第五單元 立體的投影

課題一基本體課題二切割體課題三相貫體第五單元

立體的投影課題一基本體

平面體曲面體

基本體分為平面體和曲面體兩類，平面體的表面都是平面，如棱柱和棱錐等；曲面體的表面至少有一個是曲面，如圓柱、圓錐、圓球、圓環(huán)等。常見的基本體VwH主視圖投射方向2.棱柱體的投影

(1)投影分析

正六棱柱的兩底面為正六邊形，其水平投影反映實形；前、后兩個面為正平面，正面投影反映實形；其他四個棱面均為鉛垂面，水平投影均積聚為傾斜的直線，正面投影和側(cè)面投影均為類似形(矩形)。

一、棱柱體

1.棱柱體的形體特征

棱柱體是由兩個全等的多邊形底面和矩形的棱面組成，棱線互相平行。

3.棱柱體的投影特征

一個視圖為多邊形，反映棱柱形狀特征；

另兩個視圖都是由實線或細虛線組成的矩形線框。(2)作圖步驟

若點所在平面的投影可見，點的投影可見；若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。ma(d)b(c)a′d′b′c′MABDCm

m【例5-1】已知六棱柱表面上點M的正面投影m′，求作點M的其他兩面投影m、m″。4.棱柱體表面上點的投影

nn

n點的可見性判別思考：如果已知俯視圖上的點n

，如何求出另外兩面投影？VwH

2.棱錐體的投影

(1)投影分析

四棱錐前后、左右對稱，底面平行于水平面，其水平投影反映實形；與錐頂相交的四條棱線不平行于任一投影，在三個投影面上的投影都是傾斜的直線，其中正面和側(cè)面投影與相應(yīng)的棱面重合。二、棱錐體

1.棱錐體的形體特征

棱錐體是由底面及棱面所組成。各條棱線匯交于一點，棱面為若干個具有公共頂點的三角形，底面為多邊形，從頂點到底面的距離稱為錐高。寬相等寬相等高平齊(2)作圖步驟長對正

3.棱錐體的投影特征

當棱錐體的底面平行于某一個投影面放置時，則棱錐體在該投影面上投影的外輪廓為與底面全等的多邊形，多邊形里邊還有多個三角形；另外兩個投影則由若干個相鄰的三角形線框所組成。

4.棱錐體表面上點的投影

因為棱錐體上各表面可能處于特殊位置，其投影具有積聚性；也可能處于一般位置，則投影沒有積聚性。所以，求作棱錐表面上點的投影的方法有兩種：

(1)利用點所在面的積聚性直接求出

用于求作特殊位置表面上點的投影。

(2)利用輔助線(過錐頂或平行于已知直線)法求出

用于求作一般位置表面上點的投影?！纠?-2】如圖所示,已知三棱錐棱面SAB上點M的正面投影m′，求作水平投影m和側(cè)面投影m″。HVWXYZabss"b"a"a's'b'ASBCcdDd'Mm"mm'OXZYWYHs"b"a"(c")a's'b'c'abcsd'dmn(n')m"n"m'作法一EmmmeeMff

F作法二三、常見完整及不完整的平面體

表5-1中給出了一些完整的和不完整、方位多變的幾何體的三視圖。閱讀時，應(yīng)先看具有特征形狀的視圖，對于幾何體應(yīng)先看具有反映特征的底面多邊形視圖，然后再看其他兩視圖。表5-1常見完整及不完整的平面體

1.圓柱體的形體特征

圓柱體的表面是由圓柱面和兩端面所組成。圓柱面可看作一條直母線AB繞著與它平行的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。直母線在圓柱面上的任意位置稱為素線。OO1AB母線素線軸線四、圓柱體VHZXYWa'b'a1'b1'a(a1)b(b1)a"(b")a1"(b1")ABA1最前輪廓素線最左輪廓素線

2.圓柱體的投影

圓柱軸線垂直于水平面，上、下端面的水平投影反映實形，正面和側(cè)面投影積聚成直線，直線的長度等于端面圓的直徑。圓柱面的水平投影積聚為一圓周，與兩端面的水平投影重合；正面投影為一個矩形，圓柱面在側(cè)面的投影也是一個矩形。(1)投影分析YWYHXZo

3.圓柱體的投影特征

(2)作圖方法與步驟

軸線垂直于一個投影面的圓柱的投影特征：一個視圖為圓形(兩端面圓的實形)，另外兩個視圖為全等的矩形。最左素線的正面投影圓柱最左素線(轉(zhuǎn)向輪廓素線）最前素線的水平投影最左素線的水平投影最前素線的側(cè)面投影圓柱體輪廓素線的投影圓柱最前素線VWHOO

4.圓柱體表面上點的投影【例5-3】已知圓柱面上點M的正面投影m′，求作水平投影m和側(cè)面投m″。Mm'm(m")(n')nn"思考：如果已知輪廓線上的點n'

，如何求出另外兩面投影？五、圓錐體

1.圓錐體的形體特征

圓錐體的表面由圓錐面和底面組成。圓錐面可看作是一條直母線SA繞著與其相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而形成。直母線在圓錐面的任意位置稱為圓錐面的素線。SA母線素線OO1軸線ZVWYXHc"s"d"a"(b")

2.圓錐體的投影cabda's'b'c'(d')SAC最前輪廓素線最左輪廓素線

(1)投影分析

圓錐底面平行于水平面，水平投影反映實形，正面和側(cè)面投影積聚成直線，直線的長度等于底面圓的直徑；圓錐面的三個投影都沒有積聚性，其水平投影與底面的水平投影重合，全部可見。

(2)作圖方法

3.圓錐體的投影特征

軸線垂直于一個投影面的圓錐的投影特征：一個投影為圓，另外兩個投影為全等的三角形。最左素線的正面投影最左素線的

水平投影最前素線的

側(cè)面投影最前素線的水平投影圓錐輪廓素線的投影最前素線最左素線的

側(cè)面投影最左素線最前素線的

正面投影4.圓錐體表面上點的投影

圓錐表面上的點用輔助線法求出，輔助線包括:輔助素線和輔助緯圓?！纠?-4】已知圓錐表面上點M的正面投影m′,求作水平投影m和側(cè)面投m″。(1)輔助素線法m'a'amm"osAs's"sXZOYHYWM(2)輔助緯圓法MXZOYHYWs's"sm"m'm素線圓母線圓六、圓球體

1.圓球體的形體特征

圓球的表面是球面，球面可看作是一條圓母線繞著通過其圓心的軸線回轉(zhuǎn)而成?；剞D(zhuǎn)軸線ZYXVHW主視輪廓圓平行V面左視輪廓圓平行W面俯視輪廓圓平行H面

2.圓球的投影

（1）投影分析。圓球在三個視圖都是直徑相等的圓。

三個圓表示三個不同方向輪廓素線的投影。b′c′acb?a?回轉(zhuǎn)圓的另兩面投影分別在中心線上！上下半球分界線B的投影b左右半球分界線C的投影c?前后半球分界線A的投影a′(2)作圖方法YHXZOYW

3.圓球體表面上點的投影【例5-5】已知圓錐表面上點M的正平投影(m′)，求作水平投影m和側(cè)面m″。圓球面上點的投影需采用輔助圓法，即平行于投影面的輔助圓。(m)(m')m"d'（d）（d"）Mbaab素線上的點直接作出七、常見完整及不完整的曲面體

課題二切割體

切割體是指基本體被平面截切后的剩余部分，其中立體被截切后的斷面圖形稱為截斷面，截切基本體的平面稱為截平面，截平面與基本體表面的交線稱為截交線。所以繪制切割體的投影，關(guān)鍵就是繪制截交線的投影。截交線截交線截交線截斷面截平面截交線一、截交線的特性

1)截交線都是一個封閉的平面圖形(平面折線、平面曲線或兩者的組合)。

2)截交線是截平面與立體表面的共有線，既在截平面上，又在立體表面上；其上的點均為截平面與立體表面的共有點?！纠?-6】如左圖所示，完成三棱錐被正垂面P切割后的三視圖。二、切割平面體PDEFABC先作棱錐側(cè)面投影求截交線d"f"e"dfed'e'f'檢查后擦去作圖線，加深全圖。

分析：正垂面P與三棱錐的三條棱線都相交，所以截交線為三角形，其頂點D、E、F是三棱錐的各棱線與截平面P的交點。作圖步驟分析

該切割體可看成四棱柱被兩個平面切割以后形成的。【例5-7】完成切割四棱柱的三視圖。P又用鉛垂面Q在左前方切去一角。先用正垂面P在左上角切去三棱柱。Q作圖步驟1)作出四棱柱被正垂面P切割后的投影。PQ2)作出鉛垂面Q的投影，即表面交線AB、CD的投影。檢查后擦去作圖線，加深全圖?！纠?-8】完成四棱柱上切割通槽后的俯視圖和左視圖。分析

四棱柱上的通槽是由三個平面切割四棱柱而形成。兩側(cè)壁是側(cè)平面，它們的正面投影和水平投影積聚成直線，而側(cè)面投影反映側(cè)壁的實形，并重合在一起。槽底是水平面，其正面投影和側(cè)面投影均積聚成直線，水平投影反映實形，可利用積聚性作出通槽的水平投影和側(cè)面投影。2)按高平齊、寬相等的投影關(guān)系，作出通槽的側(cè)面投影。作圖步驟

3)擦去多余作圖線，校核切割后的圖形輪廓，加深圖線。1)作出通槽的水平投影。注意：左視圖中的一段細虛線不要漏畫。

平面與回轉(zhuǎn)體相交的截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線，截交線上的點也都是它們的共有點。因此，求截交線的過程可歸結(jié)為求出截平面與回轉(zhuǎn)體表面的若干共有點，然后依次光滑連接成平面曲線。三、切割回轉(zhuǎn)體

1.切割圓柱體

根據(jù)截平面與圓柱軸線的位置不同，平面切割圓柱體產(chǎn)生的截交線有三種情況，見表5-3。截平面位置垂直于軸線傾斜于軸線平行于軸線截交線圓橢圓矩形軸測圖投影圖PVPV表5-3圓柱的截交線

PH

【例5-9】根據(jù)圓柱切肩的主、俯視圖，補畫出左視圖。分析

圓柱左上角的切口是由互相垂直的兩個平面切割而形成的。PQ

水平面P與圓柱的軸線垂直，所產(chǎn)生的交線是一段圓弧，正面投影與P面的正面投影p'重合，水平投影反映實形，并與圓柱的水平投影重合。

平面Q與圓柱軸線平行，所產(chǎn)生的交線是矩形，其正面投影積聚在q'上，水平投影積聚為一條直線，與圓柱軸線平行。

Q面與圓柱頂面的交線是一條正垂線AC，其正面投影a'c'積聚成點，水平投影ac與bd重合，也積聚在q上。ACBD

截平面P與Q的交線是一條正垂線BD，其正面投影b'd'積聚成點，水平投影bd重合于側(cè)平面Q的積聚投影q上。dbb(d)dbBDAC

a(c)c

ac

a先作側(cè)面投影求截交線檢查后擦去作圖線，加深全圖。作圖步驟●●III根據(jù)主、俯視圖，補畫左視圖211(2)21●●●●根據(jù)主、俯視圖，補畫左視圖畫一畫：這兩個立體的視圖是什么樣？仔細比較下列兩立體的各個視圖，有何不同？分析:截交線為一橢圓。截交線的正面投影為一直線，水平投影為圓。側(cè)面投影可根據(jù)圓柱表面取點的方法求出。（1）求特殊點。（2）求中間點。（3）判斷可見性。將這些點的投影依次光滑的連接起來。a′ab′bcdc′(d)′a

?c

?

d

?ee′(f′)e?ghfg′(h′)g

?（4）檢查以后加深。f?h?ACBDEGHF

【例5-10】求作圓柱被正垂面截切后的截交線。作圖步驟b

?

橢圓的長、短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的變化而改變。45°什么情況下投影為圓呢？截平面與圓柱軸線夾角為45°時投影為圓。橢圓長、短軸的變化

【例5-11】完成接頭的三視圖。分析

根據(jù)圖a和b的已知視圖可知，接頭是在圓柱體下端中間的部位開直槽和上端左右切肩以后形成的。作圖步驟1)畫上部切肩。2)畫下部開槽。e(

g

)f(

h

)e"(

f"

)g"

(h"

)e'

f'

h'

g'

3)檢查后加深。

2.切割圓錐體

根據(jù)截平面相對于圓錐上不同要素的位置不同，圓錐表面的截交線有五種情況，見表5-4。除了過錐頂?shù)慕仄矫媾c圓錐面的截交線是相交兩直線外，其他四種情況都是曲線，但不論何種曲線(圓除外)，其作圖步驟都是先作出截交線上的特殊點，再作出若干中間點，最后連成光滑的曲線。截平面的位置與軸線垂直過圓錐頂點平行任一素線與軸線傾斜與軸線平行軸測圖投影圖截交線的形狀圓橢圓拋物線雙曲線兩相交直線PVPVPVPV表5-4平面與圓錐截交線

【例5-12】分析缺口圓錐的主視圖，并補畫出俯視圖和左視圖。

分析

缺口圓錐被水平面Q和過錐頂?shù)恼姑鍼所截切。

水平面Q與圓錐軸線垂直，與圓錐面的交線為圓的一部分，其水平投影反映實形，正面和側(cè)面投影積聚為直線。

過錐頂?shù)恼姑鍼與圓錐面的交線為相交兩直線，其正面投影的兩條直線重合，水平和側(cè)面投影均為相交的直線；Q面和P面的交線ⅠⅡ為正垂線。QP作圖步驟

1)作出圓錐的水平投影和側(cè)面投影。

2)作出截交線。

3)整理輪廓線，判別可見性，檢查加深。21"2"1'(2')1

【例5-13】根據(jù)圓錐被切割的俯、左視圖，補畫主視圖。

可利用輔助圓法求作雙曲線的正面投影。EDCAB分析截平面為正平面，截交線為雙曲線；截交線的水平投影和側(cè)面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實形。作圖步驟1）求特殊點A、B、C；cc"c'abb'a'd'a"(b")2）求中間點D、E；ded"(e")e'3）光滑順次連接各點作出截交線，并判別可見性；4）整理輪廓線，即完成作圖。EDCAB

【例5-14】求圓錐被正垂面截切后的截交線。分析由于截平面是正垂面，并且與圓錐軸線傾斜，所以截交線為一橢圓。橢圓的正面投影積聚成一斜線，水平投影和側(cè)面投影均為橢圓的類似形，仍為橢圓。CDAB正平線正垂線CDAB正平線正垂線平面與圓錐相交

1）求特殊點。a'(b')abe'(f')fe2）求中間點。3）依次光滑連接各點，即得截交線的水平投影和側(cè)面投影。4）補全側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線,去掉作圖線，加深。a"b"e"f

"作圖步驟cd'2'(1')c'dd"c"2"

1"21

3.切割圓球體

平面在任何位置截切圓球時，截交線都是圓。當截平面平行于某一投影面時，截交線在該投影面上的投影為圓的實形，在其他兩投影面上的投影都積聚為直線；當截平面垂直于某一投影面時，截交線在該投影面上的投影為斜線，在其他兩投影面上的投影為橢圓，具體情況見表5-5。截平面位置與V面平行與H面平行與V面垂直軸測圖投影圖表5-5平面與圓球的截交線

A截交線的位置尺寸截交線

圓的直徑平行于水平面的圓，在水平面上反映實形分析:球面被側(cè)平面Q截切，側(cè)面投影為圓；球面被水平面P截切，水平面投影為圓。

【例5-15】根據(jù)圖示缺口半圓球的已知視圖，完成三視圖。Qp輪廓線要不要?輪廓線怎樣處理?1)作出水平面P與圓球交線的投影。2)作出側(cè)平面Q與圓球交線的投影。3)檢查以后加深。作圖步驟QP分析并想象出圓球穿孔后的投影

【例5-16】求作頂尖頭的截交線。

4.切割復(fù)合曲面體

求組合回轉(zhuǎn)體的截交線時，首先要分析構(gòu)成機件的各基本體與截平面的相對位置、截交線的形狀、投影特性，然后逐個畫出各基本體的截交線。QPAEC分析

頂尖頭部是由同軸的圓錐與圓柱組合而成。它的左上部被兩個相交的水平面P和正垂面Q切去一部分。

P平面與頂尖的軸線平行，與圓錐表面的交線為雙曲線，與圓柱表面的交線為兩條側(cè)垂線AB和CD。

Q平面與頂尖的軸線傾斜，與圓柱面的交線為橢圓弧。P、Q兩平面的交線BD為正垂線。DBa"

(b"

)c"

(d"

)b'(d')a'(c')acbde"e'ef'

(g'

)f"g"fg作圖步驟1）求P平面與圓錐及圓柱面的交線。2）求Q平面與圓柱面的交線。3）檢查并加深圖線。

課題三相貫體

相貫體是指兩相交的立體，其表面的交線稱為相貫線。相貫線的形狀和數(shù)量與相貫兩立體的形狀、大小和相對位置有關(guān)。

本課題主要介紹曲面立體正交的相貫線及作圖方法。相貫線相貫線相貫線

1)相貫線是兩個立體表面的共有線，也是兩個立體表面的分界線。相貫線上的點是兩個立體表面的共有點。

2)相貫線一般為封閉的空間曲線，特殊情況下可能是平面曲線或直線。

根據(jù)相貫線的性質(zhì)可知，求相貫線的作圖方法，同樣可歸結(jié)為求兩回轉(zhuǎn)體表面共有點的問題。一、相貫線的性質(zhì)二、兩圓柱體正交的相貫線

兩圓柱體的軸線垂直相交稱為正交。

當相貫的兩個圓柱體的軸線垂直于某一個投影面時，圓柱在該投影面上的投影具有積聚性，則相貫線的投影也積聚在圓柱的這個積聚投影上。（3）順次光滑連接各點。作圖步驟（2）求中間點；ABCDa'b'a"(b")c"d"f'e'c'(d')fee"(f")abdc（1）求特殊點；

【例5-17】分析圖示兩正交圓柱體的已知視圖，完成相貫線的投影。

1.兩不等徑圓柱體正交的相貫線

2.相貫線的簡化畫法

當兩圓柱的直徑不相等時，用大圓柱的半徑作圓弧來代替相貫線的投影。a'b'a

bΦ

O作圖步驟（1）找圓心（2）畫圓弧R=Φ/2OR3.

兩圓柱體正交的類型(a)兩外圓柱面相交(b)外圓柱面與內(nèi)圓柱面相交(c)兩內(nèi)圓柱面相交【例5-18】識讀圖示的相貫體。外相貫線內(nèi)相貫線

左側(cè)為互相垂直的兩個空心圓柱體相貫，并在直立空心圓柱體右側(cè)鉆有水平方向的小孔。

相貫線為兩條平面曲線（橢圓）相貫線向大圓柱一側(cè)彎4.直徑大小對相貫線的