2022-2023學(xué)年湖南省衡陽師范學(xué)院祁東附屬中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省衡陽師范學(xué)院祁東附屬中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)求解即可【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C2．若向量，，且與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)等于（

）．A．0 B． C．0或 D．0或【答案】C【分析】根據(jù)向量夾角公式解方程即可得解【詳解】由題可得：所以兩邊同時(shí)平方：所以等于0或.故選：C3．如圖所示，空間四邊形中，，點(diǎn)M在上，且，N為中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】,故選：B.4．已知直線斜率為k，且，那么傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率的取值范圍，以及斜率和傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求得傾斜角的取值范圍.【詳解】解：直線l的斜率為k，且，∴，.∴.故選：B.5．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，且，為的中點(diǎn)，則異面直線與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，連接、，分析可知異面直線與的夾角為或其補(bǔ)角，計(jì)算出三邊邊長(zhǎng)，分析可知為直角三角形，即可求得的余弦值，即為所求.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，異面直線與的夾角為或其補(bǔ)角，因?yàn)槠矫?，平面，，則，，同理可得，，所以，，則.故選：C.6．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓．后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P與A，B距離之比滿足：，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不共線時(shí)，面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡方程，探求點(diǎn)P與直線AB的最大距離即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡(jiǎn)整理得：，因此，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，與點(diǎn)A，B可構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)P到直線(軸)的距離最大時(shí)，的面積最大，顯然，點(diǎn)P到軸的最大距離為，此時(shí)，，所以面積的最大值是．故選：C7．已知F是橢圓=1的左焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，橢圓內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)是（3，4），則|PM|+|PF|的最大值是（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】D【分析】利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為P到M和到另一焦點(diǎn)的距離的差的最大值來解決.【詳解】解：如圖，由橢圓=1，得得，則橢圓右焦點(diǎn)為，則.當(dāng)與射線與橢圓的交點(diǎn)重合時(shí)取到等號(hào),的最大值為21.故選：D.8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，與另一漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，然后分別聯(lián)立直線方程求解出坐標(biāo)，根據(jù)向量共線對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)關(guān)系求解出的關(guān)系，則離心率可求.【詳解】不妨設(shè)過的直線與垂直，所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解雙曲線離心率的值或范圍的常用方法：（1）根據(jù)雙曲線的方程直接求解出的值，從而求解出離心率；（2）構(gòu)造關(guān)于的齊次方程，求解出的值，從而離心率可知；（3）根據(jù)離心率的定義以及雙曲線的定義求解離心率；（4）利用雙曲線及圖形的幾何性質(zhì)構(gòu)建關(guān)于的不等式，從而的范圍可求.二、多選題9．已知曲線C的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C為圓B．曲線C為橢圓的充要條件是C．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則D．存在實(shí)數(shù)k使得曲線C為拋物線【答案】AC【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征即可逐項(xiàng)判斷求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，所以A正確；對(duì)于B，若曲線C為橢圓，則，且，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則，，解得，所以C正確；對(duì)于D，曲線C不存在x，y的一次項(xiàng)，所以曲線C不可能是拋物線，所以D錯(cuò)誤．故選：AC.10．已知，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面．下列說法中正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】AD【分析】根據(jù)空間中的線面、面面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】由線面平行的性質(zhì)可得A正確；若，，則或，故B錯(cuò)誤；由，，推不出，也可能有，故C錯(cuò)誤；若，，則，又，則，故D正確；故選：AD11．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則（

）A．為定值B．的周長(zhǎng)的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，為直角三角形D．當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】ACD【分析】對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.由橢圓的定義判斷A；由為定值以及的范圍判斷B；求出坐標(biāo)，由數(shù)量積公式得出，得出為直角三角形判斷C；求出坐標(biāo)，由面積公式得出的面積判斷D.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則所以為定值，A正確；的周長(zhǎng)為，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以的范圍是，所以的周長(zhǎng)的范圍是，B錯(cuò)誤；將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，又因?yàn)?，∴所以為直角三角形，C正確；將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，所以，D正確.故選：ACD12．如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,M為BC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有（

）A．AM與所成角的余弦值為B．到平面的距離為C．過點(diǎn)A,M,的平面截正方體所得截面的面積為D．四面體內(nèi)切球的表面積為【答案】ABD【分析】對(duì)于A,建立空間直角坐標(biāo)系,找點(diǎn)坐標(biāo),用向量夾角的余弦值的絕對(duì)值求解線線夾角的余弦值,對(duì)于B,在A的基礎(chǔ)上,繼續(xù)求點(diǎn)的坐標(biāo),求平面的法向量,進(jìn)而根據(jù)公式求得點(diǎn)到面的距離,對(duì)于C,取中點(diǎn)為,順次連接,平面即為截面,求出等腰梯形面積即可,對(duì)于D,根據(jù)公式,求體積,求表面積,即可求得內(nèi)切球半徑,進(jìn)而求得球表面積.【詳解】解:建立如下所示空間直角坐標(biāo)系,關(guān)于選項(xiàng)A,則有:,,故選項(xiàng)A正確;關(guān)于選項(xiàng)B,由于建立空間直角坐標(biāo)系,則可得,,記平面法向量為,則有,即,不妨令可得,則到平面的距離為,故選項(xiàng)B正確;關(guān)于選項(xiàng)C,取中點(diǎn)為,順次連接如圖所示,各個(gè)邊長(zhǎng)均落在正方體表面,且,所以平面即為截面,正方體棱長(zhǎng)為1,,平面是等腰梯形,過點(diǎn),分別向做垂線,垂足為,如圖所示,,,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;關(guān)于選項(xiàng)D,四面體的體積為,四面體的表面積為,不妨設(shè)四面體內(nèi)切球的半徑為,則有,故四面體內(nèi)切球的表面積為,故選項(xiàng)D正確.故選:ABD三、填空題13．若與平行，則的距離為_________.【答案】【分析】先由兩直線平行求解，再利用平行線間的距離公式，即得解【詳解】由題意，直線，直線，故，即.故，，則的距離.故答案為：14．若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為_______.【答案】【分析】條件方程化為，即為圓心為，半徑為1的圓，為與連線的斜率，由數(shù)形結(jié)合，求出直線與圓相切的斜率，即可求解【詳解】由題得，，即為圓心為，半徑為1的圓，為與連線的斜率，記為k，如圖所示，∵，∴斜率存在，設(shè)過的直線為，則當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有，解得，由圖易得k在直線與圓的兩切線斜率之間，故.故答案為：15．過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則A與B和橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的的周長(zhǎng)為__________【答案】4【分析】先將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求得半長(zhǎng)軸的值，然后利用橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求得.【詳解】解：橢圓方程可化為，顯然焦點(diǎn)在y軸上，，根據(jù)橢圓定義，所以的周長(zhǎng)為．故答案為4．16．在四棱錐中，已知底面，，，，，是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足.則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為______.【答案】【分析】分析可知，然后以點(diǎn)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)的軌跡方程，可知當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，四棱錐的體積最大，設(shè)點(diǎn)，設(shè)三棱錐的球心為，列方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得球的半徑，再利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，，則四邊形為直角梯形，平面，平面，則，，，平面，則平面，、平面，，，則，故，平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點(diǎn)，由可得，化簡(jiǎn)可得，即點(diǎn)的軌跡為圓，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，四棱錐的體積最大，不妨設(shè)點(diǎn)，設(shè)三棱錐的球心為，由，可得，解得，所以，三棱錐的外接球球心為，球的半徑為，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.四、解答題17．已知，；(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，且，求的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用，即可計(jì)算求解.（2）由已知，可設(shè)，根據(jù)，列方程即可求出.【詳解】（1）由已知得，，得，解得（2）設(shè)，由，可得，得到，求得，，則或18．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于?兩點(diǎn)，求中點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓的定義，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出中點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓定義知，，所以，所以，所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，，聯(lián)立方程，得，得，．設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為．19．已知在三棱柱中，底面是正三角形，底面，，，點(diǎn)，分別為側(cè)棱和邊的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3)【分析】（1）取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得的坐標(biāo)，即可由向量數(shù)量積公式證明得，，由線面垂直的判定定理可證明得平面；（2）由（1）得平面的一個(gè)法向量，再由，根據(jù)向量法計(jì)算線面夾角的正弦值；（3）設(shè)平面的法向量為，由數(shù)量積列式計(jì)算，再由平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量法求解面面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，則，平面.如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意，可得：，，，，，．∵，，，∴，，即，.又，平面.∴平面.（2）由（1）知平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，∵，∴，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)平面的法向量為，∵，，∴，即，解得．由（1）可知平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，易知，∴，所以二面角的余弦值為.20．已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線：上.(1)求圓的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線與圓相交，被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）因?yàn)榇箯蕉ɡ淼玫綀A心在的垂直平分線上，從而求得圓心坐標(biāo)以及圓的方程；（2）由于弦長(zhǎng)已知，半徑已知，可以求得圓心到直線的距離，并將直線分為斜率存在和斜率不存在，從而通過圓心到直線的距離公式，得到直線的方程.【詳解】（1）線段的中點(diǎn)為，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線為，即又因?yàn)閳A心在直線：上由解得，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，得或即直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由于圓到的距離，所以，解得所以，即綜上所述，直線的方程為或.21．如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直線，且，且∥．（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)為棱中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值等于？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為，理由見解析．【詳解】（1）證明：由已知，平面平面，且，則平面，所以兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別為軸軸,軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，所以.易知平面的一個(gè)法向量等于，所以，所以，又平面，所以平面.（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.理由如下：因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，由，得，即，得平面的一個(gè)法向量等于，假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值等于.設(shè)，則.所以.所以，解得或(舍去)因此，線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角的正弦值等于.22．已知橢圓：的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)點(diǎn)，是橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線與的斜率均存在，分別記為，，若，試問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)直線AB恒過定點(diǎn)．【分析】（1）由題意可得，，求出，從而可得橢圓方程，（2）討論直線AB的斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出直線PA與PB的斜率，再由列方程可得參數(shù)的關(guān)系，代入直線方程可求出直線恒過的定點(diǎn)．【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C：的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，所以，因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)，所以，即，得所以橢圓方程為，（2）①當(dāng)直線A