高校食堂窗口設置

吉林財經(jīng)大學2009-2010學年第二學期《數(shù)學模型》期末試卷考試形式：論文 課程模塊：成績：論文題目：高校食堂窗口設置問題專業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 班級： 0803 姓名： 王艷菊 學號： 21高校食堂窗口設置問題、摘要隨著我國高校的擴招及教育事業(yè)的發(fā)展，高校食堂在不斷擴大其自身容量的同時，其在高校發(fā)展中扮演的作用也越來越重要，同時高校食堂也面臨著經(jīng)營管理方面問題的嚴峻挑戰(zhàn)。高校學生對食堂服務怨聲載道,其中等待時間過長的問題尤為突出。如何有效利用有限的人力、物力資源提高服務質(zhì)量和效率成為高校食堂贏利的關鍵。在此討論高校食堂服務系統(tǒng)窗口設置的優(yōu)化問題。根據(jù)各工作日不同時間段內(nèi)顧客的多少適當?shù)卦鰷p窗口，從而在顧客平均等待時間和銀行服務窗口數(shù)量之間找到一個最優(yōu)的狀態(tài)。在顧客等待時間容許的情況下，使銀行所設的窗口最少從而使食堂的收益達到最大。本文運用排隊論原理針對高校食堂窗口設置問題建立了多服務窗口等待制M/M/N（即泊松輸入、負指數(shù)分布服務、N個服務臺）模型，最終求得了我校應在非周末、節(jié)假日設置7個食堂窗口；對于周末、節(jié)假日設置5個食堂窗口是使學生和食堂達到滿意程度的最優(yōu)窗口設置數(shù)量。關鍵詞排隊論食堂窗口M/M/N關鍵詞排隊論食堂窗口M/M/N模型二、問題重述隨著我校辦學的不斷發(fā)展，后勤工作，特別是直接面對學生的食堂工作，顯得日趨重要。我們在食堂常?？吹竭@樣一種現(xiàn)象：由于在開餐的高峰期，學生就餐的人數(shù)多，而服務窗口較少，使得學生抱怨排隊等待的時間太長。再有，如果服務窗口太多，對于食堂來講浪費了一定的人力、物力，不利于食堂向高效益方面發(fā)展。如何使雙方都達到滿意，這是我們迫切需要解決的實際問題。請運用數(shù)學模型原理解決食堂服務窗口設置數(shù)量問題。三、基本假設與符號說明（一）基本假設：（1） 學生到達食堂的時間是獨立的，服從一種特定的概率分布;（2） 服務時間是獨立的，服從一種特定的概率分布；（3） 所有到達的學生都進入排隊系統(tǒng)，并在那里直到服務結(jié)束;（4） 排隊系統(tǒng)有一個無限隊列，因此可以容納無限量的學生；（5） 學生服務優(yōu)先規(guī)則是先到先服務；（6） 工作時間足夠長，能使服務系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)；（7） 每一個學生由一個服務窗口單獨提供服務。（二）符號說明：人：學生到達強度；n:食堂窗口數(shù)量；m:食堂中的學生數(shù)量；R:食堂單個窗口的服務率；P1：系統(tǒng)的服務強度；L:隊長（平均學生數(shù)）；匕：隊列長（等待的平均學生數(shù)）;L^:平均忙著的服務窗口個數(shù)；七：學生等待時間；W:學生逗留時間；C（n,p）:學生等待的概率；P(t+At):在t+At時刻系統(tǒng)中有m個顧客(即狀態(tài)為m)的概率。三、模型的建立與求解模型原理：排隊論是研究排隊系統(tǒng)的理論，又稱為隨機系統(tǒng)的理論，它提供了很多不同的排隊模型，通過這些排隊模型能夠找到服務成本和服務水平之間較好的平衡。排隊系統(tǒng)是由輸入過程、排隊規(guī)則和服務方式等3個組成部分。輸入過程指各種類型的顧客按怎樣的規(guī)律到來.主要類型有定長輸入、泊松輸入和愛爾朗輸入。其中泊松輸入適用最廣泛。排隊規(guī)則指到達的顧客按怎樣的次序接受服務。主要有損失制、等待制和混合制。服務方式指同一時刻有多少服務臺可接納顧客，每一顧客服務了多長時間。主要有定長分布、負指數(shù)分布、愛爾朗分布幾種方式。排隊現(xiàn)象是指顧客以特定的或變化不定的速度到來，按照一定的服務規(guī)則接受服務員服務的過程。排隊系統(tǒng)是指存在著排隊現(xiàn)象的系統(tǒng)。主要研究和計算的數(shù)量指標有：隊長，系統(tǒng)中的全部顧客數(shù)；隊列長，系統(tǒng)中排隊的顧客數(shù)；⑶顧客在系統(tǒng)中的逗留時間，包括顧客排隊等候及被服務的時間；⑷顧客在系統(tǒng)內(nèi)排隊等候時間；⑸忙期，指服務機構(gòu)連續(xù)接待顧客的時間長度，即指服務強度。為了敘述方便，引入下列記號:令M代表泊松輸入或負指數(shù)分布服務,于是泊松輸入、負指數(shù)分布服務、N個服務臺的排隊系統(tǒng)寫成M/M/N。3.1.1單服務窗等待質(zhì)排隊模型(M/M/1)排隊模型M/M/1表示顧客源為有限的，顧客的到達相互獨立，到達規(guī)律服從參數(shù)人的泊松分布；單服務臺，隊長無限，先到先服務；各顧客的服務時間相互獨立，且服從參數(shù)為^的負指數(shù)分布。確定系統(tǒng)在任意時刻t的狀態(tài)為m的概率已知顧客的到達規(guī)律服從參數(shù)為人的泊松分布，服務時間服從參數(shù)為^的負指數(shù)分布；若有m個顧客，只有一個接受服務，其余的顧客排隊等待，有無限個位置可排隊，于是在時間間隔［t,t+At)內(nèi)有：有一個顧客到達的概率為MA+o(At).沒有一個顧客到達的概率為1-MAt+o(At).有一個顧客被服務完的概率為pAt+o(At).沒有一個顧客被服務完的概率為1-pAt+o(At).5）多余一個顧客到達或服務完離去的概率為o（攵）。則在t+&時刻系統(tǒng)中有m個顧客（即狀態(tài)為m）的概率［（+At），可能的情況見表一。表一m狀態(tài)的概率P（t+At）情況時刻t的顧客數(shù)在區(qū)間(t,t+At)在時刻t+At的顧客數(shù)P(t+At)到達離去（A）mxxmP(t)(1-人At)(1-pAt)（B）m+1xVmP(t)(1-人At)(pAt)m+1（C）m一1VxmP(t)(人At)(1-pAt)m-1P(t)(人At)(pAt)(D)mVVm這是一個生滅過程，四種情況是相互獨立的事件，則有P(t+At)=P(t)(1-人At)+P(t)_At+P(t)XAt+o(At)，

m m m+1 m-1整理得P m(t)-(—人—日)P(t)+呻(t)+人P(t)+此，At m m+1 m-1 At并令AtT0，則得dPm^-—(人+p)P(t)+呻(t)+人P(t)，m-1,2,L.TOC\o"1-5"\h\zdt m m+1 m-1當m-0時，類似地，可有dP^--XP(t)+^P(t)，

dt 0 1為求穩(wěn)態(tài)解，假設當tT8時，Pm(t)的極限存在，即有dP(t)=-(入+日)P(t)+^P(t)+MP(t)-0，

dt m m+1 m-1則人P-賦，

0 1n+日)P-賦+人P，m>1.m m+1 m-1

這是關于七的差分方程，也反映了系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移關系，即每一狀態(tài)都是平衡的，見圖一。求得P=（人/日）P，遞推可得P=（X/日）mP（m>1）.1 0 m 0圖一M/M/1圖一M/M/1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關系圖令p=X/^<1，稱為服務強度。即為平均到達率與平均服務率之比。由概率的性質(zhì)：工P廣1，即％fpm=二=1，于是m=1 m=0P=1-p,Pm=（1-p）pm,m>1就是所求的系統(tǒng)狀態(tài)為m的概率。系統(tǒng)的運行指標（1）（1）隊長（平均顧客數(shù)）：因為系統(tǒng)的狀態(tài)為m由期望的定義得（2）（2）（3）p=1-pp-X=&P=&（1-p）pmm=0 m=0隊列長（等待的平均顧客數(shù)）：L= （m—1）P=（1—p）p2 （m—1）pm-2=—P*，m=1 m=1系統(tǒng)中顧客的逗留時間：系統(tǒng)中的一個顧客的逗留時間①，服從于參數(shù)為四-X的負指數(shù)分布，分布函數(shù)和分布密度分布為F(①)=1—e-(p-X)?,f(①)=(p—X)e-(p-X)?，所以有Ws=P-X.(4)系統(tǒng)中顧客的等待時間：W=W--=—^，qspp-X其中一個顧客平均服務時間為T=1/日.⑸系統(tǒng)內(nèi)多余k個顧客的概率為P=P^X>k}=1一工尸=1一工pk(1-p)=pk+1.

i=0 i=0下列關系式又稱為運行指標的Little公式：L=XW,L=XW,W=W+—,L=L-—.

s sq qsq|LXqs|LX3.1.2多服務窗等待質(zhì)排隊模型(M/M/N)上面分析的是只有一個窗口服務的情形，對于我們來講高校食堂的服務窗口大體是這樣的，見圖二：圖二高校食堂窗口設置圖這個系統(tǒng)可看成n個M/M/1型的子系統(tǒng)。每個窗口的平均服務率R不變，則每個窗口的平均到達率為1—，這時每個窗口n的服務強度變?yōu)閜'=—=上p.npn類似的我們可求出每個窗口的平均隊長和平均等待時間為TOC\o"1-5"\h\z1 1-p -pl=-n =上，°=n= —1-1pn-p 1—(1-1p) —(1-np)n nn問題分析:對于學生到達食堂時，當其未能得到及時服務時，往往要排隊等待，這就可以用排隊論的有關原理來解決食堂窗口配置的問題。根據(jù)學生到達食堂的實際情況,周末或者節(jié)假日超市的學生數(shù)要比平時相應的時間人數(shù)有明顯的減少。為便于研究，可以把學生到達看做符合泊松過程，而服務時間服從負指數(shù)分布。因此,進一步說食堂服務系統(tǒng)可近似看做M/M/N排隊系統(tǒng),即顧客到達為泊松流、服務時間服從負指數(shù)分布、多個服務臺的排隊系統(tǒng)。設系統(tǒng)有n個服務窗口，且各窗口工作是相互獨立的，學生按泊松流到達的強度為人；又各窗口服務時間為負指數(shù)分布，單個窗口的平均服務率為u，則整個食堂窗口的平均服務率為nu。令P1=X/nu，稱為系統(tǒng)的服務強度。當P]>1時，系統(tǒng)就會出現(xiàn)排隊現(xiàn)象，即有學生在排隊等待。在此約定只排一個隊等候，拿個窗口出現(xiàn)空閑時，等候的學生按先后順序前往空閑的食堂窗口接受服務。系統(tǒng)的排隊模型如圖三。圖三多服務窗口等待制模型M/M/n框圖由于系統(tǒng)沒有限制學生來源和系統(tǒng)容量，故系統(tǒng)的可能狀態(tài)集應為E=b,1,2,L｝，由此可以畫出系統(tǒng)的狀態(tài)流圖如圖四。圖四M/M/n模型狀態(tài)流圖如圖四所示，狀態(tài)k(0<k<n)表示系統(tǒng)內(nèi)有k個服務窗口忙著接待學生，其余n-k個服務窗口空閑著；當k>n侄0達系統(tǒng)的學生超過n)時，n個服務窗口均忙著接待學生，而余下的k-n個學生排隊等候。模型的建立在平衡條件下，系統(tǒng)狀態(tài)概率的平衡方程為XP=賦，TOC\o"1-5"\h\z0 1(k+1)賦 +人P =(人+kp)P，1<k<n，k+i k-i kn^P+XP=（人+np）P,k>n。由遞推關系求得系統(tǒng)的狀態(tài)概率為￡!P=Kp,0<k<n,k!0 k!0Dk nn, P=—pkP,k>n.、n!nk-n0n!10當p=np=X/p<1時，由芝P=1有TOC\o"1-5"\h\z1 kk=01=(習竺+￡工)p=(習也+E1L)p，k! n!nk-n0k! n!1-p 0k=0 k=n k=0 1于是P=(習生+暨L)-10 n! n!1-pk=0 1則可求得系統(tǒng)的運行指標隊列長L=￡(k-n)P=￡iP =皿PZipi-1q k i+n n! ° 1k=n i=1 i=1=p1pn P=p1(np1)nPn!(1-p)20n!(1-p)2011平均忙著的服務窗口個數(shù)L=k=ZkP=ZkP+nZP=Zk竺P+Zn工Pf kkk k!0 nk-nn!0k=0 k=0 k=n k=0 k=n=p[ZJP+Z pk-1 P)「(k-1)!0,nk-n(n-1)!0)、k=0 k=0=p(ZPk+ZPk)=pk=0 k=n-1隊長

TT,TP(nP)nL=L+L=1 1 P+psqf n!(1-p)2。1（4）（（4）（5）(6)w=L二叩吧七pq人 n!（1-p）2人。i學生逗留時間w=L二頃七p+1s人 n!(1-p)2X0日1學生等待的概率TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"C(n,p)=￡P=Y-±-pkP=￡Ppk-nk n!nk-n 0n1\o"CurrentDocument"PnPn n n = n—1-pn—p服務強度P，它反映了工作人員的工作強度，其值越大，說明服務隊列越長，工作人員空閑時間越少；反之則隊列越短工作人員空閑時間越多，若p/n>1,則認為系統(tǒng)不穩(wěn)定，排隊長度會越來越長。模型的求解我們采集了兩組數(shù)據(jù)：（1） 平時（周末、節(jié)假日除外）:學生平均到達率為：720人/小時，每個服務窗口平均服務率為180人/小時；（2） 周末、節(jié)假日：學生平均到達率為:504人/小時,每個服務窗口的服務率仍為180人/小時。使用Matlab軟件進行編程，如下：function[P0,PN,lendaeff,Ls,Lq,Ws,Wq]=model1lenda=input（'請輸入到達速率：’）；mhu=inpurt（'請輸入服務速率：’）；n=input（'請輸入窗口個數(shù)：’）；rho=lenda/mhu;P0=（1-rho）/（1-rhoA（n+1））;lendaeff=mhu（1-P0）;u=n；fori=1:us1=u*(u-1);u=u-1;endfori=0:no=m-ai;endfori=1:os2=o*o-1;o=o-1;Ends3=symsun(s1/s2,0,n)P0=(1/s3)*rhoAai;PN=(s1/s2)*rhoAn*P0;Ls=n-rho(1-P0);Lq=Ls-(1-P0);Ws=Ls/lendaeff;Wq=Lq/lendaeff;P0PNLsLqWsWq求得結(jié)果如下：服務指標系統(tǒng)類別（平時r節(jié)假口）0N二5N=6N=芋N=￡0.933/1.3330.7/1/(I8/0.67L/AJ12.3/1//■?9fJ—U0-1/a6人.J15.U3.A/h2/4.687.S77.1//ll/3107.8/27./31圖五計算結(jié)果圖結(jié)果分析如果服務強度P>1,系統(tǒng)不穩(wěn)定,肯定會有越來越多的人排隊等待。因此我們只計算了服務強度P<1的情形。從M/M/N系統(tǒng)服務指標表中可以看出:平時如果配備6個服務窗口，學生需要滯留等候約秒，而工作人員的服務強度為，就是說，工作人員工作效率很高，有較少的空閑時間,但顧客得到服務較慢，等待的時間較長；若配備7個服務窗口，則學生等待時間約為秒,工作人員強度減小，有較多的休整時間。若配