建筑材料力學(xué)全部-課件1第08章

第八章能量法沈陽建筑大學(xué)侯祥林劉杰民

第八章能量法§8–1外力功與變形能§8–2虛功原理§8–3靜定桁架的位移計算§8–5圖乘法§8–6支座移動引起的位移§8–7互等定理§8–4靜定梁、剛架的位移計算

§8–1

外力功與變形能一、外力功力在自身作用下引起的位移上作功稱為外力實功，簡稱外力功。P△△ydyPP(y)oyP二、變形能由外力引起的內(nèi)力在外力自身作用下產(chǎn)生的變形上作功稱為內(nèi)力實功，簡稱內(nèi)力功或變形能。⒈拉壓桿的變形能dxNNdxd△l⒉扭轉(zhuǎn)變形能dxdxdT⒊彎曲變形能dxdMM橫力彎曲時，可忽略剪力作功，變形能仍按上式計算。組合變形桿件的變形能為三、實功原理當(dāng)外力由零緩慢增加到終值時，忽略其它能量損耗，根據(jù)能量守恒定律，則外力功轉(zhuǎn)化為彈性體的變形能儲存在彈性體內(nèi)，即外力實功等于內(nèi)力實功。這就是實功原理。[例8－1]計算圖示梁的變形能。m=PlPEIEIx1ACBx2llBC

段：AB

段：解：[例8－2]計算圖示直徑為d的圓截面水平直角彎桿在鉛直力P作用下的變形能。(G=0.4E)ABCP2aax1x2BC段為彎曲變形；AB段為彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形；解：[例8－3]應(yīng)用實功原理求圖示1/4圓弧形曲梁B點的鉛直位移。P、R、EI已知。PRAB解：外力功：變形能：PRAB[練習(xí)1]應(yīng)用實功原理求圖示外伸梁C點的鉛直位移。EIABPx1x2YA=P/2l/2lC解：外力功：變形能：實功原理僅能求單一荷載下，荷載作用點處沿荷載方向的位移。多荷載下的位移、單一荷載下非荷載作用點的位移、荷載作用點其它方向的位移，不能用實功原理求解。因此，實功原理無多大實用價值?！?–2虛功原理一、外力虛功外力在其它因素（如其它力、支座移動、溫度改變等）引起的位移上作的功稱為外力虛功ABAB1212△P1△P2△P1、△P2為力P作用下梁1、2點的位移。P在位移△P1上作功為外力實功，即ABAB1212△P1△P2在位移△P2上作的功為外力虛功，即△P1ydyPP(y)oyP△P2ydyoy二、內(nèi)力虛功外力所產(chǎn)生的內(nèi)力在其它因素（如其它力、支座移動、溫度改變等）引起的變形上作的功稱為內(nèi)力虛功ABCABCdxdxqdxdxNNdxdxABCABCdxdxqdxdxNNdxdxdxdxdxdxNNdxdxdxdx內(nèi)力虛功：三、虛原理功根據(jù)能量守恒定律得：外力虛功等于內(nèi)力虛功，這就是虛原理功。即虛功原理對于的任何值都成立，為了計算方便，取，故也稱單位力法。即虛功原理用于靜定結(jié)構(gòu)的位移計算具有廣泛的適用性。§8–3靜定桁架的位移計算解題步驟：⒈計算實際荷載下的各桿軸力Ni；⒉在所求位移處，沿所求位移方向加單位荷載（求結(jié)點位移加單位力，求桿件轉(zhuǎn)角加單位力偶）；⒊計算單位荷載下的各桿軸力；⒋將Ni、

代入虛功方程求位移。桁架桿件只有軸力，且各桿均為等軸力、等截面桿，于是虛功方程簡化為：ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF加單位荷載求結(jié)點D的水平位移求結(jié)點D的豎向位移求桿BD的轉(zhuǎn)角lBD求結(jié)點D、E的相對位移[例8－4]求圖示桁架結(jié)點D的水平位移和BE桿的轉(zhuǎn)角，各桿EA

相同。ABCDEFaaaP123456789ACEF123456789123456789Nl－P0000P/2P/2000011/21/2aaaaaaaBD解：ABCDEFaaaP123456789ACEF123456789123456789Nl－P0000P/2P/20000-1/2a-1/2aaaaaaaaBD00[練習(xí)2]求圖示桁架結(jié)點D的豎向位移，各桿EA

相同。ABCDaaaP12345ACD12345B12345Nl0P/2P/211/21/2aaa解：§8–4靜定梁、剛架的位移計算應(yīng)用虛功原理計算靜定梁、剛架的位移時，拉壓、剪切較彎曲的內(nèi)力虛功小得多，可略去不計。于是，虛功方程可簡化為：解題步驟：⒈計算實際荷載下各段桿的彎矩Mi；⒉在所求位移處，沿所求位移方向加單位荷載（求結(jié)點位移加單位力，求截面轉(zhuǎn)角加單位力偶）；⒊計算單位荷載下各段桿的彎矩；⒋將Mi、

代入虛功方程求位移。加單位荷載PABCDPABCD求結(jié)點C的豎向位移求B截面的轉(zhuǎn)角PABCDPABCD求C、E兩點的相對位移求鉸C兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角E[例8－5]求圖示1/4圓弧形曲梁B端的鉛直位移、水平位移和轉(zhuǎn)角。P、R、EI已知。PABPRABRAB解：PRABRAB（向下）PRABRAB（向左）PRABRAB注意※：M與轉(zhuǎn)向的假設(shè)必須一致，結(jié)果為正表示位移與單位荷載同向；結(jié)果為負(fù)表示位移與單位荷載反向。（順時針）BqlAClEIEI[例8－6]求圖示剛架B點的水平位移和C截面的轉(zhuǎn)角。BACEIEIx1x1x2x2q1ql/2ql/2ql/21111解：qql/2ql/211（向右）11BACEIEIx1x21/l1/l1/l（順時針）[練習(xí)3]求圖示外伸梁C端的豎向位移△Cy和轉(zhuǎn)角C

。EIABPx1x2YA=P/2l/2lCEIABx1x2YA=1/2l/2lC解：EIABPx1x2YA=P/2l/2lCEIABx1x2YA=1/ll/2lC§8–5圖乘法等截面梁、剛架，虛功方程可寫為：其中積分可通過幾何法求之，即通過彎矩圖圖乘求之，故稱為圖乘法。xdxxyCxCyCABBAO于是得其中P為M圖的面積，yC為M圖的形心所對應(yīng)的圖的豎距。一、解題注意事項⒈M圖與圖在桿的同側(cè)時，圖乘為正；在桿的兩側(cè)時，圖乘為負(fù)。⒉當(dāng)圖為同一直線時才能圖乘，若圖為折線，需分段圖乘。二、幾種常用幾何圖形的面積和形心位置Cl/2l/2h矩形三角形l/32l/3Chl/2l/2C標(biāo)準(zhǔn)拋物線h三、解題步驟⒈畫荷載下的彎矩圖—M圖，均布荷載下的彎矩圖按疊加原理畫；⒉在所求位移處，沿所求位移方向加單位荷載，并畫彎矩圖—圖；⒊用圖乘法求位移。[例8－7]求圖示階梯形懸臂梁自由

端的撓度和轉(zhuǎn)角。A2EIaaBPEICM圖2PaPaA2EIBEIC2a

圖C1C2C3y3y2y1解：A2EIaaBPEICM圖2PaPaA2EIBEIC1

圖C1C2y2y1（順時針）[例8－8]求圖示簡支梁C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。EIABYA=P/3l/32l/3PCYA=2P/3EIACM圖

圖C1C2y1y2B解：EIABYA=P/3l/32l/3PCYA=2P/3EIACM圖

圖C1C2y1y21B（順時針）[例8－9]求圖示外伸梁C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。qAll/3BCM圖ql2/9ql2/8ACBl/3

圖解：qAll/3BCM圖ql2/9ql2/8ACB1

圖（逆時針）[練習(xí)4]求圖示外伸梁C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。EIABPl/2lCEIABl/2lC解：M圖EIABPl/2lCEIABl/2lC1M圖BqlAClEIEI[例8－10]求圖示剛架B點的水平位移和C截面的轉(zhuǎn)角。BAC1qlql/2ql/211ll解：llBqlAClEIEIBAC1/lqlql/2ql/211/l[例8－11]求圖示剛架C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。BACEIEIP=qaqaa/3aDBACDqaa/3解：a/3DBBD

段彎矩圖可由下列幾種圖形疊加而成。BACEIEIP=qaqaa/3aDBACDqa11DBBD

段彎矩圖可由下列幾種圖形疊加而成。11[例8－12]求圖示剛架A、B兩點的相對位移xAB，EI

為常數(shù)。ABPPaaaABPaPaPaPaPaPaaaaaaa解：PaPaPaPaPaPaaaaaaa[練習(xí)5]求圖示結(jié)構(gòu)K點的水平位移。K2EIEI2EIqaqaaaK2EIEI2EIqa/21aaa解：aaa§8–6支座移動引起的位移c1c2c3△B靜定結(jié)構(gòu)，支座發(fā)生移動時，各點也將發(fā)生位移，但桿件無變形發(fā)生。故外力虛功不等于零，內(nèi)力虛功等于零。c1c2c3△B在B

點加一單位荷載，單位荷載下支座的約束反力為外力虛功：內(nèi)力虛功：由虛功原理得虛功方程：即ci—支座實際移動位移；—單位荷載下支座的約束反力。解題步驟：⒈在所求位移處，沿所求位移方向加單位荷載；⒉計算單位荷載下的支座反力；⒊將單位荷載下的支座反力代入虛功方程求結(jié)點位移。[例8－13]圖示剛架支座B發(fā)生水平位移a

、豎向位移b，求鉸C左右截面的相對轉(zhuǎn)角和C點的豎向位移。abl/2l/2h001/h1/h（）解：abl/2l/2h1/2l/4hl/4h1/2（）[練習(xí)6]圖示剛架，固端A水平移動a=10cm，豎向下沉