中國振動(dòng)工程學(xué)會(huì)模態(tài)分析高級研修班講課資料模態(tài)分析理論基礎(chǔ)

會(huì)計(jì)學(xué)1中國振動(dòng)工程學(xué)會(huì)模態(tài)分析高級研修班講課資料模態(tài)分析理論基礎(chǔ)

模態(tài)分析理論基礎(chǔ)是20世紀(jì)30年代機(jī)械阻抗與導(dǎo)納的概念上發(fā)展起來。吸取了振動(dòng)理論、信號(hào)分析、數(shù)據(jù)處理、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、自動(dòng)控制理論的有關(guān)營養(yǎng)，形成一套獨(dú)特的理論。

模態(tài)分析的最終目標(biāo)是識(shí)別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)分析、振動(dòng)故障診斷和預(yù)報(bào)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。第1頁/共60頁

解析模態(tài)分析可用有限元計(jì)算實(shí)現(xiàn)，而試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析則是對結(jié)構(gòu)進(jìn)行可測可控的動(dòng)力學(xué)激勵(lì)，由激振力和響應(yīng)的信號(hào)求得系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，再在頻域或轉(zhuǎn)到時(shí)域采用多種識(shí)別方法求出模態(tài)參數(shù)，得到結(jié)構(gòu)固有的動(dòng)態(tài)特性，這些特性包括固有頻率、振型和阻尼比等。

模態(tài)分析定義為：將線性時(shí)不變系統(tǒng)振動(dòng)微分方程組中的物理坐標(biāo)變換為模態(tài)坐標(biāo)，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標(biāo)及模態(tài)參數(shù)描述的獨(dú)立方程，坐標(biāo)變換的變換矩陣為振型矩陣，其每列即為各階振型。第2頁/共60頁

有限元分析軟件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中被普遍采用,但在設(shè)計(jì)中,由于計(jì)算模型和實(shí)際結(jié)構(gòu)的誤差,而且受到邊界條件很難準(zhǔn)確確定的影響,特別是結(jié)構(gòu)的形狀和動(dòng)態(tài)特性很復(fù)雜時(shí)，有限元簡化模型和計(jì)算的誤差較大。通過對結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，可以正確確定其動(dòng)態(tài)特性，并利用動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果修改有限元模型，從而保證了在結(jié)構(gòu)響應(yīng)、壽命預(yù)計(jì)、可靠性分析、振動(dòng)與噪聲控制分析與預(yù)估以及優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)獲得有效而正確的結(jié)果。第3頁/共60頁a.獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率,可避免共振現(xiàn)象的發(fā)生當(dāng)外界激勵(lì)力的頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振現(xiàn)象。此時(shí)系統(tǒng)最大限度地從外界吸收能量，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)過大有害振動(dòng)。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員要設(shè)法使結(jié)構(gòu)不工作在固有頻率環(huán)境中。相反，共振現(xiàn)象并非總是有害的：振動(dòng)篩、粉末碾磨機(jī)、打夯機(jī)和滅蟲聲發(fā)射裝置等等就是共振現(xiàn)象的利用。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員此時(shí)要設(shè)法使這種器械工作在固有頻率環(huán)境中，可以獲得最大能量利用率。試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的典型應(yīng)用第4頁/共60頁b.為了應(yīng)用模態(tài)疊加法求結(jié)構(gòu)響應(yīng)，確定動(dòng)強(qiáng)度,和疲勞壽命

分析告訴我們?nèi)魏尉€性結(jié)構(gòu)在已知外激勵(lì)作用下他的響應(yīng)是可以通過每個(gè)模態(tài)的響應(yīng)迭加而成的。所以模態(tài)分析另一主要的應(yīng)用是建立結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的預(yù)測模型，為結(jié)構(gòu)的動(dòng)強(qiáng)度設(shè)計(jì)及疲勞壽命的估計(jì)服務(wù)。c.載荷(外激勵(lì))識(shí)別由激勵(lì)和模態(tài)參數(shù)預(yù)測響應(yīng)的問題稱為動(dòng)力學(xué)正問題，反之由響應(yīng)和模態(tài)參數(shù)求激勵(lì)稱為反問題。原則上只要全部的各階模態(tài)參數(shù)都求得,由響應(yīng)就可以求出外激勵(lì)（稱為載荷識(shí)別）。第5頁/共60頁d.振動(dòng)與噪聲控制

既然結(jié)構(gòu)振動(dòng)是各階振型響應(yīng)的迭加，只要設(shè)法控制相關(guān)頻率附近的優(yōu)勢模態(tài)（改設(shè)計(jì)和加阻尼材料等或使用智能材料）就可以達(dá)到控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的目的。對汽車車廂內(nèi)或室內(nèi)輻射噪聲的控制，道理也一樣。車廂座艙或室內(nèi)輻射噪聲與其結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性（模態(tài)）關(guān)系密切，由于輻射噪聲是由結(jié)構(gòu)振動(dòng)“輻射”出來的?？刂屏私Y(jié)構(gòu)的振動(dòng)，也就是實(shí)現(xiàn)了輻射噪聲的控制。第6頁/共60頁e.為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供目標(biāo)函數(shù)或約束條件

動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)，即對主要承受動(dòng)載荷而動(dòng)特性又至關(guān)重要的結(jié)構(gòu)，以動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)作為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。它既可在常規(guī)靜力設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)上，運(yùn)用優(yōu)化技術(shù)，對結(jié)構(gòu)的元件進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力修改；也可從滿足結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)出發(fā)，綜合考慮其它因素來確定結(jié)構(gòu)的形狀，乃至結(jié)構(gòu)的拓?fù)洌ú季衷O(shè)計(jì)、開孔、增刪元件）。動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)就是在結(jié)構(gòu)總體設(shè)計(jì)階段就應(yīng)對結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)提出要求，避免事后修補(bǔ)影響全局。f.有限元模性修正與確認(rèn)

當(dāng)今工程結(jié)構(gòu)計(jì)算采用最廣泛的計(jì)算模型就是有限元模型。再好的算法和軟件都是建立在理想的結(jié)構(gòu)物理參數(shù)和邊界條件假設(shè)上的。結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)往往存在不小差距。此時(shí)在模態(tài)試驗(yàn)可信的前提下，一般是以試驗(yàn)結(jié)果來對有限元模型進(jìn)行修正和確認(rèn)。經(jīng)過修正和確認(rèn)的有限元模型具有優(yōu)化概念下的與試驗(yàn)結(jié)果最大的接近?？梢赃M(jìn)一步用于后繼的響應(yīng)、載荷和強(qiáng)度計(jì)算。第7頁/共60頁單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)分析粘性阻尼系統(tǒng)阻尼力（與振動(dòng)速度成正比）：強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解解的形式（s為復(fù)數(shù)）及拉氏變換：第8頁/共60頁自由振動(dòng)阻尼比范圍（0－1）內(nèi)為欠阻尼無阻尼固有頻率實(shí)部：衰減因子，反映系統(tǒng)阻尼虛部：有阻尼系統(tǒng)的固有頻率

第9頁/共60頁第10頁/共60頁結(jié)構(gòu)阻尼（滯后阻尼）系統(tǒng)阻尼力：與位移成正比，相位比位移超前90度結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)運(yùn)動(dòng)方程及拉氏變換g—

為結(jié)構(gòu)阻尼比或結(jié)構(gòu)損耗因子第11頁/共60頁傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)用實(shí)部和虛部表示與粘性阻尼系統(tǒng)相比頻響函數(shù)形式相同和相互置換即可得各自表達(dá)式（1＋jg）k—

復(fù)剛度第12頁/共60頁位移、速度和加速度傳遞函數(shù)位移、速度和加速度頻率響應(yīng)函數(shù)三者之間的關(guān)系動(dòng)剛度（位移阻抗）動(dòng)柔度（位移導(dǎo)納）第13頁/共60頁質(zhì)量阻抗、阻尼阻抗、剛度阻抗（位移、速度、加速度）質(zhì)量導(dǎo)納、阻尼導(dǎo)納、剛度導(dǎo)納（位移、速度、加速度）左至右阻抗除，導(dǎo)納乘第14頁/共60頁單自由度頻響函數(shù)的特性曲線Bode圖(幅頻圖和相頻圖)幅頻圖:頻響函數(shù)的幅值與頻率的關(guān)系相頻圖:相位與頻率的關(guān)系第15頁/共60頁阻尼愈大，在固有頻率附近相位曲線的陡度越小

時(shí)曲線始點(diǎn)約為1/k，為彈簧的導(dǎo)納線；低頻時(shí)外力主要由彈簧力來平衡；時(shí)，產(chǎn)生共振，幅值為此時(shí)慣性力與彈簧力平衡，激勵(lì)力與阻尼力平衡時(shí)幅值下降，最后趨向于漸近線極值為0，高頻時(shí)系統(tǒng)激勵(lì)力主要由慣性力來平衡第16頁/共60頁實(shí)頻圖（結(jié)構(gòu)阻尼和粘滯阻尼）兩個(gè)極值點(diǎn)半功率帶寬半功率帶寬反映阻尼大小阻尼越大，半功率帶寬越大，反之亦然第17頁/共60頁虛頻圖以結(jié)構(gòu)阻尼為例：系統(tǒng)共振時(shí)虛部達(dá)到最大值系統(tǒng)共振時(shí)實(shí)部為零半功率點(diǎn)處的值半功率的概念是針對功率（而非幅值）而言，在半功率點(diǎn)處，虛部正好為其最大值的一半，但幅值卻為最大幅值的有效值。第18頁/共60頁Nyquist圖－頻響函數(shù)矢端軌跡圖結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)Nyquist圓（導(dǎo)納圓）》特點(diǎn)起始點(diǎn)(頻率為零)非原點(diǎn)，約在(1/k,-g/k)處，圓心坐標(biāo)（0，-1/2kg）初相角為arctan(-g)圓的直徑為虛部最大值1/(kg)半徑為實(shí)部最大值1/(2kg)直徑處對應(yīng)半功率帶寬兩個(gè)頻率點(diǎn)共振頻率點(diǎn)第19頁/共60頁粘滯阻尼系統(tǒng)Nyquist圖特點(diǎn)桃子形，阻尼比越小軌跡圓越大在固有頻率附近，曲線接近圓，仍可利用圓的特性第20頁/共60頁速度與加速度頻響函數(shù)特性曲線關(guān)系回顧幅頻圖第21頁/共60頁實(shí)頻圖與虛頻圖第22頁/共60頁Nyquist圖第23頁/共60頁不同激勵(lì)下頻響函數(shù)的表達(dá)式要點(diǎn)頻響函數(shù)反映系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系表示系統(tǒng)的固有特性線性范圍內(nèi)它與激勵(lì)的型式與大小無關(guān)在不同類型激勵(lì)力的作用下其表達(dá)形式常不相同簡諧激勵(lì)激勵(lì)力響應(yīng)位移頻響函數(shù)第24頁/共60頁

周期激勵(lì)非正弦周期力，如方波、鋸齒波，周期為T響應(yīng)的傅氏展開頻響函數(shù)（定義為各頻率點(diǎn)上的值）均包含幅值與相位兩個(gè)量第25頁/共60頁瞬態(tài)激勵(lì)一般瞬態(tài)輸入傅氏變換相應(yīng)輸出傅氏變換相應(yīng)頻響函數(shù)單位脈沖激勵(lì)頻響函數(shù)第26頁/共60頁隨機(jī)激勵(lì)輸入自相關(guān)函數(shù)輸入自功率譜密度輸入輸出互相關(guān)函數(shù)互功率譜密度函數(shù)頻響函數(shù)第27頁/共60頁多自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)分析兩類系統(tǒng)約束系統(tǒng)自由系統(tǒng)約束系統(tǒng)2自由度運(yùn)動(dòng)方程（無阻尼）傅氏變換第28頁/共60頁頻響函數(shù)矩陣原點(diǎn)頻響函數(shù)第i點(diǎn)的響應(yīng)與第i點(diǎn)的激勵(lì)之間的頻響函數(shù)跨點(diǎn)頻響函數(shù)第i點(diǎn)的響應(yīng)與第j點(diǎn)的激勵(lì)之間的頻響函數(shù)原點(diǎn)頻響函數(shù)特性原點(diǎn)頻響函數(shù)第29頁/共60頁曲線及特性兩個(gè)共振頻率點(diǎn)（對應(yīng)于分母為零）一個(gè)反共振點(diǎn)（分子為零）

反共振是局部現(xiàn)象（僅僅振幅為零，因?yàn)榇藭r(shí)頻響函數(shù)的其他項(xiàng)均不為零）。機(jī)架線第30頁/共60頁一般多自由度約束系統(tǒng)N自由度約束系統(tǒng)有N個(gè)共振頻率,（N－1）個(gè)反共振頻率對原點(diǎn)函數(shù)共振反共振交替出現(xiàn)對跨點(diǎn)頻響函數(shù)無此規(guī)律一般兩個(gè)距離遠(yuǎn)的跨點(diǎn)出現(xiàn)反共振的機(jī)會(huì)比較近的跨點(diǎn)少機(jī)架線第31頁/共60頁自由系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程（無阻尼）頻響函數(shù)矩陣第32頁/共60頁曲線及特性時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生剛體運(yùn)動(dòng)零頻為剛體模態(tài)反共振點(diǎn)一個(gè)共振點(diǎn)高頻時(shí)以高階質(zhì)量線為漸進(jìn)線，趨向于零零階等效質(zhì)量機(jī)架線第33頁/共60頁一般多自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線一般總結(jié)共振于反共振頻率滿足以下關(guān)系（如果有零頻則算第一階）機(jī)架線第34頁/共60頁多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析與模態(tài)參數(shù)（基本理論及方法）比例阻尼線定常系統(tǒng)物理坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程M、C、K均為N×N矩陣方程包含物理坐標(biāo)為耦合方程第35頁/共60頁

傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)矩陣

拉氏變換第36頁/共60頁

模態(tài)坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程-任意l點(diǎn)的響應(yīng)為各階模態(tài)響應(yīng)的線性組合振型矩陣（模態(tài)矩陣）第r階振型（模態(tài)向量)模態(tài)坐標(biāo)-模態(tài)坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程第37頁/共60頁無阻尼自由振動(dòng)特征方程全部模態(tài)第r階模態(tài)模態(tài)正交性主模態(tài)：各階模態(tài)主空間：各階模態(tài)向量所組成的空間主坐標(biāo)：相應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)第r階模態(tài)的慣性力對第s階模態(tài)位移所做的功為零；或第r階模態(tài)的彈性力對第s階模態(tài)位移所做的功為零第38頁/共60頁

模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度-模態(tài)剛度

特定歸一化情況（模態(tài)質(zhì)量歸一)它們的具體值沒有太大的意義，取決于振型歸一化，這是因?yàn)檎裥椭皇钦駝?dòng)形態(tài)，沒有振幅的意思。這三個(gè)振型（模態(tài)向量）是等價(jià)的

-模態(tài)質(zhì)量第39頁/共60頁0000

解偶后的運(yùn)動(dòng)方程第40頁/共60頁--比例阻尼系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程比例阻尼模態(tài)阻尼M、K對稱，所以C也對稱，也具有正交性第41頁/共60頁解偶運(yùn)動(dòng)方程（模態(tài)坐標(biāo)下）對第r階模態(tài)模態(tài)頻率、模態(tài)向量、模態(tài)質(zhì)量模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼總稱模態(tài)參數(shù)第42頁/共60頁多自由度系統(tǒng)實(shí)模態(tài)分析實(shí)模態(tài)條件各點(diǎn)振動(dòng)相位差為零，或?yàn)?80度與無阻尼和比例阻尼系統(tǒng)等價(jià)實(shí)模態(tài)下響應(yīng)模態(tài)坐標(biāo)物理坐標(biāo)測點(diǎn)l的響應(yīng)第43頁/共60頁單點(diǎn)激勵(lì)頻響函數(shù)單點(diǎn)p激勵(lì)l點(diǎn)響應(yīng)測量l點(diǎn)與激勵(lì)點(diǎn)p之間的頻響函數(shù)頻響函數(shù)與激勵(lì)力大小無關(guān)第44頁/共60頁幾個(gè)概念等效剛度等效質(zhì)量等效質(zhì)量與等效剛度的關(guān)系等效剛度與測點(diǎn)與激勵(lì)點(diǎn)有關(guān)第45頁/共60頁計(jì)及剛體位移下的頻響函數(shù)剛體運(yùn)動(dòng)的頻響函數(shù)考慮剛體位移下的頻響函數(shù)第46頁/共60頁剩余柔度認(rèn)為是與頻率無關(guān)的常數(shù)也可認(rèn)為是頻率的線性函數(shù)模態(tài)截?cái)囝l響函數(shù)的合成頻響函數(shù)為單個(gè)模態(tài)之疊加模態(tài)截?cái)嘀魂P(guān)心前幾階和十幾階模態(tài)忽略高階模態(tài)的影響所截模態(tài)數(shù)一般大于被分析模態(tài)數(shù)的兩倍頻響函數(shù)第47頁/共60頁多自由度系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析特點(diǎn)各點(diǎn)相位差不一定是0度或180度（與實(shí)模態(tài)不同）振型系數(shù)為復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼材料內(nèi)部阻尼滑移阻尼（接頭、螺釘、鉚釘、襯墊等）運(yùn)動(dòng)方程及拉氏變換R為結(jié)構(gòu)阻尼矩陣第48頁/共60頁傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)矩陣一般表達(dá)特征解的正交性G為結(jié)構(gòu)損耗因子矩陣GK＝R(I＋jG)K為復(fù)剛度矩陣模態(tài)矩陣（振型矩陣）模態(tài)質(zhì)量矩陣、模態(tài)剛度矩陣都是復(fù)數(shù)第49頁/共60頁振型向量正則化頻響函數(shù)矩陣具體表達(dá)第50頁/共60頁一般粘性阻尼系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程狀態(tài)向量和狀態(tài)方程阻尼矩陣不能在N維主空間解偶，需采用狀態(tài)空間法引入狀態(tài)向量狀態(tài)方程擴(kuò)展為2N空間第51頁/共60頁自由振動(dòng)特征方程方程特征值(2N個(gè)）特征向量2N維空間系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)頻率和復(fù)振型向量，共軛成對第52頁/共60頁模態(tài)正交性矩陣表示第53頁/共60頁正交性矩陣表達(dá)第54頁/共60頁模態(tài)坐標(biāo)下的解利用正交性解偶后的方程振型疊加解模態(tài)坐標(biāo)t＝0時(shí)的模態(tài)坐標(biāo)向量第55頁/共60頁l點(diǎn)的瞬時(shí)位移

第56頁/共60頁復(fù)模態(tài)特性復(fù)共軛特性特征值與特征向量均為復(fù)數(shù)，共軛成對，共2N個(gè)復(fù)模態(tài)的正交性復(fù)特征向量在2N維空間中正交；而實(shí)