不等式的性質(zhì)及一元二次不等式 新高考 數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)提升精講精練 （含答案解析）

不等式的性質(zhì)及一元二次不等式（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)【例1-1】（2022·浙江）已知，是正實(shí)數(shù)，則下列式子中能使恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，取，該不等式成立，但不滿足；對(duì)于C，該不等式等價(jià)于，取，，該不等式成立，但不滿足；對(duì)于D，該不等式等價(jià)于，取，，該不等式成立，但不滿足；下面證明B法一：不等式等價(jià)于，而.函數(shù)在上單增，故.法二：若，則，故，矛盾.故選：B【例1-2】（2016·浙江）設(shè)實(shí)數(shù)，，滿足，，則下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】選項(xiàng)A，要證，只需證即可.由題意可知，則成立，則成立.要證，只需證由題意可知，則，又因?yàn)?，所以，則，即成立故選項(xiàng)A成立，不符合題意.選項(xiàng)B，要證，只需證即可.由題意可知，則，成立.所以成立，即.要證，只需證，只需證由題意可知，則，，，.所以成立，即成立.故選項(xiàng)B成立，不符合題意.選項(xiàng)C，要證，只需證即可.由題意可知?jiǎng)t.又因?yàn)?，所?所以成立，即.要證，只需證即可由題意可知?jiǎng)t.又因?yàn)?，所?所以成立，即成立.故選項(xiàng)C成立，不符合題意.選項(xiàng)D，令，，則即，所以不成立，符合題意.故選：D【一隅三反】1．（2022·福建·三模）若，則“”的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，?duì)于A，當(dāng)，取，明顯可見(jiàn)，不成立，故必要性不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，，得，必要性成立；當(dāng)，取，，明顯可見(jiàn)，，則不成立，充分性不成立；則B正確對(duì)于C，當(dāng)，取，明顯可見(jiàn)，，則不成立，故必要性不成立，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)成立，則，明顯可見(jiàn)，成立；當(dāng)，兩邊平方，同樣有，充分性也成立，D錯(cuò)誤；故選：B2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，，滿足，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】實(shí)數(shù)，，滿足，所以對(duì)于：當(dāng)，，時(shí)，不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于：當(dāng)，，時(shí)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于：由于，所以，故，故正確；對(duì)于：當(dāng)，，時(shí)，無(wú)意義，故錯(cuò)誤．故選：．3．（2022·江蘇蘇州·高三期末）已知?jiǎng)t下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】取，則，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；取，，，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤；取，，則，，即，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；關(guān)于C選項(xiàng)，先證明一個(gè)不等式：，令，，于是時(shí)，遞增；時(shí)，遞減；所以時(shí)，有極小值，也是最小值，于是，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，由，當(dāng)時(shí)，同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，，再用替換，得到，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，由于，得到，，，即，C選項(xiàng)正確.故選：C.考點(diǎn)二不等式恒成立【例2-1】（2022·海南·嘉積中學(xué)）對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，由得：，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，解得：，即的取值范圍為.選：D.【例2-2】（2022·重慶·高三階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則.（1）當(dāng)時(shí)，則，令，.故.（2）當(dāng)時(shí)，則，令①當(dāng)時(shí)，，則②當(dāng)時(shí)，，則故（3）當(dāng)時(shí)，則在上恒成立，故.綜上所述：故選：A.【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，對(duì)一切均大于0恒成立，所以，或，或，解得或，，或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，或.故選：A.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵不等式的解集為R，當(dāng)a-2＝0，即a＝2時(shí)，不等式為3>0恒成立，故a＝2符合題意；當(dāng)a﹣2≠0，即a≠2時(shí)，不等式的解集為R，則，解得，綜合①②可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：B．3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若不等式對(duì)一切恒成立，則，即，在單調(diào)遞增，，所以.故選：C4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)任意的恒成立，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由選項(xiàng)可知，故原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，故，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，此時(shí)必有，即，故選：B考點(diǎn)三一元二次方程（不等式）根的分布【例3-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程：有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，則=（

）A． B． C．4 D．-4【答案】D【解析】由有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，所以．故選：D．【例3-2】（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，解得，所以原不等式的解集為，又解集中的整?shù)有且僅有1，2，3，所以解得：，即，故答案為：．【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若和分別是一元二次方程的兩根，則的是______.【答案】【解析】由韋達(dá)定理：，，故答案為：.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____【答案】【解析】解：因?yàn)椴坏仁降慕饧星∮袀€(gè)正整數(shù)，即不等式的解集中恰有個(gè)正整數(shù)，所以，所以不等式的解集為，所以這三個(gè)正整數(shù)為，所以，故答案為：.3．（2021·全國(guó)·專題練習(xí)）已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都大于2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令由題可知：則，即故選：C4．（2021·上?！とA師大二附中高一期中）已知實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a、b、、從小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可得：，.由，，設(shè)，則.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故選：A.考點(diǎn)四比較大小【例4-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，同理可得，故，故選：C.【例4-2】．（2022·廣東茂名·高三階段練習(xí)）（多選）已知，，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，，又，所以，所以；故選：AD【一隅三反】1．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋郧?，所以，所以，故選：B.2．（2022·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知非零實(shí)數(shù)m，n滿足，則下列關(guān)系式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所?取，，得，故A選項(xiàng)不正確；取，，得，所以，故B選項(xiàng)不正確；取，，得，故C選項(xiàng)不正確；當(dāng)時(shí)，則，所以，所以，當(dāng)時(shí)，則，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上得D選項(xiàng)正確，故選：D.3．（2022·廣東廣州·一模）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；，故；，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故；，；故ABC均錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，兩邊取自然對(duì)數(shù)，，因?yàn)椴还?，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，結(jié)論得證，D正確故選：D考點(diǎn)五解含參的一元二次不等式【例5】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式．【答案】答案見(jiàn)解析【解析】若，原不等式等價(jià)于－x＋1<0，解得x>1．若，原不等式等價(jià)于，解得或x>1．若，原不等式等價(jià)于．①當(dāng)時(shí)，，無(wú)解；②當(dāng)時(shí)，，解，得；③當(dāng)時(shí)，，解，得；綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為或；

當(dāng)時(shí)，解集為{x|x>1}；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式：，當(dāng)時(shí)解不等式．【答案】答案不唯一，具體見(jiàn)解析【解析】原不等式可變形為：，當(dāng)時(shí)，，所以，即原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，所以，即原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，令，所以，若時(shí)，，所以原不等式的解集為，若時(shí)，，所以原不等式的解集為，若時(shí)，，所以原不等式的解集為，綜上可知：時(shí)，原不等式的解集為；時(shí)，原不等式的解集為；時(shí)，原不等式的解集為；時(shí)，原不等式的解集為．2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）解關(guān)于的不等式：.【答案】答案見(jiàn)解析【解析】當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，或；當(dāng)時(shí)，，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，此時(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，不等式化為，解得；綜上，時(shí)，不等式的解集是；時(shí)，不等式的解集是或；時(shí)，不等式的解集是；時(shí)，不等式無(wú)解；時(shí)，不等式的解集是.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．（1）若