-1）D。13（1-2答案B7。（2018湖南湘潭三模，9）已知等比數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)積為Tn,若a1=—24，a4=—89，則當(dāng)TnA.2B.3C.4D。6答案C二、填空題(每小題5分，共15分）8。(2019屆河北衡水中學(xué)高三第一次摸底考試，14)已知數(shù)列｛an},若數(shù)列｛3n-1an}的前n項(xiàng)和Tn=15×6n-15，則a5的值為答案169。（2019屆廣東化州高三第一次模擬考試，16）已知函數(shù)f(x）=exex+1,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,an〉0，a1010=1，則f(lna1）+f(lna3）+…+f（lna答案201910.(2017江西仿真模擬,16)已知數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a1=1，a2=2,Sn+1=an+2—an+1(n∈N＊)，若不等式λSn〉an恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是。

答案（1,+∞）三、解答題（共25分）11。（2019屆江西九江高三第一次十校聯(lián)考，20）已知數(shù)列{an}滿足an+1-an—1=2（an+an—1)(n≥2）,a1=1，a2=7，令bn=an+1+an.(1)求證數(shù)列{bn｝為等比數(shù)列，并求{bn｝的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{an}的前