微積分9-1對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分

第九章積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間平面域空間域曲線積分曲線弧曲面域曲線積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分第十一章一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用同樣可定義空間中的光滑曲線.一、第一型曲線積分的概念與性質(zhì)設(shè)

是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在上的一個(gè)有界函數(shù),都存在,上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作若通過對(duì)

的任意分割局部的任意取點(diǎn),2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對(duì)如果L是xOy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例?否!

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求ds

0,但定積分中dx

可能為負(fù).存在條件：推廣：3.性質(zhì)（,為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長(zhǎng)度)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義點(diǎn)設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為對(duì)應(yīng)參數(shù)為則說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.因此如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:

設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例1.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)

B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)例2yxOBA11解例3解一設(shè)L：yxo?a＝8a2解二設(shè)L：yxo?ar＝8a2例4.計(jì)算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線計(jì)算的一般程序1.畫線L；2.恰當(dāng)選擇L的參數(shù)方程，3.確定積分限，

注意下限一定比上限小。練習(xí).計(jì)算其中為球面解:化為參數(shù)方程則2.第一型曲線積分的性質(zhì)1.對(duì)稱性2.輪換性3.被積函數(shù)定義在積分曲線上例5.計(jì)算其中L為雙紐線解:

在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱性,得例6.

計(jì)算其中為球面被平面所截的圓周.解:由對(duì)稱性可知3.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的幾何與物理意義解例7例8.計(jì)算半徑為R,中心角為的圓弧L

對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標(biāo)系如圖,則例9.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l

曲線弧

的長(zhǎng)度)3.計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧思考與練習(xí)1.

已知橢圓周長(zhǎng)為a,求提示:原式=利用對(duì)稱性分析:2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2)求它的質(zhì)心.解:

設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)故重心坐標(biāo)為第二節(jié)備用題1.

設(shè)

C

是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的