期終復(fù)習(xí)課定態(tài)與守恒量性質(zhì)及例題選講

期終復(fù)習(xí)課例題選講之二定態(tài)與守恒量的性質(zhì)及例題選講定態(tài)的性質(zhì)：在定態(tài)下，一切力學(xué)量（不顯含t）的取值概率分布和平均值都不隨時(shí)間改變。當(dāng)一個(gè)體系處于定態(tài)時(shí)，那么它的波函數(shù)必能寫為，其中是常數(shù)。又于是有得到定態(tài)：體系的一種特殊的狀態(tài)——能量的本征態(tài)。（1）在定態(tài)下，一切力學(xué)量（不顯含時(shí)間t）的取值概率分布不隨時(shí)間改變。將按任意力學(xué)量算符的本征函數(shù)展開：預(yù)備知識(shí)：設(shè)厄密算符的本征值方程為，對(duì)任意的算符，可以證明下式成立解:

對(duì)任意的算符，有解：設(shè)哈密頓量為，它的任意一個(gè)束縛定態(tài)為，相應(yīng)的本征值為，即定態(tài)就是能量取確定值的狀態(tài)。由定態(tài)薛定諤方程可知，哈密頓（能量）算符的本征態(tài)就是能量取確定值的狀態(tài)，所以哈密頓算符的本征態(tài)就是定態(tài)。對(duì)不顯含時(shí)間力學(xué)量，有（2）在定態(tài)下，一切力學(xué)量（不顯含時(shí)間t）的平均值不隨時(shí)間改變。（3）在定態(tài)下，粒子坐標(biāo)的概率密度和概率流密度不隨時(shí)間改變。證明：當(dāng)一個(gè)體系處于定態(tài)時(shí)，那么它的波函數(shù)必能寫為其中是常數(shù)。粒子坐標(biāo)的概率密度：概率流密度：

位力（Virial）定理的三種證明若哈密頓算符為對(duì)于定態(tài)而言，則有證明方法之一：坐標(biāo)的標(biāo)度變換（1）（2）因?yàn)楦淖儸F(xiàn)行的長度單位，能量的單位不變：由HF定理于是有標(biāo)度變換后的哈密頓算符其中將（1）式代入上式，得到證明方法之二：定態(tài)的性質(zhì)因?yàn)榧丛诙☉B(tài)下，一切力學(xué)量（不顯含t）的平均值不隨時(shí)間改變。對(duì)于定態(tài)于是有因此證明方法之三：表象變換將視為參數(shù)I.在坐標(biāo)表象由H-F定理II.在動(dòng)量表象

由H-F定理守恒量：體系的一種特殊的力學(xué)量，與哈密頓量對(duì)易。守恒量的性質(zhì)：在一切狀態(tài)下守恒量的平均值和取值概率分布都不隨時(shí)間改變?？紤]任意一個(gè)狀態(tài)按和共同本征函數(shù)展開：將上式兩端對(duì)時(shí)間求微商有即于是有表示時(shí)刻的取值概率；表示時(shí)刻的取值概率。故

利用它可以方便地由t=0時(shí)的波函數(shù)求出任意時(shí)刻t的波函數(shù)。（a）量子力學(xué)中的守恒量不一定取確定值，即體系的狀態(tài)不一定是某個(gè)守恒量的本征態(tài)。若初始時(shí)刻體系處于守恒量F的本征態(tài)，則體系將保持在該本征態(tài)。若初始時(shí)刻體系不處于守恒量F的本征態(tài)，則以后的狀態(tài)也不是F的本征態(tài)，但是F的測(cè)量值的概率分布不隨時(shí)間改變。（c）量子體系的各守恒量并不一定都可以同時(shí)取確定值。（d）守恒量與定態(tài)比較：定態(tài)：是體系的一種特殊的狀態(tài)，即能量本征態(tài)。在定態(tài)下，一切力學(xué)量（不顯含t，但不管是否為守恒量）的平均值和測(cè)值概率不隨時(shí)間改變。守恒量：是體系的一種特殊的力學(xué)量，它寫體系的Hamilton量對(duì)易。守恒量在一切狀態(tài)下（不管是否為定態(tài)）的平均值和測(cè)值概率分布不隨時(shí)間改變?？梢姡褐挥挟?dāng)一個(gè)量子體系不處于定態(tài)，而所研究的力學(xué)量又不是體系的守恒量時(shí)，才需要研究該力學(xué)量的平均值和概率分布如何隨時(shí)間改變。注意：守恒量是對(duì)體系的任意一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而言，并且是指這個(gè)力學(xué)量在體系的任一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的平均值不隨時(shí)間變化，但并沒有要求這個(gè)力學(xué)量有確定值。強(qiáng)調(diào)：量子力學(xué)中守恒量的概念，與經(jīng)典力學(xué)中守恒量的概念不盡相同，這實(shí)質(zhì)上是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的反映。（b）守恒量的量子數(shù)，稱為好量子數(shù)。它可以作為描述體系狀態(tài)的特征參數(shù)。例1.質(zhì)量為m的粒子，在阱寬為的非對(duì)稱一維無限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，粒子處于狀態(tài)其中，為粒子的第n個(gè)能量本征態(tài)。（1）求t=0時(shí)能量的取值概率及平均值；（2）求t>0任意時(shí)刻的波函數(shù)；（3）求t>0時(shí)能量的取值概率及平均值。解：非對(duì)稱一維無限深方勢(shì)阱中粒子的本征解為

(阱內(nèi))(1)首先將

歸一化，由

可知?dú)w一化常數(shù)為于是歸一化后的波函數(shù)為能量的取值概率為能量取其它值的概率皆為零。t=0時(shí)能量的平均值為(2)因?yàn)楣茴D算符不顯含時(shí)間，故t>0時(shí)的波函數(shù)為(3)由于哈密頓量是守恒量，而守恒量的的取值概率與平均值皆不隨時(shí)間改變，換句話說，只要計(jì)算出t=0時(shí)能量的取值概率及平均值，就知道了t>0時(shí)能量的取值概率及平均值。所以t>0時(shí)能量的取值概率及平均值與t=0時(shí)相同。例2.自旋為的粒子處于線性諧振子位勢(shì)中，時(shí)粒子處于狀態(tài)求時(shí)的波函數(shù)及能量的取值概率與平均值。為該線諧振子的第個(gè)本征態(tài)。解：首選，求解粒子滿足的定態(tài)薛定諤方程（1）將波函數(shù)寫成矩陣形式因?yàn)楣茴D算符與自旋變量無關(guān)，所以可將分離變量，即其次，將其歸一化（2）于是歸一化后的波函數(shù)為（3）改寫為在的狀態(tài)，能量的可能取值為與，相應(yīng)的取值概率和平均值分別為時(shí)的波函數(shù)在的狀態(tài)下，由于所以哈密頓量為守恒量，它的取值概率與平均值不隨時(shí)間改變，與時(shí)的結(jié)果是一樣的。例3.若體系哈密頓算符為，力學(xué)量算符為守恒量，不顯含時(shí)間，力學(xué)量算符為非守恒量，也不顯含時(shí)間。問：（2）在任意態(tài)下，的測(cè)量幾率是否隨時(shí)間變化？試證明之。（1）在定態(tài)下，是否一定取確定值，是否一定取確定值，為什么？解：（1）因是定態(tài)，故取確定值。因?yàn)槭睾懔?，故。由，故有共同本征函?shù)，可以同時(shí)有確定值，但并不是說一定取確定值。如，為守恒量，但不一定取確定值。因?yàn)榉鞘睾懔浚?，和沒有共同的本征函數(shù)，取確定值，沒有確定值。（2）在任意態(tài)下，的測(cè)量幾率不隨時(shí)間變化，論證如下：考慮任意一個(gè)狀態(tài)按和共同本征函數(shù)展開：將上式兩端對(duì)時(shí)間求微商有即于是有故

表示時(shí)刻的測(cè)量幾率。表示時(shí)刻的測(cè)量幾率；課堂作業(yè):

已知?dú)湓映鯌B(tài)如下給出其中為該氫原子的力學(xué)量的歸一化共同本征態(tài)，而分別為電子自旋分量的兩個(gè)歸一化本征態(tài)。(1)試寫出時(shí)刻的波函數(shù)；(2)試求此時(shí)能量期望值；(3)試求此時(shí)自旋分量的期望值。解：題目給出了氫原子的初態(tài)由三個(gè)能量本征態(tài)疊加而成，能量分別為由此得時(shí)刻的波函數(shù)為時(shí)間改變，故我們只需求初態(tài)下的期望值。利用初態(tài)的各疊加態(tài)的正交歸一性，易知?dú)湓拥腍amilton量以及自旋分量均是守恒量，因而其期望值不隨將初態(tài)歸一化得這樣能量期望值為自旋分量的期望值為例4.若、為守恒量，它們的對(duì)易子也是守恒量嗎？解：計(jì)算對(duì)易子與哈密頓算符的對(duì)易關(guān)系，即最后一步用到了、為守恒量的性質(zhì)，