統(tǒng)計抽樣和抽樣分布

為什么要進(jìn)行抽樣?如何進(jìn)行簡單隨機抽樣？正態(tài)分布、分布、F分布、t分布的定義、圖形分布形態(tài)如何？中心極限定理的含義如何？

1/554.1關(guān)于抽樣的基本概念

為什么要抽樣? 為了收集必要的資料，對所研究對象（總體）的全部元素逐一進(jìn)行觀測，往往不很現(xiàn)實。抽樣原因元素多，搜集數(shù)據(jù)費時、費用大，不及時而使所得的數(shù)據(jù)無意義總體龐大,難以對總體的全部元素進(jìn)行研究檢查具有破壞性炮彈、燈管、磚等2簡單隨機抽樣（x1,x2,……,xn）: 簡單隨機抽樣是指從總體中抽取樣本容量為n的樣本時，x1,x2,……,xn這n個隨機變量必須具備以下兩個條件：這n個隨機變量與總體X具有相同的概率分布；它們之間相互獨立。4.1關(guān)于抽樣的基本概念

3

甲乙丙丁四個生產(chǎn)商，其產(chǎn)品質(zhì)量如下表所示： 如果僅從甲乙兩個生產(chǎn)商的產(chǎn)品中進(jìn)行抽樣，抽樣質(zhì)量就偏高；如果僅從丙丁兩個生產(chǎn)商的產(chǎn)品中進(jìn)行抽樣，抽樣質(zhì)量就偏低； 因此采用簡單隨機抽樣保證隨機樣本與總體具有相同的概率分布。甲乙丙丁質(zhì)量高高低低表4-14.1關(guān)于抽樣的基本概念

4樣本統(tǒng)計量與抽樣分布: 在簡單隨機抽樣中，樣本具有隨機性，樣本的參數(shù),s2等也會隨著樣本不同而不同，故它們是樣本的函數(shù)，記為g（x1,x2,…,xn），稱為樣本統(tǒng)計量。

統(tǒng)計量的概率分布稱為抽樣分布（Sample distribution）

4.1關(guān)于抽樣的基本概念

5統(tǒng)計量定義:設(shè)為來自總體X的一個樣本，為一個函數(shù)，如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱為樣本的一個統(tǒng)計量。樣本均值樣本方差K階樣本矩常見的統(tǒng)計量練習(xí)證明：K階中心矩6幾種概率分布正態(tài)分布分布

F分布

t分布4.2幾種與正態(tài)分布有關(guān)的概率分布7若隨機變量X的概率密度函數(shù)記為(1)正態(tài)分布8圖4-1一般正態(tài)分布(1)正態(tài)分布9標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:

當(dāng)時， 記為U∽N（0，1）圖4-2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(1)正態(tài)分布10非標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布布向標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)分分布的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化若標(biāo)準(zhǔn)化因因子則U∽N（0，1）(1)正態(tài)分布布11查表當(dāng)u大于零時時，可查查正態(tài)分分布表但如果u<0時，則可可由式求求出(1)正態(tài)分布布1213線性性質(zhì)質(zhì)：如果,且相互獨獨立。對對于常數(shù)數(shù)，，有下式式成立：：(1)正態(tài)分布布14相互獨立立且均為為服從N（0，1）分布的的隨機變量，則則稱隨機機變量所所服服從的分分布是自自由度為n的分分布，且且記。。定義(2)分布15自由度是是指獨立立隨機變變量的個個數(shù)，分布的密度函數(shù)為——分布16圖4-3χ2分布密度度函數(shù)圖圖形(2)分布01357911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10圖4-3f(x)其圖形隨隨自由度度的不同同而有所所改變.17查表：對于給定定的α，0<α<1，可在分分布布表中查查得，即即例如即指(2)分布18滿足的數(shù)為

2分布的上分位數(shù)或上側(cè)臨界值，其幾何意意義見右右圖所示示.其中f(x)是2-分布的概概率密度度.f(x)x0圖4-4顯然，在自由度n取定以后，的值只與有關(guān).例如，當(dāng)當(dāng)n=21，=0.05時，由附附表4(P207)可查得，，32.67即2分布的上上分位數(shù)19性質(zhì)：如果，，則則；；設(shè)，，且且相互獨獨立，則則若，，已知知相相互獨獨立，，，則(2)分布20總體，，是是X的一個樣樣本，為樣本的的平均數(shù)數(shù)，為樣本的的方差。。則:a.相互獨立立b.(2)分布21(b)式的自由由度為什什么是n-1？從表面上上看，是n個正態(tài)隨機變量的平方和，但實際上上它們不不是獨立立的，它們之間有有一種線性性約束關(guān)系系：=0這表明，當(dāng)當(dāng)這個n個正態(tài)隨機機變量中有有n-1個取值給定定時，剩下下的一個的的取值就跟跟著唯一確確定了，故故在這n項平方和中中只有n-1項是獨立的的.所以(b)式的自由度度是n-1.22232425設(shè)相互獨立立的隨機變變量V和W分別服從自自由度為n1,n2的分分布，即，，則隨機變量量服服從從F分布。n1，n2分別是它的第一自自由度和第第二自由度度，且通常常記為定義(3)F分布26圖4-5F分布圖F(3)F分布27查表性質(zhì)(3)F分布（請自行給給出證明））28設(shè)隨機變量量U服從標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布，，隨機變量量W服從自由度度為n的分分布，且U與W相互獨立，，則稱隨機變變量服從自由度度為n的t分布，記為為T～t（n）。定義(4)t分布（Students分布）29圖4-6n=∞正態(tài)分布n=10n=1t分布圖(4)t分布（Students分布）30查表或性質(zhì):當(dāng)n很大時，此時，tα/2≈uα/2，t分布近似標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分分布。(4)t分布（Students分布）31定理設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)態(tài)總體X～N(，2)的樣本，則則統(tǒng)計量證由于與S

2相互獨立，且由定義得32無限總體:設(shè)總體X～N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn是總體X的隨機樣本本，樣本平平均數(shù),則4.3樣本平均數(shù)數(shù)的抽樣分分布33有限總體有限總體若若采取有放放回抽樣，，則與無限限總體等價價。有限總總體容量為為N而采取無放放回抽樣，，且n/N≤0.1，仍可視為為無限總體體，而當(dāng)n/N>0.1時則稱式為為有限總體體的修正系系數(shù)。4.3樣本平均數(shù)數(shù)的抽樣分分布證明可以見見<抽樣調(diào)調(diào)查的方法法和原理>梁小筠筠p42一些復(fù)雜的的展開,無技術(shù)含量量(一網(wǎng)友留言言)34從總體中抽抽取樣本容容量為n的簡單隨機機樣本，當(dāng)當(dāng)樣本容量n≥30時，樣本均均值的的抽樣分布布可用正態(tài)態(tài)概率分布近近似。4.4中心極限定定理35圖4-64.4中心極限定定理36獨立同分布布的中心極極限定理37德莫佛——拉普拉斯定定理38德莫佛——拉普拉斯定定理的證明明39中心極限定定理的意義義我們知道，，正態(tài)分布布是現(xiàn)實生生活中使用用最多、最最廣泛、最最重要的一一種分布。。許多隨機機變量本身身并不屬于于正態(tài)分布布，但它們們的極限分分布是正態(tài)態(tài)分布。中中心極限定定理闡明了了在什么條條件下，原原來不屬于正態(tài)分分布的一些些隨機變量量其總和分分布漸近地地服從正態(tài)態(tài)分布。為為我們利用用正態(tài)分布布來解決這這類隨機變變量的問題題提供了理理論依據(jù)。。40例1解41例2解4243例3解44例445解46五、課堂練練習(xí)47解148解249例4設(shè)總體X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn為簡單隨機機樣本，試試問下列統(tǒng)統(tǒng)計量各服服從什么分分布？解(1)因為Xi～N(0,1)，i=1,2,…,n.所以X1-X2～N(0,2)，故～t(2).50例4設(shè)總體X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn為簡單隨機機樣本，試試問下列統(tǒng)統(tǒng)計量各服服從什么分分布？續(xù)解(2)因為X1～N(0,1)，故～t(n-1).51例4設(shè)總體X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn為簡單隨機機樣本，試試問下列統(tǒng)統(tǒng)計量各服服從什么分分布？續(xù)解(3)因為所以～F(3，n-3).52例5若T～t(n)，問T2服從什么分分布？解因為T～t(n)，可以認(rèn)為其中U～N(0,1)，V～2(n)，U2～2(1)，～F(1,n).53例6設(shè)總體X～N(,42)，X1，X2，…，X10是n=10簡單隨機樣本本，S2為樣本方差，，已知P{S2>}=0.1,求.解因為n=10，n-1=9，2=42，所以～2(9).又P{S2>}==0.1，所以≈查表14.684.故≈14.684x≈26.10554例7設(shè)(X