圓弧長為定長的曲邊三角形AOB面積最大課件

等周問題圓是最完美的圖形?！〉戎軉栴}圓是最完美的圖形。引題：人需要很多土地嗎？（俄國托爾斯泰）有人賣地，規(guī)定太陽一出來，來買地的人就出去跑，一天內(nèi)跑圈多大地方，這地就屬于他，價(jià)格1千盧布，但太陽落山時(shí)須回到出發(fā)地，否則1千盧布白花。巴霍姆去買地，太陽一出來他就開始跑。巴霍姆先向前跑了10里才開始向左直拐，又跑了許多路再向左拐第二個(gè)直彎，此時(shí)正值中午，巴霍姆又跑了2里，還有15里趕近路，終于在太陽落山時(shí)回到出發(fā)地。但隨即倒地不省人事，當(dāng)家人告訴他圈出的地方不值1千盧布時(shí)，巴霍姆立刻口吐鮮血而亡。托爾斯泰通過小說告誡世人：人不能貪得無厭，寶貴的是生命，重要的是人的智慧。引題：人需要很多土地嗎？（俄國托爾斯泰）有人賣地，規(guī)定太陽一本課題學(xué)習(xí)的意義蘇步青認(rèn)為：等周問題是人類理性文明中，既精要又美妙的一個(gè)古典幾何問題，是數(shù)學(xué)教師理想的進(jìn)修課題?！钡戎軉栴}是17世紀(jì)數(shù)學(xué)家感興趣的問題之一。它在數(shù)學(xué)發(fā)展史上占有重要地位，對變分法的產(chǎn)生和發(fā)展起了重要作用。本課題學(xué)習(xí)的意義蘇步青認(rèn)為：等周問題是人類理性文明中，既精要等周問題的發(fā)現(xiàn)——自然界的現(xiàn)象大自然偏愛圓形，向日葵的子盤，千萬種美麗的花朵，都是圓形的。水管等管道大自然也偏愛球形樹葉上的露珠，太陽、地球、月亮、行星，頭蓋骨等都自然地形成球形或近似于球形。寒夜，一只貓鉆進(jìn)干草垛，把自己的身體盡可能蜷伏成球形。很多水果是球形的，等等。這是為什么？等周問題的發(fā)現(xiàn)——自然界的現(xiàn)象大自然偏愛圓形，向日葵的子盤，等周問題的發(fā)現(xiàn)——泡沫實(shí)驗(yàn)把一根柔軟的細(xì)線兩端連接起來，圍成一個(gè)任意形狀的封閉曲線，把它輕輕放在充滿泡沫的肥皂液上，用燒熱的針刺破曲線內(nèi)的薄膜，此時(shí)這條封閉曲線立即變成一個(gè)圓.17世紀(jì)各種泡沫實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)家中風(fēng)靡一時(shí)，實(shí)驗(yàn)的目的是從中獲取數(shù)學(xué)猜想。等周問題的發(fā)現(xiàn)——泡沫實(shí)驗(yàn)把一根柔軟的細(xì)線兩端連接起來，圍成周長為1的圖形的面積圖形面積圓0.0793正方形0.0625象限角形9000.0616矩形（3：2）0.0601半圓0.0595等邊扇形6000.0564矩形（2：1）0.0556等邊三角形0.0481矩形（3：1）0.0464等腰直角三角形0.0427泡沫實(shí)驗(yàn)獲得的猜想：在周長為定值的一切封閉曲線中,以圓所圍成的面積為最大。笛卡爾的驗(yàn)證這個(gè)簡短的表強(qiáng)烈地暗示出等周定理，因?yàn)樵僭诒碇性黾訋讉€(gè)圖形，也增加不了多少啟發(fā)性。周長為1的圖形的面積圖形面積圓0.0793正方形0.0625等周定理：周長定值的一切封閉曲線中,圓圍成的面積最大。假設(shè)φ是周長為定值面積最大的封閉曲線。首先證明φ是凸圖形,然后證明平分φ周長的弦必平分面積；最后證平分周長與面積的弦AB必是直徑；綜上所述φ為圓.等周定理：周長定值的一切封閉曲線中,圓圍成的面積最大。假設(shè)等周定理的2種形式及其等價(jià)形式1：在所有等周的平面封閉圖形中，以圓面積最大。形式2：在所有等面積的平面封閉圖形中，以圓周長最小。

是面積為A的圓，其周長為p，P是面積為A的非圓閉曲線，其周長為q，則必有p<q。設(shè)等周定理的2種形式及其等價(jià)形式1：在所有等周的平面封閉圖形中設(shè)是面積為A的圓，其周長為p，P是面積為A的非圓閉曲線，其周長為q，則必有p<q。。作的同心圓，使其有周長q，于是由知，圓必在圓的內(nèi)部，圓的面積.但另一方面，由于和P有相同的周長，依據(jù)等周定理1，應(yīng)有這就產(chǎn)生了矛盾。故必有p<q證明：假設(shè)設(shè)是面積為A的圓，其周長為p，P是面積為A的非圓閉曲線，其周等周定理應(yīng)用——紀(jì)塔娜問題傳說古代非洲沿海某部落酋長答應(yīng)給紀(jì)塔娜一塊“由灰鼠皮能包住”的土地。紀(jì)塔娜想出了巧妙的辦法，在海岸邊劃出了一塊意想不到大的土地。問：紀(jì)塔娜如何圍呢？將灰鼠皮盡量剪細(xì)，結(jié)成盡可能長的一條線。沿海岸線對稱，則構(gòu)成一周長為定值的封閉圖形。結(jié)論：沿海岸線用這條長線圍成一半圓時(shí)，“土地”面積最大。等周定理應(yīng)用——紀(jì)塔娜問題傳說古代非洲沿海某部落酋長答應(yīng)給紀(jì)多邊形等周定理在周長為定值l的n(n≥3)邊形中，怎樣的n邊形面積最大？注意：⊿ABC的邊AB固定，其它兩邊之和一定的所有三角形中，以等腰三角形的面積為最大。法1利用三角形面積的海倫公式法2頂點(diǎn)C的軌跡是橢圓，故當(dāng)點(diǎn)C在短軸的頂點(diǎn)時(shí)面積最大。引理1：

在周長為定值l的n(n≥3)邊形中，要使其面積最大，各邊必須相等。多邊形等周定理在周長為定值l的n(n≥3)邊形中，怎樣的n邊多邊形等周定理引理2：在各邊之長固定的所有n邊形中，能內(nèi)接于圓的n邊形面積最大。確認(rèn)一個(gè)事實(shí)：在邊長給定的n邊形中，一定存在一個(gè)內(nèi)接于圓的n邊形。多邊形等周定理引理2：在各邊之長固定的所有n邊形中，能內(nèi)接于多邊形等周定理的證明多邊形等周定理：在周長為定值l的一切n(n≥3)邊形中，正n邊形的面積最大。證明：設(shè)Φ是那個(gè)面積最大的n邊形，則Φ的各邊相等（等于l/n），否則，據(jù)引理1可找到比Φ的面積更大的n邊形。Φ既然是邊長為l/n的n邊形，由引理2，Φ一定內(nèi)接于圓。綜上所述，Φ是正n邊形。

多邊形等周定理的證明多邊形等周定理：證明：設(shè)Φ是那個(gè)面積最大總結(jié)：等周定理系列在所有等周的平面封閉圖形中，圓面積最大。在所有等面積的平面封閉圖形中，圓周長最小。在所有等周的n(n≥3)邊形中，正n邊形面積最大。在所有等面積的n(n≥3)邊形中，正n邊形的周長最小?？臻g中有類似的定理?？偨Y(jié)：等周定理系列在所有等周的平面封閉圖形中，圓面積最大。應(yīng)用2：人需要很多土地嗎？（俄國托爾斯泰）有人賣地，規(guī)定太陽一出來，來買地的人就出去跑，一天內(nèi)跑圈多大地方，這地就屬于他，價(jià)格1千盧布，但太陽落山時(shí)須回到出發(fā)地，否則1千盧布白花。巴霍姆去買地，太陽一出來他就開始跑。巴霍姆先向前跑了10里才開始向左直拐，又跑了許多路再向左拐第二個(gè)直彎，此時(shí)正值中午，巴霍姆又跑了2里，還有15里趕近路，終于在太陽落山時(shí)回到出發(fā)地。但隨即倒地不省人事，當(dāng)家人告訴他圈出的地方不值1千盧布時(shí)，巴霍姆立刻口吐鮮血而亡。托爾斯泰通過小說告誡世人：人不能貪得無厭，寶貴的是生命，重要的是人的智慧。應(yīng)用2：人需要很多土地嗎？（俄國托爾斯泰）有人賣地，規(guī)定太陽已知一根桿和一條繩，把桿的各端與繩的相應(yīng)各端系在一起（當(dāng)然繩比桿長），怎樣才能圍出最大的面積?等周問題的應(yīng)用3——桿和繩弓形弓形結(jié)論：當(dāng)繩構(gòu)成一段圓弧時(shí)，由桿和繩所圍成的面積最大。

已知一根桿和一條繩，把桿的各端與繩的相應(yīng)各端系在一起（當(dāng)然繩兩根桿AB和CD，兩條定長的繩BC和AD，如何結(jié)成一曲邊四邊形ABCD，才能圍出最大面積？桿和繩問題推廣答：當(dāng)繩BC和AD是以桿AB和CD為弦的同一圓的圓弧時(shí)有最大值。類似的，n根桿與n條繩交替相連，當(dāng)所有桿均為同一圓的弦，所有繩均為該圓的圓弧時(shí)，由這2n段組成的封閉曲線有最大面積。

兩根桿AB和CD，兩條定長的繩BC和AD，如何結(jié)成一曲邊四邊等周定理應(yīng)用4——海角問題已知一張開小于1800的角。用一定長的線截此角，怎樣才可使截下的曲邊三角形面積最大？考慮特殊角，如120度，90度，45度等情形，你能獲得什么結(jié)論？結(jié)論：若已知角的n倍恰為360度，則以角的頂點(diǎn)為圓心且圓弧為定長所圍成的曲邊三角形最大面積。等周定理應(yīng)用4——海角問題已知一張開小于1800的角。用一定進(jìn)一步猜想：用一定長的線截一小于1800的角，則以角的頂點(diǎn)為圓心、定長為圓弧所圍成的曲邊三角形面積最大。對嗎？進(jìn)一步猜想：對嗎？1.給定一個(gè)角和分別在兩邊上的定點(diǎn)A,B，問如何由此角和連接A,B的定長曲線圍出最大面積的曲邊三角形？問題的解決—猜想的證明連結(jié)A,B兩點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“一根桿和一條繩”問題AB1.給定一個(gè)角和分別在兩邊上的定點(diǎn)A,B，問如何由此角和連接2.給定一角和其中一邊上的定點(diǎn)A，求由此角和過點(diǎn)A的定長曲線圍出的最大面積。

將角AOC關(guān)于OC反射，問題歸結(jié)為11的結(jié)論：當(dāng)具有已知長度的曲線為圓弧時(shí)面積最大2的結(jié)論：當(dāng)具有已知長度的曲線為垂直O(jiān)C的圓弧時(shí)有最大值但尚不知給定的一角為鈍角的情形。？？2.給定一角和其中一邊上的定點(diǎn)A，求由此角和過點(diǎn)A的定長曲線3.給定一銳角，如何由此角和定長曲線圍出最大面積的曲邊三角形AOB？利用局部變動(dòng)法。把A當(dāng)成固定的，由2知其解為垂直于OB的圓弧；把B當(dāng)成固定的，由2知其解為垂直于OA的圓弧。最后，解是既垂直于OA又垂直于OB的圓弧，因此其圓心為O。所以，以O(shè)為圓心，圓弧長為定長的曲邊三角形AOB面積最大。B3.給定一銳角，如何由此角和定長曲線圍出最大面積的曲邊三角形征解：給定一鈍角，如何由此角和定長曲線圍出最大面積的曲邊三角形？A征解：給定一鈍角，如何由此角和定長曲線圍出最大面積的曲邊三角練習(xí)5、水槽問題已知馬口鐵的寬度為b，用它來制作水槽。由于水槽的截面愈大，水的流量就愈多，因此希望截面盡可能地大。①若要求水槽的截面為等腰梯形，那么如何設(shè)計(jì)水槽的底與腰長以及底角，才能使水槽中水的流量最大？若水槽的截面為五邊形，又該如何設(shè)計(jì)？說明理由。②問怎樣利用馬口鐵的現(xiàn)有寬度，來滿足水槽具有最大截面的要求？說明理由。6、（1978年北京市數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)有一直角O，試在直角的一邊上求一點(diǎn)A，在另一邊上求一點(diǎn)B，在直角內(nèi)求一點(diǎn)C，使BC+CA等于定長l，且使四邊形ACBO的面積最大。練習(xí)5、水槽問題問題探討1.表面積為定值，體積最大的n棱柱的形狀如何？說明理由。2.表面積為定值，體積最大的柱體形狀如何？說明理由。問題探討1.表面積為定值，體積最大的n棱柱的形狀如何？說明理結(jié)語等周定理能啟迪我們不斷提出問題；波利亞說，等周的根深札于我們的經(jīng)驗(yàn)直覺之中，它是靈感的不竭源泉。結(jié)語等周定理能啟迪我們不斷提出問題；等周問題圓是最完美的圖形?！〉戎軉栴}圓是最完美的圖形。引題：人需要很多土地嗎？（俄國托爾斯泰）有人賣地，規(guī)定太陽一出來，來買地的人就出去跑，一天內(nèi)跑圈多大地方，這地就屬于他，價(jià)格1千盧布，但太陽落山時(shí)須回到出發(fā)地，否則1千盧布白花。巴霍姆去買地，太陽一出來他就開始跑。巴霍姆先向前跑了10里才開始向左直拐，又跑了許多路再向左拐第二個(gè)直彎，此時(shí)正值中午，巴霍姆又跑了2里，還有15里趕近路，終于在太陽落山時(shí)回到出發(fā)地。但隨即倒地不省人事，當(dāng)家人告訴他圈出的地方不值1千盧布時(shí)，巴霍姆立刻口吐鮮血而亡。托爾斯泰通過小說告誡世人：人不能貪得無厭，寶貴的是生命，重要的是人的智慧。引題：人需要很多土地嗎？（俄國托爾斯泰）有人賣地，規(guī)定太陽一本課題學(xué)習(xí)的意義蘇步青認(rèn)為：等周問題是人類理性文明中，既精要又美妙的一個(gè)古典幾何問題，是數(shù)學(xué)教師理想的進(jìn)修課題。”等周問題是17世紀(jì)數(shù)學(xué)家感興趣的問題之一。它在數(shù)學(xué)發(fā)展史上占有重要地位，對變分法的產(chǎn)生和發(fā)展起了重要作用。本課題學(xué)習(xí)的意義蘇步青認(rèn)為：等周問題是人類理性文明中，既精要等周問題的發(fā)現(xiàn)——自然界的現(xiàn)象大自然偏愛圓形，向日葵的子盤，千萬種美麗的花朵，都是圓形的。水管等管道大自然也偏愛球形樹葉上的露珠，太陽、地球、月亮、行星，頭蓋骨等都自然地形成球形或近似于球形。寒夜，一只貓鉆進(jìn)干草垛，把自己的身體盡可能蜷伏成球形。很多水果是球形的，等等。這是為什么？等周問題的發(fā)現(xiàn)——自然界的現(xiàn)象大自然偏愛圓形，向日葵的子盤，等周問題的發(fā)現(xiàn)——泡沫實(shí)驗(yàn)把一根柔軟的細(xì)線兩端連接起來，圍成一個(gè)任意形狀的封閉曲線，把它輕輕放在充滿泡沫的肥皂液上，用燒熱的針刺破曲線內(nèi)的薄膜，此時(shí)這條封閉曲線立即變成一個(gè)圓.17世紀(jì)各種泡沫實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)家中風(fēng)靡一時(shí)，實(shí)驗(yàn)的目的是從中獲取數(shù)學(xué)猜想。等周問題的發(fā)現(xiàn)——泡沫實(shí)驗(yàn)把一根柔軟的細(xì)線兩端連接起來，圍成周長為1的圖形的面積圖形面積圓0.0793正方形0.0625象限角形9000.0616矩形（3：2）0.0601半圓0.0595等邊扇形6000.0564矩形（2：1）0.0556等邊三角形0.0481矩形（3：1）0.0464等腰直角三角形0.0427泡沫實(shí)驗(yàn)獲得的猜想：在周長為定值的一切封閉曲線中,以圓所圍成的面積為最大。笛卡爾的驗(yàn)證這個(gè)簡短的表強(qiáng)烈地暗示出等周定理，因?yàn)樵僭诒碇性黾訋讉€(gè)圖形，也增加不了多少啟發(fā)性。周長為1的圖形的面積圖形面積圓0.0793正方形0.0625等周定理：周長定值的一切封閉曲線中,圓圍成的面積最大。假設(shè)φ是周長為定值面積最大的封閉曲線。首先證明φ是凸圖形,然后證明平分φ周長的弦必平分面積；最后證平分周長與面積的弦AB必是直徑；綜上所述φ為圓.等周定理：周長定值的一切封閉曲線中,圓圍成的面積最大。假設(shè)等周定理的2種形式及其等價(jià)形式1：在所有等周的平面封閉圖形中，以圓面積最大。形式2：在所有等面積的平面封閉圖形中，以圓周長最小。

是面積為A的圓，其周長為p，P是面積為A的非圓閉曲線，其周長為q，則必有p<q。設(shè)等周定理的2種形式及其等價(jià)形式1：在所有等周的平面封閉圖形中設(shè)是面積為A的圓，其周長為p，P是面積為A的非圓閉曲線，其周長為q，則必有p<q。。作的同心圓，使其有周長q，于是由知，圓必在圓的內(nèi)部，圓的面積.但另一方面，由于和P有相同的周長，依據(jù)等周定理1，應(yīng)有這就產(chǎn)生了矛盾。故必有p<q證明：假設(shè)設(shè)是面積為A的圓，其周長為p，P是面積為A的非圓閉曲線，其周等周定理應(yīng)用——紀(jì)塔娜問題傳說古代非洲沿海某部落酋長答應(yīng)給紀(jì)塔娜一塊“由灰鼠皮能包住”的土地。紀(jì)塔娜想出了巧妙的辦法，在海岸邊劃出了一塊意想不到大的土地。問：紀(jì)塔娜如何圍呢？將灰鼠皮盡量剪細(xì)，結(jié)成盡可能長的一條線。沿海岸線對稱，則構(gòu)成一周長為定值的封閉圖形。結(jié)論：沿海岸線用這條長線圍成一半圓時(shí)，“土地”面積最大。等周定理應(yīng)用——紀(jì)塔娜問題傳說古代非洲沿海某部落酋長答應(yīng)給紀(jì)多邊形等周定理在周長為定值l的n(n≥3)邊形中，怎樣的n邊形面積最大？注意：⊿ABC的邊AB固定，其它兩邊之和一定的所有三角形中，以等腰三角形的面積為最大。法1利用三角形面積的海倫公式法2頂點(diǎn)C的軌跡是橢圓，故當(dāng)點(diǎn)C在短軸的頂點(diǎn)時(shí)面積最大。引理1：

在周長為定值l的n(n≥3)邊形中，要使其面積最大，各邊必須相等。多邊形等周定理在周長為定值l的n(n≥3)邊形中，怎樣的n邊多邊形等周定理引理2：在各邊之長固定的所有n邊形中，能內(nèi)接于圓的n邊形面積最大。確認(rèn)一個(gè)事實(shí)：在邊長給定的n邊形中，一定存在一個(gè)內(nèi)接于圓的n邊形。多邊形等周定理引理2：在各邊之長固定的所有n邊形中，能內(nèi)接于多邊形等周定理的證明多邊形等周定理：在周長為定值l的一切n(n≥3)邊形中，正n邊形的面積最大。證明：設(shè)Φ是那個(gè)面積最大的n邊形，則Φ的各邊相等（等于l/n），否則，據(jù)引理1可找到比Φ的面積更大的n邊形。Φ既然是邊長為l/n的n邊形，由引理2，Φ一定內(nèi)接于圓。綜上所述，Φ是正n邊形。

多邊形等周定理的證明多邊形等周定理：證明：設(shè)Φ是那個(gè)面積最大總結(jié)：等周定理系列在所有等周的平面封閉圖形中，圓面積最大。在所有等面積的平面封閉圖形中，圓周長最小。在所有等周的n(n≥3)邊形中，正n邊形面積最大。在所有等面積的n(n≥3)邊形中，正n邊形的周長最小?？臻g中有類似的定理?？偨Y(jié)：等周定理系列在所有等周的平面封閉圖形中，圓面積最大。應(yīng)用2：人需要很多土地嗎？（俄國托爾斯泰）有人賣地，規(guī)定太陽一出來，來買地的人就出去跑，一天內(nèi)跑圈多大地方，這地就屬于他，價(jià)格1千盧布，但太陽落山時(shí)須回到出發(fā)地，否則1千盧布白花。巴霍姆去買地，太陽一出來他就開始跑。巴霍姆先向前跑了10里才開始向左直拐，又跑了許多路再向左拐第二個(gè)直彎，此時(shí)正值中午，巴霍姆又跑了2里，還有15里趕近路，終于在太陽落山時(shí)回到出發(fā)地。但隨即倒地不省人事，當(dāng)家人告訴他圈出的地方不值1千盧布時(shí)，巴霍姆立刻口吐鮮血而亡。托爾斯泰通過小說告誡世人：人不能貪得無厭，寶貴的是生命，重要的是人的智慧。應(yīng)用2：人需要很多土地嗎？（俄國托爾斯泰）有人賣地，規(guī)定太陽已知一根桿和一條繩，把桿的各端與繩的相應(yīng)各端系在一起（當(dāng)然繩比桿長），怎樣才能圍出最大的面積?等周問題的應(yīng)用3——桿和繩弓形弓形結(jié)論：當(dāng)繩構(gòu)成一段圓弧時(shí)，由桿和繩所圍成的面積最大。

已知一根桿和一條繩，把桿的各端與繩的相應(yīng)各端系在一起（當(dāng)然繩兩根桿AB和CD，兩條定長的繩BC和AD，如何結(jié)成一曲邊四邊形ABCD，才能圍出最大面積？桿和繩問題推廣答：當(dāng)繩BC和AD是以桿AB和CD為弦的同一圓的圓弧時(shí)有最大值。類似的，n根桿與n條繩交替相連，當(dāng)所有桿均為同一圓的弦，所有繩均為該圓的圓弧時(shí)，由這2n段組成的封閉曲線有最大面積。

兩根桿AB和CD，兩條定長的繩BC和AD，如何結(jié)成一曲邊四邊等周定理應(yīng)用4——海角問題已知一張開小于1800的角。用一定長的線截此角，怎樣才可使截下的曲邊三角形面積最大？考慮特殊角，如120度，90度，45度等情形，你能獲得什么結(jié)論？結(jié)論：若已知角的n倍恰為360度，則以角的頂點(diǎn)為圓心且圓弧為定長所圍成的曲邊三角形最大面積。等周定理應(yīng)用4——海角問題已知一張開小于1800的角。用一定進(jìn)一步猜想：用一定長的線截一小于1800的角，則以角的頂點(diǎn)為圓心、定長為圓弧所圍成的曲邊三角形面積最大。對嗎？進(jìn)一步猜想：對嗎？1.給定一個(gè)角和分別在兩邊上的定點(diǎn)A,B，問如何由此角和連接A,B的定長曲線圍出最大面積的曲邊三角形？問題的解決—猜想的證明連結(jié)A,B兩點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“一根桿和一條繩”問題AB1.給定一個(gè)角和分別在兩邊上的定點(diǎn)A,B，問如何由此角和連接2.給定一角和其中一邊上的定