2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市廟前中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市廟前中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長都相等,底面是正方形,其正(主)視圖如圖所示，該四棱錐表面積和體積分別是（

）A．

B．

C．

D．8,8參考答案：C2.已知x∈R，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.9]=1，[2.01]=2．若函數(shù)f(x)=（x≥1）有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A．[，2]

B．[，2) C．[，) D．[，]參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】由f（x）=0得=m，令g（x）=，作出g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到a的取值范圍．【解答】解：由f（x）=﹣m=0得：=m，當(dāng)1≤x＜2，[x]=1，此時(shí)g（x）=x，此時(shí)1≤g（x）＜2，當(dāng)2≤x＜3，[x]=2，此時(shí)g（x）=，此時(shí)1≤g（x）＜，當(dāng)3≤x＜4，[x]=3，此時(shí)g（x）=，此時(shí)≤1g（x）＜，當(dāng)4≤x＜5，[x]=4，此時(shí)g（x）=x，此時(shí)1≤g（x）＜，作出函數(shù)g（x）的圖象，要使函數(shù)（x≥1）有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)g（x）=m有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則由圖象可知≤m，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)g（x），利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．3.直線在軸和軸上的截距分別為和，直線的方程為，則直線到的角為A．30°

B．45°

C．135°

D．45°或135°參考答案：B4.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值（其中，），則的最大值為（

）A.4 B.3 C.2 D.－1參考答案：B【分析】畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為到距離的平方，將當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，轉(zhuǎn)化為滿足的可行域，再通過線性規(guī)劃得到的最大值.【詳解】已知實(shí)數(shù)，滿足畫出可行域，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，即當(dāng)且僅當(dāng)?shù)骄嚯x最近.

滿足的條件為：目標(biāo)函數(shù)為，畫圖知道當(dāng)時(shí)有最大值為3

故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為距離是解題的關(guān)鍵.5.平面向量，共線的充要條件是（

）A.，方向相同

B.，兩向量中至少有一個(gè)為零向量

C.，

D.存在不全為零的實(shí)數(shù)，，參考答案：B6.在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對任意給定的a，b∈R，a*b為惟一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：①對任意a，b∈R，a*b＝b*a；②對任意a∈R，a*0＝a；③對任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)－2c.關(guān)于函數(shù)f(x)＝(3x)*的性質(zhì)，有如下說法：①函數(shù)f(x)的最小值為3；②函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；③函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)．其中所有正確說法的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1

C．2 D．3參考答案：B略7.已知直線與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)在線段上，則的最大值為

（

）

A．2

B．

C．3

D．參考答案：B8.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，則y＝f(x)的圖象可能是()圖2－1參考答案：B9.已知函數(shù)，則

A.

B.

C.

D.

參考答案：D10.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的分別為5、2，則輸出的（

）A.2

B.3

C.4

D.5參考答案：C第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：；結(jié)束循環(huán)輸出，選C.點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝18，S3＝26，則{an}的公比q＝

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．參考答案：312.直線按向量平移后得到的直線與圓相切，那么m的值為

。參考答案：答案：9或-113.測量地震的里氏級別是地震強(qiáng)度（即地震釋放的能量）的常用對數(shù).2008

年汶川大地震的級別是里氏8級，1960年智利大地震的強(qiáng)度是汶川大地震的強(qiáng)度的8倍，則智利大地震的里氏級別是____________級.（?。﹨⒖即鸢福?.9略14.對于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若存在區(qū)間則稱區(qū)間M為函數(shù)的“等值區(qū)間”.給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④.則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的序號是__________.參考答案：②④15.曲線在點(diǎn)處的切線方程為

．參考答案：試題分析：，時(shí)，，所以切線方程為，即．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．16.已知O是銳角△ABC的外接圓的圓心，且，其外接圓半徑為R，若，則m=

．參考答案：考點(diǎn)：正弦定理；平面向量的基本定理及其意義；與圓有關(guān)的比例線段．專題：解三角形；平面向量及應(yīng)用．分析：先把等式中向量用表示出來，然后兩邊同與向量作數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合正弦定理化邊為角即可求得m值．解答： 解：由，得=，兩邊同時(shí)乘向量，得+=，即+=﹣mR2，所以+=﹣，由正弦定理可得，m，所以﹣2sinCcosB﹣2sinBcosC=﹣m，即2sin（B+C）=m，也即2sinA=2sin=m，所以m=．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查平面向量的基本定理、向量數(shù)量積運(yùn)算、正弦定理等知識(shí)，本題解答的關(guān)鍵是兩邊同乘向量，具有一定技巧．17.已知兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)t的值為

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參考答案：6/5

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）某商場為促銷要準(zhǔn)備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為10cm的圓形包裝紙包裝．要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達(dá)到三棱錐的頂點(diǎn)，如圖所示．設(shè)正三棱錐的底面邊長為xcm，體積為Vcm3．在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，V的最大值是多少？并求此時(shí)x的值．參考答案：正三棱錐展開如圖所示．當(dāng)按照底邊包裝時(shí)體積最大．設(shè)正三棱錐側(cè)面的高為h，高為h．

19.（本小題滿分10分）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系中軸的正半軸重合，且兩坐標(biāo)系有相同的長度單位，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為。（I）化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程；（II）直線過點(diǎn)Q且與圓C交于M，N兩點(diǎn)，求當(dāng)弦MN的長度為最小時(shí)，直線的直角坐標(biāo)方程。參考答案：(Ⅰ)圓C的直角坐標(biāo)方程為，…2分又

……………4分∴圓C的極坐標(biāo)方程為………………5分（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)Q的極坐標(biāo)為，所以點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為（2，-2）……7分則點(diǎn)Q在圓C內(nèi)，所以當(dāng)直線⊥CQ時(shí)，MN的長度最小又圓心C（1，-1），∴，直線的斜率

………9分∴直線的方程為，即

……10分20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）的最小正周期為.（Ⅰ）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍.參考答案：21.（13分）已知函數(shù)f（x）=﹣x3+x2+bx，g（x）=alnx+x（a≠0）（1）若函數(shù)f（x）存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)b=0且a＞0時(shí)，令，P（x1，F(xiàn)（x1）），Q（x2，F(xiàn)（x2））為曲線y=F（x）上的兩動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，能否使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上？請說明理由．參考答案：（Ⅰ）f'（x）=﹣3x2+2x+b，若f（x）存在極值點(diǎn)，則f'（x）=﹣3x2+2x+b=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．所以△=4+12b＞0，解得（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，﹣a＜0，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；

當(dāng)a＜0時(shí)，﹣a＞0，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，﹣a），單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣a，+∞）．（Ⅲ）當(dāng)b=0且a＞0時(shí)，假設(shè)使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上．則且x1+x2=0．

不妨設(shè)x1=t＞0．故P（t，F(xiàn)（t）），則Q（﹣t，t3+t2）．，（*）該方程有解

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，F(xiàn)（t）=﹣t3+t2，代入方程（*）得﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程無實(shí)數(shù)解；

當(dāng)t=1時(shí)，則；

當(dāng)t＞1時(shí)，F(xiàn)（t）=alnt，代入方程（*）得﹣t2+alnt（t3+t2）=0即，設(shè)h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則在[1，+∞）上恒成立．∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而h（x）≥h（1）=0，則值域?yàn)閇0，+∞）．∴當(dāng)a＞0時(shí)，方程有解，即方程（*）有解